Gleichung - Equation

Die erste Verwendung eines Gleichheitszeichens, äquivalent zu 14 x + 15 = 71 in der modernen Notation. Aus dem Schleifstein von Witte von Robert Recorde von Wales (1557).

In der Mathematik ist eine Gleichung eine Aussage, die die Gleichheit zweier Ausdrücke behauptet , die durch das Gleichheitszeichen "=" verbunden sind. Das Wort Gleichung und seine Verwandten in anderen Sprachen können subtil unterschiedliche Bedeutungen haben; beispielsweise in Französisch ein équation als die eine oder mehrere definierte Variablen , während in Englisch , jede Gleichheit eine Gleichung ist.

Das Lösen einer Gleichung mit Variablen besteht darin, zu bestimmen, welche Werte der Variablen die Gleichheit wahr machen. Die Variablen, für die die Gleichung gelöst werden muss, werden auch Unbekannte genannt , und die Werte der Unbekannten, die die Gleichheit erfüllen, werden Lösungen der Gleichung genannt. Es gibt zwei Arten von Gleichungen: Identitäten und bedingte Gleichungen. Eine Identität gilt für alle Werte der Variablen. Eine bedingte Gleichung gilt nur für bestimmte Werte der Variablen.

Eine Gleichung wird als zwei Ausdrücke geschrieben , die durch ein Gleichheitszeichen ("=") verbunden sind. Die Ausdrücke auf den beiden Seiten des Gleichheitszeichens werden als "linke Seite" und "rechte Seite" der Gleichung bezeichnet. Sehr oft wird angenommen, dass die rechte Seite einer Gleichung null ist. Vorausgesetzt, dies mindert die Allgemeinheit nicht, da dies durch Subtraktion der rechten Seite von beiden Seiten realisiert werden kann.

Der gebräuchlichste Gleichungstyp ist eine polynomische Gleichung (allgemein auch als algebraische Gleichung bezeichnet ), bei der die beiden Seiten Polynome sind . Die Seiten einer Polynomgleichung enthalten einen oder mehrere Terme . Zum Beispiel die Gleichung

${\displaystyle Ax^{2}+Bx+Cy=0}$

hat die linke Seite , die vier Terme hat, und die rechte Seite , die aus nur einem Term besteht. Die Namen der Variablen legen nahe , dass x und y sind Unbekannte, und daß A , B und C sind Parameter , aber dies wird in der Regel durch den Kontext festgelegt (in einigen Zusammenhängen, y kann ein Parameter sein oder A , B und C können gewöhnliche Variablen sein). ${\displaystyle Axe^{2}+Bx+Cy}$${\displaystyle 0}$

Eine Gleichung ist analog zu einer Waage, in die Gewichte gelegt werden. Wenn etwas gleiches Gewicht (z. B. Getreide) in die beiden Pfannen gelegt wird, bewirken die beiden Gewichte, dass die Waage im Gleichgewicht ist und man sagt, dass sie gleich sind. Wird eine Körnermenge aus einer Waagschale entnommen, muss die gleiche Körnermenge aus der anderen Waagschale entnommen werden, um die Waage im Gleichgewicht zu halten. Allgemeiner gesagt bleibt eine Gleichung im Gleichgewicht, wenn auf beiden Seiten dieselbe Operation ausgeführt wird.

In der kartesischen Geometrie werden Gleichungen verwendet, um geometrische Figuren zu beschreiben . Da die betrachteten Gleichungen wie implizite Gleichungen oder parametrische Gleichungen unendlich viele Lösungen haben, ist die Zielsetzung nun eine andere: Anstatt die Lösungen explizit anzugeben oder zu zählen, was unmöglich ist, verwendet man Gleichungen zum Studium von Eigenschaften von Figuren. Dies ist die Ausgangsidee der algebraischen Geometrie , einem wichtigen Gebiet der Mathematik.

Die Algebra studiert zwei Hauptfamilien von Gleichungen: Polynomgleichungen und darunter den Sonderfall der linearen Gleichungen . Wenn es nur eine Variable ist, hat Polynomgleichungen die Form P ( x ) = 0, wobei P a Polynom und lineare Gleichungen haben die Form ax  +  b  = 0, wobei a und b sind Parameter . Um Gleichungen aus beiden Familien zu lösen, verwendet man algorithmische oder geometrische Techniken, die aus der linearen Algebra oder der mathematischen Analyse stammen . Die Algebra untersucht auch diophantische Gleichungen, bei denen die Koeffizienten und Lösungen ganze Zahlen sind . Die verwendeten Techniken sind unterschiedlich und stammen aus der Zahlentheorie . Diese Gleichungen sind im Allgemeinen schwierig; man sucht oft nur, um die Existenz oder Abwesenheit einer Lösung zu finden und, falls vorhanden, die Anzahl der Lösungen zu zählen.

Differentialgleichungen sind Gleichungen, die eine oder mehrere Funktionen und deren Ableitungen beinhalten. Sie werden gelöst, indem man einen Ausdruck für die Funktion findet, der keine Ableitungen enthält. Differentialgleichungen werden verwendet, um Prozesse zu modellieren, die die Änderungsraten der Variablen beinhalten, und werden in Bereichen wie Physik, Chemie, Biologie und Wirtschaft verwendet.

Das „ = “-Symbol, das in jeder Gleichung vorkommt, wurde 1557 von Robert Recorde erfunden .

Einführung

Analoge Abbildung

Illustration einer einfachen Gleichung; x , y , z sind reelle Zahlen, analog zu Gewichten.

Eine Gleichung entspricht einer Waage , einer Waage oder einer Wippe .

Jede Seite der Gleichung entspricht einer Seite der Bilanz. Verschiedene Mengen können auf jeder Seite platziert werden: wenn die Gewichte auf den beiden Seiten gleich sind, die Skalen Salden und in Analogie, die Gleichheit, die das Gleichgewicht darstellt , wird auch ausgeglichen (wenn nicht, dann wird der Mangel an Gleichgewicht entspricht eine Ungleichheit dargestellt durch eine Ungleichung ).

In der Illustration sind x , y und z alle unterschiedliche Größen (in diesem Fall reelle Zahlen ), die als kreisförmige Gewichte dargestellt werden, und jedes von x , y und z hat ein anderes Gewicht. Die Addition entspricht dem Hinzufügen von Gewicht, während die Subtraktion dem Entfernen von Gewicht von dem entspricht, was bereits vorhanden ist. Wenn Gleichheit gilt, ist das Gesamtgewicht auf jeder Seite gleich.

Parameter und Unbekannte

Gleichungen enthalten oft andere Terme als die Unbekannten. Diese anderen als bekannt vorausgesetzten Begriffe werden üblicherweise als Konstanten , Koeffizienten oder Parameter bezeichnet .

Ein Beispiel für eine Gleichung mit x und y als Unbekannten und dem Parameter R ist

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}.}$

Wenn R den Wert 2 ( R = 2) hat, wird diese Gleichung in kartesischen Koordinaten als Gleichung für den Kreis mit dem Radius 2 um den Ursprung erkannt . Daher ist die Gleichung mit R unspezifiziert die allgemeine Gleichung für den Kreis.

Normalerweise werden die Unbekannten durch Buchstaben am Ende des Alphabets bezeichnet, x , y , z , w , ..., während Koeffizienten (Parameter) durch Buchstaben am Anfang bezeichnet werden, a , b , c , d , .. . . Zum Beispiel wird die allgemeine quadratische Gleichung normalerweise geschrieben ax ²  +  bx  +  c  = 0.

Der Vorgang des Findens der Lösungen oder im Fall von Parametern das Ausdrücken der Unbekannten in Bezug auf die Parameter wird als Lösen der Gleichung bezeichnet . Solche Ausdrücke der Lösungen in Bezug auf die Parameter werden auch Lösungen genannt .

Ein Gleichungssystem ist ein Satz simultaner Gleichungen , normalerweise in mehreren Unbekannten, für die gemeinsame Lösungen gesucht werden. Somit ist eine Lösung des Systems eine Menge von Werten für jede der Unbekannten, die zusammen eine Lösung für jede Gleichung im System bilden. Zum Beispiel das System

${\displaystyle {\begin{aligned}3x+5y&=2\\5x+8y&=3\end{aligned}}}$

hat die eindeutige Lösung x  = −1, y  = 1.

Identitäten

Eine Identität ist eine Gleichung, die für alle möglichen Werte der darin enthaltenen Variable(n) gilt. In Algebra und Infinitesimalrechnung sind viele Identitäten bekannt. Beim Lösen einer Gleichung wird häufig eine Identität verwendet, um eine Gleichung zu vereinfachen und sie leichter lösbar zu machen.

In der Algebra ist ein Beispiel für eine Identität die Differenz zweier Quadrate :

${\displaystyle x^{2}-y^{2}=(x+y)(xy)}$

was für alle x und y gilt .

Trigonometrie ist ein Gebiet, in dem viele Identitäten existieren; Diese sind nützlich, um trigonometrische Gleichungen zu manipulieren oder zu lösen . Zwei von vielen, die die Sinus- und Kosinusfunktionen beinhalten, sind:

${\displaystyle \sin^{2}(\theta)+\cos^{2}(\theta)=1}$

und

${\displaystyle \sin(2\theta)=2\sin(\theta)\cos(\theta)}$

die beide für alle Werte von θ gelten .

Um beispielsweise nach dem Wert von θ aufzulösen , der die Gleichung erfüllt:

${\displaystyle 3\sin(\theta)\cos(\theta)=1\,,}$

wobei θ auf 0 bis 45 Grad begrenzt ist, kann man die obige Identität für das Produkt verwenden, um Folgendes zu erhalten:

${\displaystyle {\frac{3}{2}}\sin(2\theta)=1\,,}$

ergibt die folgende Lösung für θ:

${\displaystyle \theta ={\frac{1}{2}}\arcsin\left({\frac{2}{3}}\right)\approx 20.9^{\circ}.}$

Da die Sinusfunktion a periodische Funktion gibt es unendlich viele Lösungen , wenn es keine Beschränkungen sind θ . In diesem Beispiel würde die Beschränkung von θ auf einen Wert zwischen 0 und 45 Grad die Lösung auf nur eine Zahl beschränken.

Eigenschaften

Zwei Gleichungen oder zwei Gleichungssysteme sind äquivalent , wenn sie den gleichen Lösungssatz haben. Die folgenden Operationen wandeln eine Gleichung oder ein Gleichungssystem in ein äquivalentes um – sofern die Operationen für die Ausdrücke, auf die sie angewendet werden, sinnvoll sind:

• Addieren oder Subtrahieren derselben Größe auf beiden Seiten einer Gleichung. Dies zeigt, dass jede Gleichung einer Gleichung entspricht, bei der die rechte Seite Null ist.
• Multiplizieren oder Dividieren beider Seiten einer Gleichung mit einer Größe ungleich Null.
• Anwenden einer Identität, um eine Seite der Gleichung zu transformieren. Zum Beispiel den Ausbau eines Produkts oder einer Factoring eine Summe.
• Für ein System: Addieren der entsprechenden Seite einer anderen Gleichung zu beiden Seiten einer Gleichung, multipliziert mit der gleichen Menge.

Wenn eine Funktion auf beide Seiten einer Gleichung angewendet wird, enthält die resultierende Gleichung die Lösungen der ursprünglichen Gleichung unter ihren Lösungen, kann jedoch weitere Lösungen haben, die als Fremdlösungen bezeichnet werden . Zum Beispiel kann die Gleichung hat die Lösung Anheben beiden Seiten auf die Exponenten von 2 (was bedeutet , um die Funktion der Anwendung auf beiden Seiten der Gleichung) , ändert dich die Gleichung auf , die nicht nur die bisherige Lösung hat , aber führt auch die Fremd Lösung außerdem Wenn die Funktion bei einigen Werten nicht definiert ist (z. B. 1/ x , was nicht für x = 0 definiert ist), können Lösungen, die bei diesen Werten existieren, verloren gehen. Daher ist bei der Anwendung einer solchen Transformation auf eine Gleichung Vorsicht geboten. ${\displaystyle x=1}$${\displaystyle x=1.}$${\displaystyle f(s)=s^{2}}$${\displaystyle x^{2}=1}$${\displaystyle x=-1.}$

Die obigen Transformationen sind die Grundlage der meisten elementaren Methoden zum Lösen von Gleichungen sowie einiger weniger elementarer, wie der Gaußschen Elimination .

Algebra

Polynomgleichungen

Die Lösungen –1 und 2 der Polynomgleichung x ² – x + 2 = 0 sind die Punkte, an denen der Graph der quadratischen Funktion y = x ² – x + 2 die x- Achse schneidet .

Im Allgemeinen ist eine algebraische Gleichung oder Polynomgleichung eine Gleichung der Form

${\displaystyle P=0}$, oder

${\displaystyle P=Q}$

wobei P und Q sind Polynome mit Koeffizienten in einem gewissen Bereich (zB rationale Zahlen , reelle Zahlen , komplexe Zahlen ). Eine algebraische Gleichung ist univariat, wenn sie nur eine Variable beinhaltet . Andererseits kann eine Polynomgleichung mehrere Variablen umfassen, in diesem Fall heißt sie multivariat (mehrere Variablen, x, y, z usw.). Der Begriff Polynomgleichung wird normalerweise der algebraischen Gleichung vorgezogen .

Zum Beispiel,

${\displaystyle x^{5}-3x+1=0}$

ist eine univariate algebraische (polynomielle) Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten und

${\displaystyle y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}}$

ist eine multivariate Polynomgleichung über den rationalen Zahlen.

Einige (aber nicht alle) Polynomgleichungen mit rationalen Koeffizienten haben eine Lösung, die ein algebraischer Ausdruck ist , mit einer endlichen Anzahl von Operationen, die nur diese Koeffizienten beinhalten (dh sie kann algebraisch gelöst werden ). Dies kann für alle derartigen Gleichungen vom Grad eins, zwei, drei oder vier durchgeführt werden; aber für Gleichungen vom Grad fünf oder mehr kann sie für einige Gleichungen gelöst werden, aber, wie der Satz von Abel-Ruffini zeigt, nicht für alle.

Es wurde viel Forschung darauf verwendet, effizient genaue Approximationen der reellen oder komplexen Lösungen einer univariaten algebraischen Gleichung (siehe Wurzelfindung von Polynomen ) und der gemeinsamen Lösungen mehrerer multivariater polynomialer Gleichungen (siehe System polynomialer Gleichungen ) zu berechnen .

Lineare Gleichungssysteme

The Nine Chapters on the Mathematical Art ist ein anonymes chinesisches Buch, das eine Lösungsmethode für lineare Gleichungen vorschlägt.

Ein System linearer Gleichungen (oder lineares System ) ist eine Sammlung linearer Gleichungen , die denselben Satz von Variablen beinhalten . Zum Beispiel,

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}3x&&\;+\;&&2y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&1&\\2x&&\;-\;&&2y&&\;+\;&&4z&&\;=\ ;&&-2&\\-x&&\;+\;&{\tfrac {1}{2}}y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}}$

ist ein System von drei Gleichungen in den drei Variablen x , y , z . Eine Lösung eines linearen Systems ist eine Zuordnung von Zahlen zu den Variablen, so dass alle Gleichungen gleichzeitig erfüllt sind. Eine Lösung des obigen Systems ist gegeben durch

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x&\,=\,&1\\y&\,=\,&-2\\z&\,=\,&-2\end{alignedat}}}$

da es alle drei Gleichungen gültig macht. Das Wort „ System “ weist darauf hin, dass die Gleichungen kollektiv und nicht einzeln zu betrachten sind.

In der Mathematik ist die Theorie linearer Systeme die Grundlage und ein grundlegender Bestandteil der linearen Algebra , einem Fach, das in den meisten Teilen der modernen Mathematik verwendet wird. Computational Algorithmen zum Auffinden der Lösungen ist ein wichtiger Bestandteil des numerischen linearen Algebra , und spielt eine wichtige Rolle in der Physik , Maschinenbau , Chemie , Informatik und Wirtschaft . Ein System nichtlinearer Gleichungen kann oft durch ein lineares System angenähert werden (siehe Linearisierung ), eine hilfreiche Technik bei der Erstellung eines mathematischen Modells oder der Computersimulation eines relativ komplexen Systems.

Geometrie

Analytische Geometrie

Ein Kegelschnitt ist der Schnittpunkt einer Ebene und eines Rotationskegels.

In der euklidischen Geometrie ist es möglich, jedem Punkt im Raum einen Satz von Koordinaten zuzuordnen, beispielsweise durch ein orthogonales Gitter. Dieses Verfahren erlaubt es, geometrische Figuren durch Gleichungen zu charakterisieren. Eine Ebene im dreidimensionalen Raum kann als Lösungssatz einer Gleichung der Form ausgedrückt werden , wobei und reelle Zahlen sind und die Unbekannten sind, die den Koordinaten eines Punktes in dem durch das orthogonale Gitter gegebenen System entsprechen. Die Werte sind die Koordinaten eines Vektors senkrecht zu der durch die Gleichung definierten Ebene. Eine Gerade wird als Schnittpunkt zweier Ebenen ausgedrückt, d. h. als Lösungsmenge einer einzelnen linearen Gleichung mit Werten in oder als Lösungsmenge zweier linearer Gleichungen mit Werten in${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle d}$${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb{R}^{3}.}$

Ein Kegelschnitt ist der Schnittpunkt eines Kegels mit Gleichung und einer Ebene. Mit anderen Worten, im Raum sind alle Kegelschnitte definiert als die Lösungsmenge einer Gleichung einer Ebene und einer gerade gegebenen Gleichung eines Kegels. Dieser Formalismus erlaubt es, die Positionen und die Eigenschaften der Brennpunkte eines Kegelschnitts zu bestimmen. ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$

Die Verwendung von Gleichungen erlaubt es, auf ein großes Gebiet der Mathematik zurückzugreifen, um geometrische Fragen zu lösen. Das kartesische Koordinatensystem verwandelt ein geometrisches Problem in ein Analyseproblem, sobald die Figuren in Gleichungen umgewandelt wurden; daher der Name analytische Geometrie . Dieser von Descartes skizzierte Standpunkt bereichert und modifiziert die Art der Geometrie, die von den antiken griechischen Mathematikern gedacht wurde.

Gegenwärtig bezeichnet die analytische Geometrie einen aktiven Zweig der Mathematik. Obwohl es immer noch Gleichungen verwendet, um Figuren zu charakterisieren, verwendet es auch andere ausgeklügelte Techniken wie die Funktionsanalyse und die lineare Algebra .

Kartesische Gleichungen

Ein kartesisches Koordinatensystem ist ein Koordinatensystem , das jeden Punkt in einer Ebene durch ein Paar numerischer Koordinaten eindeutig spezifiziert , das sind die vorzeichenbehafteten Abstände vom Punkt zu zwei festen senkrecht gerichteten Linien, die mit derselben Längeneinheit markiert sind .

Nach dem gleichen Prinzip kann man die Position eines beliebigen Punktes im dreidimensionalen Raum durch die Verwendung von drei kartesischen Koordinaten angeben , die die vorzeichenbehafteten Abstände zu drei zueinander senkrechten Ebenen sind (oder äquivalent durch seine senkrechte Projektion auf drei senkrecht zueinander stehende Linien ).

Kartesisches Koordinatensystem mit einem Kreis mit Radius 2 zentriert um den rot markierten Ursprung. Die Kreisgleichung lautet ( x − a ) ² + ( y − b ) ² = r ² wobei a und b die Koordinaten des Mittelpunkts ( a , b ) und r der Radius sind.

Die Erfindung kartesischer Koordinaten im 17. Jahrhundert von René Descartes ( Latinized name: Cartesius ) revolutionierte Mathematik , indem die erste systematische Verbindung zwischen der Bereitstellung der euklidischen Geometrie und Algebra . Unter Verwendung des kartesischen Koordinatensystems können geometrische Formen (wie Kurven ) durch kartesische Gleichungen beschrieben werden : algebraische Gleichungen, die die Koordinaten der auf der Form liegenden Punkte beinhalten. Zum Beispiel kann ein Kreis mit Radius 2 in einer Ebene, der auf einem bestimmten Punkt namens Ursprung zentriert ist, als die Menge aller Punkte beschrieben werden, deren Koordinaten x und y die Gleichung x ² + y ² = 4 erfüllen .

Parametrische Gleichungen

Eine parametrische Gleichung für eine Kurve drückt die Koordinaten der Punkte der Kurve als Funktionen einer Variablen aus , die als Parameter bezeichnet wird . Zum Beispiel,

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\cos t\\y&=\sin t\end{aligned}}}$

sind parametrische Gleichungen für den Einheitskreis , wobei t der Parameter ist. Zusammen werden diese Gleichungen als parametrische Darstellung der Kurve bezeichnet.

Der Begriff der parametrischen Gleichung wurde auf Oberflächen , Mannigfaltigkeiten und algebraische Varietäten höherer Dimension verallgemeinert , wobei die Anzahl der Parameter gleich der Dimension der Mannigfaltigkeit oder Varietät und die Anzahl der Gleichungen gleich der Dimension des Raums ist, in dem die Mannigfaltigkeit oder Varietät wird berücksichtigt (für Kurven ist die Dimension eins und ein Parameter wird verwendet, für Flächen wird die Dimension zwei und zwei Parameter verwendet usw.).

Zahlentheorie

Diophantine Gleichungen

Eine diophantische Gleichung ist eine polynomische Gleichung in zwei oder mehr Unbekannten, für die nur die ganzzahligen Lösungen gesucht werden (eine ganzzahlige Lösung ist eine Lösung, bei der alle Unbekannten ganzzahlige Werte annehmen). Eine lineare diophantische Gleichung ist eine Gleichung zwischen zwei Summen von Monomen vom Grad null oder eins. Ein Beispiel für eine lineare diophantische Gleichung ist ax + by = c, wobei a , b und c Konstanten sind. Eine exponentielle diophantische Gleichung ist eine, für die Exponenten der Terme der Gleichung Unbekannte sein können.

Diophantische Probleme haben weniger Gleichungen als unbekannte Variablen und beinhalten das Finden von ganzen Zahlen, die für alle Gleichungen korrekt funktionieren. In technischerer Sprache definieren sie eine algebraische Kurve , eine algebraische Fläche oder ein allgemeineres Objekt und fragen nach den Gitterpunkten darauf .

Das Wort Diophantine bezieht sich auf die Hellenistische Mathematiker des 3. Jahrhunderts, Diophantus von Alexandria , die eine Untersuchung solcher Gleichungen und war einer der ersten Mathematiker einzuführen Symbolik in Algebra . Die von Diophantus initiierte mathematische Untersuchung diophantischer Probleme wird heute als diophantische Analyse bezeichnet .

Algebraische und transzendente Zahlen

Eine algebraische Zahl ist eine Zahl, die eine Lösung einer von Null verschiedenen Polynomgleichung in einer Variablen mit rationalen Koeffizienten (oder äquivalent – ​​durch Löschen der Nenner – mit ganzzahligen Koeffizienten) ist. Zahlen wie π , die nicht algebraisch sind, werden als transzendent bezeichnet . Fast alle reellen und komplexen Zahlen sind transzendent.

Algebraische Geometrie

Die algebraische Geometrie ist ein Zweig der Mathematik , der klassisch Lösungen von Polynomgleichungen untersucht . Die moderne algebraische Geometrie basiert auf abstrakteren Techniken der abstrakten Algebra , insbesondere der kommutativen Algebra , mit der Sprache und den Problemen der Geometrie .

Die grundlegenden Studienobjekte in der algebraischen Geometrie sind algebraische Varietäten , die geometrischen Manifestationen sind Lösungen von Systemen von Polynomialgleichungen . Beispiele für die am besten untersuchten Klassen algebraischer Varietäten sind: ebene algebraische Kurven , die Linien , Kreise , Parabeln , Ellipsen , Hyperbeln , kubische Kurven wie elliptische Kurven und quartische Kurven wie Lemniskate und Cassini-Ovale umfassen . Ein Punkt der Ebene gehört zu einer algebraischen Kurve, wenn seine Koordinaten eine gegebene Polynomgleichung erfüllen. Grundlegende Fragen beinhalten das Studium der Punkte von besonderem Interesse wie die singulären Punkte , die Wendepunkte und die Punkte im Unendlichen . Fortgeschrittenere Fragen betreffen die Topologie der Kurve und die Beziehungen zwischen den Kurven, die durch verschiedene Gleichungen gegeben sind.

Differentialgleichung

Ein seltsamer Attraktor , der beim Lösen einer bestimmten Differentialgleichung entsteht

Eine Differentialgleichung ist eine mathematische Gleichung, die eine Funktion mit ihren Ableitungen in Beziehung setzt . In Anwendungen stellen die Funktionen normalerweise physikalische Größen dar, die Ableitungen ihre Änderungsraten und die Gleichung definiert eine Beziehung zwischen den beiden. Da solche Beziehungen sehr verbreitet sind, spielen Differentialgleichungen in vielen Disziplinen eine herausragende Rolle, darunter Physik , Ingenieurwissenschaften , Wirtschaftswissenschaften und Biologie .

In der reinen Mathematik werden Differentialgleichungen aus verschiedenen Perspektiven untersucht, meist mit ihren Lösungen – dem Satz von Funktionen, die die Gleichung erfüllen. Nur die einfachsten Differentialgleichungen sind durch explizite Formeln lösbar; jedoch können einige Eigenschaften von Lösungen einer gegebenen Differentialgleichung bestimmt werden, ohne ihre genaue Form zu finden.

Wenn keine in sich geschlossene Formel für die Lösung verfügbar ist, kann die Lösung mit Computern numerisch approximiert werden. Die Theorie dynamischer Systeme legt den Schwerpunkt auf die qualitative Analyse von Systemen, die durch Differentialgleichungen beschrieben werden, während viele numerische Methoden entwickelt wurden, um Lösungen mit einem bestimmten Genauigkeitsgrad zu bestimmen.

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Eine gewöhnliche Differentialgleichung oder ODE ist eine Gleichung, die eine Funktion einer unabhängigen Variablen und ihrer Ableitungen enthält. Der Begriff „ gewöhnlich “ wird im Gegensatz zum Begriff partielle Differentialgleichung verwendet , der sich auf mehr als eine unabhängige Variable beziehen kann.

Lineare Differentialgleichungen, deren Lösungen addiert und mit Koeffizienten multipliziert werden können, sind wohldefiniert und verstanden, und es werden exakte Lösungen in geschlossener Form erhalten. Im Gegensatz dazu sind ODEs ohne additive Lösungen nichtlinear, und ihre Lösung ist weitaus komplizierter, da man sie selten durch elementare Funktionen in geschlossener Form darstellen kann: Stattdessen liegen exakte und analytische Lösungen von ODEs in Reihen- oder Integralform vor. Grafische und numerische Methoden, die von Hand oder per Computer angewendet werden, können Lösungen von ODEs annähern und möglicherweise nützliche Informationen liefern, die oft ausreichen, wenn keine genauen analytischen Lösungen vorliegen.

Partielle Differentialgleichungen

Eine partielle Differentialgleichung ( PDE ) ist eine Differentialgleichung , die unbekannte multivariable Funktionen und ihre partiellen Ableitungen enthält . (Dies steht im Gegensatz zu gewöhnlichen Differentialgleichungen , die sich mit Funktionen einer einzelnen Variablen und ihren Ableitungen befassen.) PDEs werden verwendet, um Probleme mit Funktionen mehrerer Variablen zu formulieren, und werden entweder von Hand gelöst oder verwendet, um ein relevantes Computermodell zu erstellen .

Mit PDEs lassen sich verschiedenste Phänomene wie Schall , Wärme , Elektrostatik , Elektrodynamik , Fluidströmung , Elastizität oder Quantenmechanik beschreiben . Diese scheinbar unterschiedlichen physikalischen Phänomene können in ähnlicher Weise in Form von PDEs formalisiert werden. So wie gewöhnliche Differentialgleichungen oft eindimensionale dynamische Systeme modellieren, modellieren partielle Differentialgleichungen oft mehrdimensionale Systeme . PDEs finden ihre Verallgemeinerung in stochastischen partiellen Differentialgleichungen .

Arten von Gleichungen

Gleichungen können nach den Arten von Operationen und den beteiligten Größen klassifiziert werden . Wichtige Typen sind:

• Eine algebraische Gleichung oder Polynomgleichung ist eine Gleichung, bei der beide Seiten Polynome sind (siehe auch Polynomgleichungssystem ). Diese sind weiter nach Grad unterteilt :
  • lineare Gleichung für Grad eins
  • quadratische Gleichung für Grad zwei
  • kubische Gleichung für Grad drei
  • quartische Gleichung für Grad vier
  • Quintische Gleichung für Grad fünf
  • Sextische Gleichung für Grad sechs
  • septische Gleichung für Grad sieben
  • oktische Gleichung für Grad acht
• Eine diophantische Gleichung ist eine Gleichung, bei der die Unbekannten ganze Zahlen sein müssen
• Eine transzendente Gleichung ist eine Gleichung, die eine transzendente Funktion ihrer Unbekannten beinhaltet
• Eine parametrische Gleichung ist eine Gleichung, in der die Lösungen für die Variablen als Funktionen einiger anderer Variablen ausgedrückt werden, die als Parameter bezeichnet werden, die in den Gleichungen vorkommen
• Eine Funktionalgleichung ist eine Gleichung, in der die Unbekannten Funktionen und nicht einfache Größen sind
• Gleichungen mit Ableitungen, Integralen und endlichen Differenzen:
  • Eine Differentialgleichung ist eine Funktionsgleichung mit Ableitungen der unbekannten Funktionen, wobei die Funktion und ihre Ableitungen am selben Punkt ausgewertet werden, z . Differentialgleichungen werden unterteilt in gewöhnliche Differentialgleichungen für Funktionen einer einzelnen Variablen und partielle Differentialgleichungen für Funktionen mehrerer Variablen${\displaystyle f'(x)=x^{2}}$
  • Eine Integralgleichung ist eine Gleichung , die die funktionelle Beteiligung Stammfunktionen der unbekannten Funktionen. Bei Funktionen einer Variablen unterscheidet sich eine solche Gleichung von einer Differentialgleichung hauptsächlich dadurch, dass eine Variablenänderung die Funktion durch ihre Ableitung ersetzt, dies ist jedoch nicht der Fall, wenn das Integral über eine offene Fläche aufgenommen wird
  • Eine integro-Differentialgleichung ist eine Funktionalgleichung sowohl die Einbeziehung Derivate und die Stammfunktionen der unbekannten Funktionen. Bei Funktionen einer Variablen unterscheidet sich eine solche Gleichung von Integral- und Differentialgleichungen durch eine ähnliche Variablenänderung.
  • Eine funktionale Differenzialgleichung der Verzögerungsdifferenzialgleichung ist eine Funktionsgleichung mit Ableitungen der unbekannten Funktionen, die an mehreren Punkten ausgewertet werden, wie z${\displaystyle f'(x)=f(x-2)}$
  • Eine Differenzengleichung ist eine Gleichung, bei der die Unbekannte eine Funktion f ist , die in der Gleichung durch f ( x ), f ( x −1), ..., f ( x − k ) für eine ganze ganze Zahl k auftritt, die als Ordnung . bezeichnet wird der Gleichung. Wenn x auf eine ganze Zahl beschränkt ist, ist eine Differenzengleichung dasselbe wie eine Rekursionsbeziehung
  • Eine stochastische Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung, in der einer oder mehrere der Terme ein stochastischer Prozess sind

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

Externe Links

• Winplot : Allzweck-Plotter, der mathematische 2D- und 3D-Gleichungen zeichnen und animieren kann.
• Gleichungsplotter : Eine Webseite zum Erstellen und Herunterladen von PDF- oder Postscript-Plots der Lösungssätze für Gleichungen und Ungleichungen in zwei Variablen ( x und y ).