Median (Geometrie) - Median (geometry)

Die Dreiecksmediane und der Schwerpunkt .

In der Geometrie ist ein Median eines Dreiecks ein Liniensegment , das einen Scheitelpunkt mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbindet und somit diese Seite halbiert. Jedes Dreieck hat genau drei Mediane, einen von jedem Scheitelpunkt, und sie alle schneiden sich im Schwerpunkt des Dreiecks . Bei gleichschenkligen und gleichseitigen Dreiecken halbiert ein Median jeden Winkel an einem Scheitelpunkt, dessen zwei benachbarte Seiten gleich lang sind.

Das Konzept eines Medians erstreckt sich auf Tetraeder .

Bezug zum Massenschwerpunkt

Jeder Median eines Dreiecks geht durch den Schwerpunkt des Dreiecks , der der Massenmittelpunkt eines unendlich dünnen Objekts von gleichmäßiger Dichte ist, das mit dem Dreieck zusammenfällt. Somit würde das Objekt auf dem Schnittpunkt der Mediane balancieren. Der Schwerpunkt ist entlang eines Medians an der Seite, die der Median schneidet, doppelt so nah wie an dem Scheitelpunkt, von dem er ausgeht.

Flächengleiche Aufteilung

Jeder Median teilt die Fläche des Dreiecks in zwei Hälften; daher der Name, und daher würde ein dreieckiges Objekt mit gleichmäßiger Dichte auf jedem Median balancieren. (Alle anderen Linien, die die Fläche des Dreiecks in zwei gleiche Teile teilen, gehen nicht durch den Schwerpunkt.) Die drei Mittellinien teilen das Dreieck in sechs kleinere Dreiecke mit gleicher Fläche .

Nachweis der Flächengleichheit

Betrachten Sie ein Dreieck ABC . Sei D der Mittelpunkt von , E der Mittelpunkt von , F der Mittelpunkt von und O der Schwerpunkt (am häufigsten als G bezeichnet ). ${\overline {AB}}$ ${\overline {BC}}$ ${\overline {AC}}$

Definitionsgemäß . Somit und , wobei repräsentiert die Fläche des Dreiecks ; diese gelten, weil die beiden Dreiecke jeweils gleich lange Basen haben und eine gemeinsame Höhe von der (erweiterten) Basis haben und die Fläche eines Dreiecks gleich der Hälfte seiner Basis mal seiner Höhe ist. $AD=DB,AF=FC,BE=EC$ $[ADO]=[BDO],[AFO]=[CFO],[BEO]=[CEO],$ $[ABE]=[ACE]$ $[ABC]$ ${\displaystyle\dreieck ABC}$

Wir haben:

[ABO]=[ABE]-[BEO]

[ACO]=[ACE]-[CEO]

Also, und $[ABO]=[ACO]$ $[ADO]=[DBO],[ADO]={\frac {1}{2}}[ABO]$

Da also . Mit der gleichen Methode kann man das zeigen . $[AFO]=[FCO],[AFO]={\frac {1}{2}}[ACO]={\frac {1}{2}}[ABO]=[ADO]$ $[AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]$ $[AFO]=[FCO]=[DBO]=[ADO]=[BEO]=[CEO]$

Drei kongruente Dreiecke

2014 entdeckte Lee Sallows den folgenden Satz:

Die Mediane eines beliebigen Dreiecks zerlegen es in sechs flächengleiche kleinere Dreiecke wie in der Abbildung oben, wo sich drei benachbarte Dreieckspaare an den Mittelpunkten D, E und F treffen. Wenn die beiden Dreiecke in jedem dieser Paare um ihren gemeinsamen Mittelpunkt gedreht werden, bis sie treffen, um eine gemeinsame Seite zu teilen, dann sind die drei neuen Dreiecke, die durch die Vereinigung jedes Paares gebildet werden, deckungsgleich.

Formeln mit Medianlängen

Die Längen der Mediane können aus dem Satz von Apollonius erhalten werden als:

m_{a}={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}}

m_{b}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}}}

m_{c}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}}

wo und sind die Seiten des Dreiecks mit den jeweiligen Medianen und von ihren Mittelpunkten.

a,b,

c

m_{a},m_{b},

m_{c}

Diese Formeln implizieren die Beziehungen:

a={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{a}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{c}^{2}}}={ \sqrt {2(b^{2}+c^{2})-4m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-c^ {2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{c}^{2}}}

b={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}+2m_{c}^{2}}}={ \sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-c^ {2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{c}^{2}}}

c={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{c}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}}}={ \sqrt {2(b^{2}+a^{2})-4m_{c}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-a^ {2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{a}^{2}}} .

Andere Eigenschaften

Sei ABC ein Dreieck, sei G sein Schwerpunkt und seien D , E und F die Mittelpunkte von BC , CA bzw. AB . Für jeden Punkt P in der Ebene von ABC gilt dann

PA+PB+PC\leq 2(PD+PE+PF)+3PG.

Der Schwerpunkt teilt jeden Median im Verhältnis 2:1 in Teile, wobei der Schwerpunkt doppelt so nah am Mittelpunkt einer Seite liegt wie am gegenüberliegenden Scheitelpunkt.

Für jedes Dreieck mit Seiten und Mittellinien $a,b,c$ $m_{a},m_{b},m_{c},$

{\tfrac {3}{4}}(a+b+c)<m_{a}+m_{b}+m_{c}<a+b+c\quad {\text{ und }} \quad {\tfrac {3}{4}}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)=m_{a}^{2}+m_{b}^ {2}+m_{c}^{2}.

Die Mediane von Seiten der Längen und sind genau dann senkrecht, wenn $a$ $b$ $a^{2}+b^{2}=5c^{2}.$

Die Mediane eines rechtwinkligen Dreiecks mit Hypotenuse erfüllen $c$ $m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}.$

Die Fläche T eines beliebigen Dreiecks kann durch seine Mediane ausgedrückt werden , und zwar wie folgt. Wenn ihre Halbsumme mit dann bezeichnet ist $m_{a},m_{b}$ $m_{c}$ $\left(m_{a}+m_{b}+m_{c}\right)/2$ $\sigma$

T={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma \left(\sigma -m_{a}\right)\left(\sigma -m_{b}\right)\left( \sigma -m_{c}\right)}}.

Tetraeder

Mediane eines Tetraeders

{\begin{ausgerichtet}&{\frac {|AS|}{|SS_{BCD}|}}={\frac {|BS|}{|SS_{ACD}|}}={\frac { |CS|}{|SS_{ABD}|}}\\=&{\frac {|DS|}{|SS_{ABC}|}}={\frac {3}{1}}\end{ausgerichtet} }

Ein Tetraeder ist ein dreidimensionales Objekt mit vier dreieckigen Flächen . Ein Liniensegment, das einen Eckpunkt eines Tetraeders mit dem Schwerpunkt der gegenüberliegenden Fläche verbindet, wird als Median des Tetraeders bezeichnet. Es gibt vier Mediane, die alle gleichzeitig im Schwerpunkt des Tetraeders liegen. Wie in dem zweidimensionalen Fall ist der Schwerpunkt des Tetraeders die Mitte der Masse . Im Gegensatz zum zweidimensionalen Fall teilt der Schwerpunkt die Mediane jedoch nicht im Verhältnis 2:1, sondern im Verhältnis 3:1 ( Theorem von Commandino ).

Siehe auch

Verweise

Externe Links

Die Mediane im Schnitt
Fläche des mittleren Dreiecks am Schnittpunkt cut
Mittellinien eines Dreiecks Mit interaktiver Animation
Konstruieren eines Medians eines Dreiecks mit Zirkel und Lineal animierter Demonstration
Weisstein, Eric W. "Triangle Median" . MathWorld .

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