Modulare elliptische Kurve - Modular elliptic curve

Graphen von elliptischen Kurven y ² = x ³ − x und y ² = x ³ − x + 1. Betrachten wir diese als Kurven über den Rationalen, dann behauptet der Modularitätssatz , dass sie durch eine modulare Kurve parametrisiert werden können.

Eine modulare elliptische Kurve ist eine elliptische Kurve E , die eine Parametrisierung X ₀ ( N ) →  E durch eine modulare Kurve zulässt . Dies ist nicht dasselbe wie eine modulare Kurve, die zufällig eine elliptische Kurve ist, die als elliptische modulare Kurve bezeichnet werden könnte. Der Modularitätssatz , auch bekannt als Taniyama-Shimura-Vermutung , behauptet, dass jede über den rationalen Zahlen definierte elliptische Kurve modular ist.

Geschichte und Bedeutung

In den 1950er und 1960er Jahren vermutete der japanische Mathematiker Goro Shimura auf der Grundlage von Ideen von Yutaka Taniyama einen Zusammenhang zwischen elliptischen Kurven und modularen Formen . Im Westen wurde sie durch eine 1967 erschienene Arbeit von André Weil bekannt . Weil Weil dafür konzeptionelle Beweise liefert, wird sie manchmal als Taniyama-Shimura-Weil-Vermutung bezeichnet . Sie besagt, dass jede rationale elliptische Kurve modular ist .

In einem eigenen Entwicklungszweig kam Yves Hellegouarch Ende der 1960er Jahre auf die Idee, Lösungen ( a , b , c ) der Fermat-Gleichung einem völlig anderen mathematischen Objekt zuzuordnen: einer elliptischen Kurve. Die Kurve besteht aus allen Punkten in der Ebene, deren Koordinaten ( x ,  y ) die Beziehung

${\displaystyle y^{2}=x(xa^{n})(x+b^{n}).\,}$

Eine solche elliptische Kurve hätte ganz besondere Eigenschaften, die auf das Auftreten hoher Potenzen ganzer Zahlen in ihrer Gleichung und die Tatsache zurückzuführen sind, dass a ⁿ  +  b ⁿ = c ^{n auch} eine n- te Potenz ist.

Im Sommer 1986 demonstrierte Ken Ribet , dass ein Spezialfall der Taniyama-Shimura-Vermutung (damals noch nicht bewiesen) zusammen mit der nun bewiesenen Epsilon-Vermutung, wie Frey es vorausgesehen hatte, Fermats letzter Satz impliziert. Wenn also die Taniyama-Shimura-Vermutung für semistabile elliptische Kurven wahr ist, dann wäre der letzte Satz von Fermat wahr. Dieser theoretische Ansatz wurde jedoch weithin als unerreichbar angesehen, da die Taniyama-Shimura-Vermutung selbst weithin als völlig unzugänglich für einen Beweis mit dem gegenwärtigen Wissen angesehen wurde. Wiles 'Ex-Vorgesetzter John Coates sagt zum Beispiel, dass es "unmöglich zu beweisen" scheine, und Ken Ribet betrachtete sich selbst als "einen der überwiegenden Mehrheit der Leute, die glaubten, dass [es] völlig unzugänglich war".

Als Wiles den Beweis der Epsilon-Vermutung von 1986 hörte, beschloss er, ausschließlich nach einem Beweis der Taniyama-Shimura-Vermutung zu forschen. Ribet kommentierte später, dass "Andrew Wiles wahrscheinlich einer der wenigen Menschen auf der Welt war, der die Kühnheit hatte zu träumen, dass man tatsächlich gehen und es beweisen kann." 

Wiles gab seinen Beweis erstmals am Mittwoch, den 23. Juni 1993, bei einem Vortrag in Cambridge mit dem Titel "Elliptic Curves and Galois Representations" bekannt. Im September 1993 wurde jedoch festgestellt, dass der Beweis einen Fehler enthielt. Ein Jahr später, am Montag, dem 19. September 1994, in dem, was er "den wichtigsten Moment [seines] Arbeitslebens" nannte, stolperte Wiles über eine Offenbarung: " so unbeschreiblich schön... so einfach und so elegant", das es ihm erlaubte, den Beweis zur Zufriedenheit der mathematischen Gemeinschaft zu korrigieren. Der richtige Beweis wurde im Mai 1995 veröffentlicht. Der Beweis verwendet viele Techniken der algebraischen Geometrie und der Zahlentheorie und hat viele Verzweigungen in diesen Zweigen der Mathematik. Es verwendet auch Standardkonstruktionen der modernen algebraischen Geometrie, wie die Kategorie der Schemata und die Iwasawa-Theorie , und andere Techniken des 20. Jahrhunderts, die Fermat nicht zur Verfügung standen.

Modularitätstheorem

Der Satz besagt, dass jede elliptische Kurve über Q über eine rationale Abbildung mit ganzzahligen Koeffizienten aus der klassischen modularen Kurve erhalten werden kann

${\displaystyle X_{0}(N)\ }$

für eine ganze Zahl N ; dies ist eine Kurve mit ganzzahligen Koeffizienten mit einer expliziten Definition. Diese Abbildung wird als modulare Parametrisierung der Ebene N bezeichnet . Wenn N die kleinste ganze Zahl ist, für die eine solche Parametrisierung gefunden werden kann (die nach dem Modularitätssatz selbst jetzt als eine Zahl namens Leiter bezeichnet wird ), dann kann die Parametrisierung in Form einer Abbildung definiert werden, die durch eine bestimmte Art von erzeugt wird modulare Form von Gewicht zwei und Level N , eine normalisierte Neuform mit ganzzahliger q -Erweiterung, gegebenenfalls gefolgt von einer Isogenie .

Der Modularitätssatz impliziert eine eng verwandte analytische Aussage: An eine elliptische Kurve E über Q können wir eine entsprechende L-Reihe anhängen . Die L- Reihe ist eine Dirichlet-Reihe , die allgemein geschrieben wird

${\displaystyle L(s,E)=\prod_{p}L_{p}(s,E)^{-1}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{ n}}{n^{s}}}}$

wobei das Produkt und die Koeffizienten in der Hasse-Weil-Zeta-Funktion definiert sind . Die erzeugende Funktion der Koeffizienten ist dann ${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle f(q,E)=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}q^{n}.}$

Wenn wir die Ersetzung vornehmen

${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }\ }$

wir sehen, dass wir die Fourier-Entwicklung einer Funktion der komplexen Variablen τ geschrieben haben , so dass die Koeffizienten der q- Reihe auch als Fourier-Koeffizienten von gedacht werden . Die auf diese Weise erhaltene Funktion ist bemerkenswerterweise eine Spitzenform mit Gewicht zwei und Niveau N und ist auch eine Eigenform (ein Eigenvektor aller Hecke-Operatoren ); dies ist die Hasse-Weil-Vermutung , die aus dem Modularitätssatz folgt. ${\displaystyle f(\tau,E)}$${\ displaystyle f}$

Einige modulare Formen von Gewicht zwei entsprechen wiederum holomorphen Differentialen für eine elliptische Kurve. Die Jacobikurve der modularen Kurve kann (bis auf Isogenie) als Produkt irreduzibler Abelscher Varietäten geschrieben werden , entsprechend Hecke-Eigenformen von Gewicht 2. Die 1-dimensionalen Faktoren sind elliptische Kurven (es kann auch höherdimensionale Faktoren geben, also nicht alle Hecke-Eigenformen entsprechen rationalen elliptischen Kurven). Die Kurve, die durch Auffinden der entsprechenden Höckerform und anschließendes Konstruieren einer Kurve daraus erhalten wird, ist zur ursprünglichen Kurve isogen (aber im Allgemeinen nicht isomorph zu ihr).

Verweise

Weiterlesen

• Wiles, Andrew (1995), "Modular elliptic curves and Fermat's last theorem", Annals of Mathematics , Second Series, 141 (3): 443–551, CiteSeerX  10.1.1.169.9076 , doi : 10.2307/2118559 , ISSN  0003-486X , JSTOR  2118559 , MR  1333035
• Wiles, Andrew (1995), "Modulare Formen, elliptische Kurven und Fermats letzter Satz", Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Bd. 1, 2 (Zürich, 1994) , Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, S. 243–245, MR  1403925