Oktaederzahl - Octahedral number

146 Magnetkugeln , verpackt in Form eines Oktaeders

In der Zahlentheorie ist eine Oktaederzahl eine figürliche Zahl , die die Anzahl der Kugeln in einem aus dicht gepackten Kugeln gebildeten Oktaeder darstellt . Die n- te Oktaederzahl erhält man nach der Formel: ${\displaystyle O_{n}}$

${\displaystyle O_{n}={n(2n^{2}+1) \over 3}.}$

Die ersten paar Oktaederzahlen sind:

1 , 6 , 19 , 44 , 85 , 146, 231, 344, 489, 670, 891 (Sequenz A005900 im OEIS ).

Eigenschaften und Anwendungen

Die Oktaederzahlen haben eine erzeugende Funktion

${\displaystyle {\frac {z(z+1)^{2}}{(z-1)^{4}}}=\sum _{n=1}^{\infty }O_{n}z^{n}=z+6z^{2}+19z^{3}+\cdots .}$

Sir Frederick Pollock vermutete 1850, dass jede positive ganze Zahl die Summe von höchstens 7 Oktaederzahlen ist. Diese Aussage, die Pollock-Oktaederzahl-Vermutung , hat sich für alle außer endlich vielen Zahlen als wahr erwiesen.

In der Chemie können Oktaederzahlen verwendet werden, um die Anzahl der Atome in Oktaederclustern zu beschreiben; in diesem Zusammenhang werden sie magische Zahlen genannt .

Beziehung zu anderen figurativen Zahlen

Quadratische Pyramiden

Eine oktaedrische Kugelpackung kann in zwei quadratische Pyramiden unterteilt werden , eine umgedreht unter der anderen, indem sie entlang eines quadratischen Querschnitts geteilt wird. Daher kann die n- te Oktaederzahl durch Addition zweier aufeinanderfolgender quadratischer Pyramidenzahlen erhalten werden : ${\displaystyle O_{n}}$

${\displaystyle O_{n}=P_{n-1}+P_{n}.}$

Tetraeder

Wenn die n- te Oktaederzahl und die n- te Tetraederzahl ist, dann ${\displaystyle O_{n}}$${\displaystyle T_{n}}$

${\displaystyle O_{n}+4T_{n-1}=T_{2n-1}.}$

Dies stellt die geometrische Tatsache dar, dass das Aufkleben eines Tetraeders auf jede der vier nicht benachbarten Seiten eines Oktaeders einen doppelt so großen Tetraeder erzeugt.

Eine andere Beziehung zwischen Oktaederzahlen und Tetraederzahlen ist ebenfalls möglich, da ein Oktaeder in vier Tetraeder mit jeweils zwei benachbarten Originalflächen unterteilt werden kann (oder alternativ basierend auf der Tatsache, dass jede quadratische Pyramidenzahl die Summe zweier Tetraeder ist) Zahlen):

${\displaystyle O_{n}=T_{n}+2T_{n-1}+T_{n-2}.}$

Würfel

Wenn zwei Tetraeder an gegenüberliegenden Seiten eines Oktaeders angebracht sind, ist das Ergebnis ein Rhomboeder . Die Anzahl der dicht gepackten Kugeln im Rhomboeder ist ein Würfel , was die Gleichung rechtfertigt

${\displaystyle O_{n}+2T_{n-1}=n^{3}.}$

Zentrierte Quadrate

Quadratische Pyramiden, bei denen jede Schicht eine zentrierte quadratische Anzahl von Würfeln hat. Die Gesamtzahl der Würfel in jeder Pyramide ist eine Oktaederzahl.

Der Unterschied zwischen zwei aufeinanderfolgenden Oktaederzahlen ist eine zentrierte Quadratzahl :

${\displaystyle O_{n}-O_{n-1}=C_{4,n}=n^{2}+(n-1)^{2}.}$

Daher repräsentiert eine Oktaederzahl auch die Anzahl der Punkte in einer quadratischen Pyramide, die durch Stapeln zentrierter Quadrate gebildet wird; Aus diesem Grund nannte Francesco Maurolico in seinem Buch Arithmeticorum libri duo (1575) diese Zahlen "pyramides quadratae secundae".

Die Anzahl der Würfel in einem Oktaeder, der durch Stapeln zentrierter Quadrate gebildet wird, ist eine zentrierte Oktaederzahl , die Summe zweier aufeinanderfolgender Oktaederzahlen. Diese Zahlen sind

1, 7, 25, 63, 129, 231, 377, 575, 833, 1159, 1561, 2047, 2625, ... (Sequenz A001845 im OEIS )

gegeben durch die Formel

${\displaystyle O_{n}+O_{n-1}={\frac {(2n-1)(2n^{2}-2n+3)}{3}}}$für n = 1, 2, 3, ...

Geschichte

Die erste Studie über Oktaederzahlen scheint René Descartes um 1630 in seinem De solidorum elementis gemacht zu haben . Vor Descartes wurden figurale Zahlen von den alten Griechen und von Johann Faulhaber untersucht , jedoch nur für polygonale Zahlen , Pyramidenzahlen und Würfel . Descartes führte das Studium der figuralen Zahlen auf der Grundlage der platonischen Körper und einiger der halbregelmäßigen Polyeder ein ; seine Arbeit umfasste die Oktaederzahlen. Allerdings De solidorum elementis war verloren und erst 1860. In der Zwischenzeit wieder entdeckt, Oktaeder Zahlen hatte sich wieder von anderen Mathematikern untersucht worden, darunter Friedrich Wilhelm Marpurg 1774, Georg Simon Klügel im Jahre 1808, und Sir Frederick Pollock im Jahre 1850.

Verweise

Externe Links

• Weisstein, Eric W. "Oktaederzahl" . MathWorld .