Polygonale Zahl - Polygonal number

In der Mathematik ist eine polygonale Zahl eine Zahl, die als Punkte oder Kieselsteine dargestellt wird, die in Form eines regelmäßigen Vielecks angeordnet sind . Die Punkte werden als Alphas (Einheiten) betrachtet. Dies sind eine Art von zweidimensionalen figuralen Zahlen .

Definition und Beispiele

Die Zahl 10 kann zum Beispiel als Dreieck angeordnet werden (siehe Dreieckszahl ):

Aber 10 kann nicht als Quadrat angeordnet werden . Die Zahl 9 hingegen kann sein (siehe Quadratzahl ):

Einige Zahlen, wie 36, können sowohl als Quadrat als auch als Dreieck angeordnet werden (siehe quadratische Dreieckszahl ):

Gemäß Konvention ist 1 die erste polygonale Zahl für eine beliebige Anzahl von Seiten. Die Regel zum Vergrößern des Polygons auf die nächste Größe besteht darin, zwei benachbarte Arme um einen Punkt zu verlängern und dann die erforderlichen zusätzlichen Seiten zwischen diesen Punkten hinzuzufügen. In den folgenden Diagrammen wird jede zusätzliche Schicht rot dargestellt.

Dreieckszahlen

Quadratzahl

Auch Polygone mit höheren Seitenzahlen, wie Fünf- und Sechsecke, können nach dieser Regel konstruiert werden, allerdings bilden die Punkte nicht mehr wie oben ein vollkommen regelmäßiges Gitter.

Fünfeckige Zahlen

Sechseckige Zahlen

Formel

Eine s -Eckzahl lässt sich in s −2 Dreieckszahlen und eine natürliche Zahl zerlegen

Wenn $s$ die Anzahl der Seiten in einem Polygon ist, die Formel für die $n$ - te $s$ -gonal Zahl $P (s, n)$ ist ,

P(s,n)={\frac {(s-2)n^{2}-(s-4)n}{2}}

oder

P(s,n)=(s-2){\frac {n(n-1)}{2}}+n

Die $n-$ te $s-$ Eckzahl hängt auch wie folgt mit den Dreieckszahlen $T n zusammen$ :

P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n=(s-3)T_{n-1}+T_{n}\,.

Daher:

{\begin{ausgerichtet}P(s,n+1)-P(s,n)&=(s-2)n+1\,,\\P(s+1,n)-P( s,n)&=T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}\,.\end{ausgerichtet}}

Für eine gegebene $s-$ Eckzahl $P (s, n) = x$ findet man $n$ durch

n={\frac {{\sqrt {8(s-2)x+{(s-4)}^{2}}}+(s-4)}{2(s-2)}}

und man kann finden $s$ durch

s=2+{\frac {2}{n}}\cdot {\frac {xn}{n-1}}

.

Jede Sechskantzahl ist auch eine Dreieckszahl

Anwendung der obigen Formel:

P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n

zum Fall von 6 Seiten ergibt:

P(6,n)=4T_{n-1}+n

aber seit:

T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}

es folgt dem:

P(6,n)={\frac {4n(n-1)}{2}}+n={\frac {2n(2n-1)}{2}}=T_{2n-1}

Dies zeigt, dass die $n-$ te Sechseckzahl $P (6, n)$ auch die $(2 n - 1)$ -te Dreieckszahl $T 2 n -1 ist$ . Wir können jede sechseckige Zahl finden, indem wir einfach die ungeraden Dreieckszahlen nehmen:

1 , 3, 6 , 10, 15 , 21, 28 , 36, 45 , 55, 66 , ...

Wertetabelle

Die ersten 6 Werte in der Spalte "Summe der Kehrwerte" für Dreiecks- bis Achteckzahlen stammen aus einer veröffentlichten Lösung des allgemeinen Problems, die auch eine allgemeine Formel für eine beliebige Anzahl von Seiten in Bezug auf die Digamma-Funktion angibt .

$S$	Name	Formel	$n$										Summe der Kehrwerte	OEIS- Nummer
$S$	Name	Formel	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	Summe der Kehrwerte	OEIS- Nummer
3	Dreieckig	$.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} 1/2( n 2 + n )$	1	3	6	10	fünfzehn	21	28	36	45	55	2	A000217
4	Quadrat	$1 / 2 (2 n 2 - 0 n) = n 2$	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	$π$ ²/6	A000290
5	Fünfeckig	$1 / 2 (3 n 2 - n)$	1	5	12	22	35	51	70	92	117	145	$3 ln 3 - & pgr; \sqrt 3 / 3$	A000326
6	Sechseckig	$1 / 2 (4 n 2 - 2 n) = 2 n 2 - n$	1	6	fünfzehn	28	45	66	91	120	153	190	$2 ln 2$	A000384
7	Siebeneckig	$1 / 2 (5 n 2 - 3 n)$	1	7	18	34	55	81	112	148	189	235	${\begin{matrix}{\tfrac {2}{3}}\ln 5\\+{\tfrac {{1}+{\sqrt {5}}}{3}}\ln {\tfrac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{2}}\\+{\tfrac {{1}-{\sqrt {5}}}{3}}\ln {\tfrac {\ sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{2}}\\+{\tfrac {\pi {\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}}}{15}}\end {Matrix}}$	A000566
8	Achteckig	$1 / 2 (6 n 2 - 4 n) = 3 n 2 - 2 n$	1	8	21	40	65	96	133	176	225	280	$3 / 4 ln 3 + & pgr; \sqrt 3 / 12$	A000567
9	Nonagonal	$1 / 2 (7 n 2 - 5 n)$	1	9	24	46	75	111	154	204	261	325		A001106
10	Zehneckig	$1 / 2 (8 n 2 - 6 n) = 4 n 2 - 3 n$	1	10	27	52	85	126	175	232	297	370	$ln 2 + π / 6$	A001107
11	Hendecagonal	$1 / 2 (9 n 2 - 7 n)$	1	11	30	58	95	141	196	260	333	415		A051682
12	Zwölfkant	$1 / 2 (10 n 2 - 8 n)$	1	12	33	64	105	156	217	288	369	460		A051624
13	Dreieckig	$1 / 2 (11 n 2 - 9 n)$	1	13	36	70	115	171	238	316	405	505		A051865
14	Tetradecagonal	$1 / 2 (12 n 2 - 10 n)$	1	14	39	76	125	186	259	344	441	550	$2 / 5 ln 2 + 3 / 10 ln 3 + & pgr; \sqrt 3 / 10$	A051866
fünfzehn	Fünfeckig	$1 / 2 (13 n 2 - 11 n)$	1	fünfzehn	42	82	135	201	280	372	477	595		A051867
16	Sechseckig	$1 / 2 (14 n 2 - 12 n)$	1	16	45	88	145	216	301	400	513	640		A051868
17	Siebenzehneckig	$1 / 2 (15 n 2 - 13 n)$	1	17	48	94	155	231	322	428	549	685		A051869
18	Achteckig	$1 / 2 (16 n 2 - 14 n)$	1	18	51	100	165	246	343	456	585	730	$4 / 7 ln 2 - \sqrt 2 / 14 ln (3 - 2 \sqrt 2)$ $+ π (1 + \sqrt 2) / 14$	A051870
19	Enneadekagonal	$1 / 2 (17 n 2 - 15 n)$	1	19	54	106	175	261	364	484	621	775		A051871
20	Ikosagonal	$1 / 2 (18 n 2 - 16 n)$	1	20	57	112	185	276	385	512	657	820		A051872
21	Ikosihenagonal	$1 / 2 (19 n 2 - 17 n)$	1	21	60	118	195	291	406	540	693	865		A051873
22	Ikosidonale	$1 / 2 (20 n 2 - 18 n)$	1	22	63	124	205	306	427	568	729	910		A051874
23	Icositrigonal	$1 / 2 (21 n 2 - 19 n)$	1	23	66	130	215	321	448	596	765	955		A051875
24	Ikositetragonale	$1 / 2 (22 n 2 - 20 n)$	1	24	69	136	225	336	469	624	801	1000		A051876
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
10000	Myriagonal	$1 / 2 (9998 n 2 - 9996 n)$	1	10000	29997	59992	99985	149976	209965	279952	359937	449920		A167149

Die Online -Enzyklopädie der Integer-Sequenzen vermeidet Begriffe, die griechische Präfixe verwenden (z. B. „achteckig“) zugunsten von Begriffen, die Ziffern verwenden (dh „8-gonal“).

Eine Eigenschaft dieser Tabelle kann durch die folgende Identität ausgedrückt werden (siehe A086270 ):

2\,P(s,n)=P(s+k,n)+P(sk,n),

mit

k=0,1,2,3,...,s-3.

Kombinationen

Einige Zahlen, wie z. B. 36, die sowohl quadratisch als auch dreieckig ist, fallen in zwei polygonale Mengen. Das Problem, bei gegebenen zwei solchen Mengen alle Zahlen zu bestimmen, die zu beiden gehören, kann gelöst werden, indem das Problem auf die Pell-Gleichung reduziert wird . Das einfachste Beispiel dafür ist die Folge von quadratischen Dreieckszahlen .

Die folgende Tabelle fasst die Menge der $s-$ gonalen $t-$ gonalen Zahlen für kleine Werte von $s$ und $t zusammen$ .

$S$	$T$	Reihenfolge	OEIS- Nummer
4	3	1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, 63955431761796, 2172602007770041, 73804512832419600, 2507180834294496361, 85170343853180456676, 28932845101738410306749749,3838457655, 3893284510173841030625, 9878457655, 33848450625, 9828457655, 3338	A001110
5	3	1, 210, 40755, 7906276, 1533776805, 297544793910, 57722156241751, 11197800766105800, 2172315626468283465, …	A014979
5	4	1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801, ...	A036353
6	3	Alle sechseckigen Zahlen sind auch dreieckig.	A000384
6	4	1, 1225, 1413721, 1631432881, 1882672131025, 2172602007770041, 2507180834294496361, 2893284510173841030625, 3338847817559778254844961, 3853027488179473932250054441, ...	A046177
6	5	1, 40755, 1533776805, …	A046180
7	3	1, 55, 121771, 5720653, 12625478965, 593128762435, 1309034909945503, 61496776341083161, 135723357520344181225, 6376108764003055554511, 14072069153115290487843091, …	A046194
7	4	1, 81, 5929, 2307361, 168662169, 12328771225, 4797839017609, 350709705290025, 25635978392186449, 9976444135331412025, …	A036354
7	5	1, 4347, 16701685, 64167869935, …	A048900
7	6	1, 121771, 12625478965, …	A048903
8	3	1, 21, 11781, 203841, …	A046183
8	4	1, 225, 43681, 8473921, 1643897025, 318907548961, 61866420601441, 12001766689130625, 2328280871270739841, 451674487259834398561, 87622522247536602581025, 16998317641534841066320321, …	A036428
8	5	1, 176, 1575425, 234631320, …	A046189
8	6	1, 11781, 113123361, …	A046192
8	7	1, 297045, 69010153345, …	A048906
9	3	1, 325, 82621, 20985481, …	A048909
9	4	1, 9, 1089, 8281, 978121, 7436529, 878351769, 6677994961, 788758910641, 5996832038649, 708304623404049, 5385148492712041, 636056763057925561, ...	A036411
9	5	1, 651, 180868051, …	A048915
9	6	1, 325, 5330229625, …	A048918
9	7	1, 26884, 542041975, …	A048921
9	8	1, 631125, 286703855361, …	A048924

In einigen Fällen, wie z. B. $s = 10$ und $t = 4$ , gibt es in beiden Mengen keine anderen Zahlen als 1.

Das Problem, Zahlen zu finden, die zu drei polygonalen Mengen gehören, ist schwieriger. Eine Computersuche nach fünfeckigen quadratischen Dreieckszahlen hat nur den trivialen Wert 1 ergeben, obwohl ein Beweis dafür, dass es keine anderen solchen Zahlen gibt, noch gefunden wurde.

Die Zahl 1225 ist hekatonicositetragonal ( $s = 124$ ), hexakontagonal ( $s = 60$ ), icosienneagonal ( $s = 29$ ), sechseckig, quadratisch und dreieckig.

Die einzige polygonale Menge, die vollständig in einer anderen polygonalen Menge enthalten ist, ist die Menge der sechseckigen Zahlen, die in der Menge der Dreieckszahlen enthalten ist.

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers , David Wells ( Penguin Books , 1997) [ ISBN 0-14-026149-4 ].
Polygonale Zahlen bei PlanetMath
Weisstein, Eric W. "Polygonale Zahlen" . MathWorld .
F. Tapson (1999). Das Oxford Mathematics Study Dictionary (2. Aufl.). Oxford University Press. S. 88–89. ISBN 0-19-914-567-9.

Externe Links

"Polygonale Zahl" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
Polygonale Zahlen: Jede s-polygonale Zahl zwischen 1 und 1000 anklickbar für 2<=s<=337
Polygonale Zahlen auf dem Ulam-Spiralgitter auf YouTube
Polygonale Zahlenzählfunktion: http://www.mathisfunforum.com/viewtopic.php?id=17853

Languages

In other projects