Onos Ungleichung - Ono's inequality

In der Mathematik ist Onos Ungleichung ein Satz über Dreiecke in der euklidischen Ebene . In seiner ursprünglichen Form, wie von T. Ono 1914 vermutet , ist die Ungleichung tatsächlich falsch; Die Aussage gilt jedoch für spitze Dreiecke und rechtwinklige Dreiecke , wie F. Balitrand 1916 gezeigt hat.

Erklärung der Ungleichung

Betrachten wir einen spitzen oder rechten Dreieck in der euklidischen Ebene mit den Seitenlängen a , b und c und die Fläche A . Dann

${\ displaystyle 27 (b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} (c ^ {2} + a ^ {2} -b ^ {2}) ^ {2} (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2} \ leq (4A) ^ {6}.}$

Diese Ungleichung schlägt für allgemeine Dreiecke (auf die Onos ursprüngliche Vermutung zutraf) fehl, wie das Gegenbeispiel zeigt ${\ displaystyle a = 2, \, \, b = 3, \, \, c = 4, \, \, A = 3 {\ sqrt {15}} / 4.}$

Die Ungleichung gilt mit Gleichheit im Fall eines gleichseitigen Dreiecks , in dem wir bis zur Ähnlichkeit Seiten und Flächen haben ${\ displaystyle 1,1,1}$${\ displaystyle {\ sqrt {3}} / 4.}$

Siehe auch

• Liste der Dreiecksungleichungen

Verweise

• Balitrand, F. (1916). "Problem 4417". Intermed. Mathe . 23 : 86–87. JFM   46.0859.06 .
• Ono, T. (1914). "Problem 4417". Intermed. Mathe . 21 : 146.
• Quijano, G. (1915). "Problem 4417". Intermed. Mathe . 22 : 66.
• Lukarevski, M. (2017). "Ein alternativer Beweis für Gerretsens Ungleichheiten". Elem. Mathe . 72 : 2–8.

Externe Links

• Weisstein, Eric W. "Ono Ungleichung" . MathWorld .