Orthans - Orthant

In zwei Dimensionen gibt es 4 Orthants (Quadranten genannt)

In der Geometrie ist ein Orthant oder Hyperoktant das Analogon im n- dimensionalen euklidischen Raum eines Quadranten in der Ebene oder eines Oktanten in drei Dimensionen.

Im Allgemeinen kann ein Ortant in n- Dimensionen als Schnittpunkt von n zueinander orthogonalen Halbräumen angesehen werden . Durch unabhängige Auswahl von Halbraumzeichen gibt es 2 n Orthants im n- dimensionalen Raum.

Genauer gesagt ist ein geschlossener Orthant in R n eine Teilmenge, die definiert wird, indem jede kartesische Koordinate eingeschränkt wird , damit sie nicht negativ oder nicht positiv ist. Eine solche Teilmenge wird durch ein System von Ungleichungen definiert:

ε 1 x 1  ≥ 0 ε 2 x 2  ≥ 0 · · · ε n x n  ≥ 0,

wobei jedes ε i +1 oder –1 ist.

In ähnlicher Weise ist ein offener Orthant in R n eine Teilmenge, die durch ein System strenger Ungleichungen definiert ist

ε 1 x 1  > 0 ε 2 x 2  > 0 · · · ε n x n  > 0,

wobei jedes ε i +1 oder –1 ist.

Nach Dimension:

  • In einer Dimension ist ein Orthant ein Strahl .
  • In zwei Dimensionen ist ein Orthant ein Quadrant .
  • In drei Dimensionen ist ein Orthant ein Oktant .

John Conway definierte den Begriff n - orthoplex von Orthanten Komplex als regelmäßigen Polytop in n -Abmessungen mit 2 n simplex Facetten , einem pro Orthanten.

Der nichtnegative Ortant ist die Verallgemeinerung des ersten Quadranten auf n- Dimensionen und ist in vielen eingeschränkten Optimierungsproblemen wichtig .

Siehe auch

  • Kreuzpolytop (oder orthoplex) - eine Familie von regelmäßigen polytopes in n -Abmessungen , die mit einem konstruiert werden können simplex Facetten in jedem Orthanten Raum.
  • Messen Sie Polytope (oder Hyperwürfel) - eine Familie von regelmäßigen Polytopen in n- Dimensionen, die mit einem Scheitelpunkt in jedem Orthant-Raum konstruiert werden können.
  • Orthotope - Verallgemeinerung eines Rechtecks ​​in n- Dimensionen, mit einem Scheitelpunkt in jedem Orthant.

Verweise

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