Orthans - Orthant
In der Geometrie ist ein Orthant oder Hyperoktant das Analogon im n- dimensionalen euklidischen Raum eines Quadranten in der Ebene oder eines Oktanten in drei Dimensionen.
Im Allgemeinen kann ein Ortant in n- Dimensionen als Schnittpunkt von n zueinander orthogonalen Halbräumen angesehen werden . Durch unabhängige Auswahl von Halbraumzeichen gibt es 2 n Orthants im n- dimensionalen Raum.
Genauer gesagt ist ein geschlossener Orthant in R n eine Teilmenge, die definiert wird, indem jede kartesische Koordinate eingeschränkt wird , damit sie nicht negativ oder nicht positiv ist. Eine solche Teilmenge wird durch ein System von Ungleichungen definiert:
- ε 1 x 1 ≥ 0 ε 2 x 2 ≥ 0 · · · ε n x n ≥ 0,
wobei jedes ε i +1 oder –1 ist.
In ähnlicher Weise ist ein offener Orthant in R n eine Teilmenge, die durch ein System strenger Ungleichungen definiert ist
- ε 1 x 1 > 0 ε 2 x 2 > 0 · · · ε n x n > 0,
wobei jedes ε i +1 oder –1 ist.
Nach Dimension:
- In einer Dimension ist ein Orthant ein Strahl .
- In zwei Dimensionen ist ein Orthant ein Quadrant .
- In drei Dimensionen ist ein Orthant ein Oktant .
John Conway definierte den Begriff n - orthoplex von Orthanten Komplex als regelmäßigen Polytop in n -Abmessungen mit 2 n simplex Facetten , einem pro Orthanten.
Der nichtnegative Ortant ist die Verallgemeinerung des ersten Quadranten auf n- Dimensionen und ist in vielen eingeschränkten Optimierungsproblemen wichtig .
Siehe auch
- Kreuzpolytop (oder orthoplex) - eine Familie von regelmäßigen polytopes in n -Abmessungen , die mit einem konstruiert werden können simplex Facetten in jedem Orthanten Raum.
- Messen Sie Polytope (oder Hyperwürfel) - eine Familie von regelmäßigen Polytopen in n- Dimensionen, die mit einem Scheitelpunkt in jedem Orthant-Raum konstruiert werden können.
- Orthotope - Verallgemeinerung eines Rechtecks in n- Dimensionen, mit einem Scheitelpunkt in jedem Orthant.
Verweise
Weiterlesen
- Aktenlage: Geometry Handbook , Catherine A. Gorini, 2003, ISBN 0-8160-4875-4 , S. 113