Pedaldreieck - Pedal triangle
In der Geometrie erhält man ein Pedaldreieck , indem man einen Punkt auf die Seiten eines Dreiecks projiziert .
Betrachten Sie genauer ein Dreieck ABC und einen Punkt P , der nicht einer der Eckpunkte A, B, C ist . Lassen Sie Senkrechte von P zu den drei Seiten des Dreiecks fallen (diese müssen möglicherweise erzeugt, dh erweitert werden). Beschriften Sie L , M , N die Schnittpunkte der Linien von P mit den Seiten BC , AC , AB . Das Pedaldreieck ist dann LMN .
Wenn ABC kein stumpfes Dreieck ist, betragen die Winkel von LMN 180º-2A, 180º-2B und 180º-2C.
Die Lage des gewählten Punktes P relativ zum gewählten Dreieck ABC führt zu einigen Sonderfällen:
- Wenn P = Orthozentrum , dann LMN = orthogonales Dreieck .
- Wenn P = incenter , dann LMN = Intouch-Dreieck.
- Wenn P = circumcenter , dann = LMN medial Dreieck .
Wenn P auf dem Umkreis des Dreiecks liegt, kollabiert LMN zu einer Linie. Dies wird dann die Pedallinie oder manchmal die Simson-Linie nach Robert Simson genannt .
Die Eckpunkte des Pedaldreiecks eines inneren Punktes P , wie im oberen Diagramm gezeigt, teilen die Seiten des ursprünglichen Dreiecks so, dass der Satz von Carnot erfüllt ist :
Trilineare Koordinaten
Wenn P hat trilineare Koordinaten p : q : r , dann der Scheitel L, M, N des Pedals Dreiecks P gegeben durch
- L = 0 : q + p cos C : r + p cos B
- M = p + q cos C : 0 : r + q cos A
- N = p + r cos B : q + r cos A : 0
Antipedal-Dreieck
Ein Eckpunkt, L‘ , das antipedal Dreiecks von P ist der Schnittpunkt der senkrecht zu BP durch B und die Senkrechten zu CP durch C . Seine anderen Eckpunkte M ' und N ' sind analog aufgebaut. Trilineare Koordinaten sind gegeben durch
- L' = − (q + p cos C)(r + p cos B) : (r + p cos B)(p + q cos C) : (q + p cos C)(p + r cos B)
- M' = (r + q cos A)(q + p cos C) : − (r + q cos A)(p + q cos C) : (p + q cos C)(q + r cos A)
- N ' = (q + r cos A) (r + p cos B): (p + r cos B) (r + q cos A): - (p + r cos B) (q + r cos A)
Das exzentrische Dreieck ist beispielsweise das Antipedaldreieck des Incenters.
Angenommen, P liege auf keiner der verlängerten Seiten BC, CA, AB, und sei P −1 die isogonal Konjugierte von P . Das Pedaldreieck von P ist homothetisch zum Antipedaldreieck von P −1 . Das homothetische Zentrum (das genau dann ein Dreieckszentrum ist, wenn P ein Dreieckszentrum ist) ist der Punkt in trilinearen Koordinaten durch point
- ap (p + q cos C) (p + r cos B): bq (q + r cos A) (q + p cos C): cr (r + p cos B) (r + q cos A) .
Das Produkt der Flächen des Pedaldreiecks von P und des Antipedaldreiecks von P −1 entspricht dem Quadrat der Fläche des Dreiecks ABC .