Positiver Strom - Positive current

In der Mathematik, insbesondere in der komplexen Geometrie , der algebraischen Geometrie und der komplexen Analyse , ist ein positiver Strom eine positive ( np , np ) -Form über eine n- dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit , wobei Werte in Verteilungen angenommen werden.

Für eine formale Definition betrachten wir eine Verteiler M . Ströme auf M sind (per Definition) Differentialformen mit Verteilungskoeffizienten. ;; Bei der Integration über M können wir Ströme als "Integrationsströme" betrachten, dh als Funktionale

${\ displaystyle \ eta \ mapsto \ int _ {M} \ eta \ wedge \ rho}$

auf glatten Formen mit kompakter Unterstützung. Auf diese Weise werden Ströme als Elemente im dualen Raum zum Raum der Formen mit kompakter Unterstützung betrachtet. ${\ displaystyle \ Lambda _ {c} ^ {*} (M)}$

Nun sei M eine komplexe Mannigfaltigkeit. Die Hodge-Zerlegung wird auf natürliche Weise für Ströme definiert, wobei die (p, q) -Ströme funktional sind . ${\ displaystyle \ Lambda ^ {i} (M) = \ bigoplus _ {p + q = i} \ Lambda ^ {p, q} (M)}$${\ displaystyle \ Lambda _ {c} ^ {p, q} (M)}$

Ein positiver Strom ist definiert als ein realer Strom vom Hodge-Typ (p, p) , der für alle positiven (p, p) -Formen nicht negative Werte annimmt .

Charakterisierung von Kähler-Mannigfaltigkeiten

Mit dem Hahn-Banach-Theorem haben Harvey und Lawson das folgende Existenzkriterium für Kähler-Metriken bewiesen .

Satz: Sei M eine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit. Dann lässt M genau dann keine Kähler-Struktur zu, wenn M einen positiven (1,1) -Strom ungleich Null zulässt, der ein (1,1) -Teil eines exakten 2-Stroms ist. ${\ displaystyle \ Theta}$

Es ist zu beachten, dass das De-Rham-Differential 3-Ströme auf 2-Ströme abbildet und daher ein Differential eines 3-Stroms ist; Wenn es sich um einen Integrationsstrom einer komplexen Kurve handelt , bedeutet dies, dass diese Kurve ein (1,1) -Teil einer Grenze ist. ${\ displaystyle \ Theta}$${\ displaystyle \ Theta}$

Wenn M eine surjektive Abbildung auf eine Kähler-Mannigfaltigkeit mit eindimensionalen Fasern zulässt , führt dieser Satz zu dem folgenden Ergebnis einer komplexen algebraischen Geometrie. ${\ displaystyle \ pi: \; M \ mapsto X}$

Korollar: In dieser Situation M ist nicht Kähler , wenn und nur wenn die Homologie Klasse einer generischen Faser ist ein (1,1) -Teil einer Grenze. ${\ displaystyle \ pi}$

Anmerkungen

Verweise

• P. Griffiths und J. Harris (1978), Principles of Algebraic Geometry , Wiley. ISBN  0-471-32792-1
• J.-P. Demailly , $ L ^ 2 $ verschwindende Theoreme für positive Linienbündel und Adjunktionstheorie, Lecture Notes eines CIME-Kurses über "Transzendentale Methoden der algebraischen Geometrie" (Cetraro, Italien, Juli 1994)

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