R-Algebroid - R-algebroid

In der Mathematik , R-algebroids aufgebaut ist , ausgehend von Gruppoide . Diese sind abstrakte Begriffe als die Lie algebroids , die eine ähnliche Rolle in der Theorie der spielen Lie Gruppoide zu den Liealgebren in der Theorie der Lie - Gruppen . (Ein Lie-Algebroid kann daher als " Lie-Algebra mit vielen Objekten " betrachtet werden.)

Definition

Ein R-algebroiden , wird von einem Gruppoid konstruiert wie folgt. Die Objektmenge von ist dieselbe wie die von und ist das freie R-Modul auf der Menge , wobei die Zusammensetzung durch die übliche bilineare Regel gegeben ist und die Zusammensetzung von erweitert . ${\ displaystyle R {\ mathsf {G}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {G}}}$${\ displaystyle R {\ mathsf {G}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {G}}}$${\ displaystyle R {\ mathsf {G}} (b, c)}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {G}} (b, c)}$${\ displaystyle {\ mathsf {G}}}$

R-Kategorie

Ein Groupoid kann als Kategorie mit invertierbaren Morphismen angesehen werden. Dann wird eine R-Kategorie als Erweiterung des R- Algebroid-Konzepts definiert, indem das Groupoid in dieser Konstruktion durch eine allgemeine Kategorie C ersetzt wird , bei der nicht alle Morphismen invertierbar sind. ${\ displaystyle {\ mathsf {G}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {G}}}$

R-Algebroide über Faltungsprodukte

Man kann auch die Definition R-algebroiden , die seinen Satz von Funktionen mit endlicher Unterstützung und mit dem Faltungsprodukt wie folgt definiert: . ${\ displaystyle {\ bar {R}} {\ mathsf {G}}: = R {\ mathsf {G}} (b, c)}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {G}} (b, c) {\ longrightarrow} R}$ ${\ displaystyle \ displaystyle (f * g) (z) = \ sum \ {(fx) (gy) \ mid z = x \ circ y \}}$

Nur diese zweite Konstruktion ist für den topologischen Fall natürlich, wenn man " Funktion " durch " kontinuierliche Funktion mit kompakter Unterstützung " ersetzen muss , und in diesem Fall . ${\ displaystyle R \ cong \ mathbb {C}}$

Beispiele

• Jede Lie-Algebra ist ein Lie-Algebroid über der Ein-Punkt- Mannigfaltigkeit .
• Das Lie-Algebroid, das einem Lie- Groupoid zugeordnet ist .

Siehe auch

Verweise

Dieser Artikel enthält Material von Algebroid Structures und Algebroid Extended Symmetries auf PlanetMath , das unter der Creative Commons Attribution / Share-Alike-Lizenz lizenziert ist .

Quellen