Reduzierte Homologie - Reduced homology

In der Mathematik ist die reduzierte Homologie eine geringfügige Modifikation der Homologietheorie in der algebraischen Topologie , mit der alle Homologiegruppen auf Null gesetzt werden sollen. Diese Änderung ist erforderlich, um Aussagen ohne eine Reihe von Ausnahmefällen zu treffen ( Alexander-Dualität als Beispiel).

Wenn P ein Einzelpunktraum ist, dann mit den üblichen Definitionen die integrale Homologiegruppe

H ₀ ( P )

ist isomorph zu (einer unendlichen zyklischen Gruppe ), während wir für i ≥ 1 haben ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

H _i ( P ) = {0}.

Allgemeiner gesagt, wenn X ein einfacher Komplex oder ein endlicher CW-Komplex ist , dann ist die Gruppe H ₀ ( X ) die freie abelsche Gruppe mit den verbundenen Komponenten von X als Generatoren. Die reduzierte Homologie sollte diese Gruppe von Rang r durch eine von Rang r - 1 ersetzen. Andernfalls sollten die Homologiegruppen unverändert bleiben. Ein Ad-hoc- Weg, dies zu tun, besteht darin, sich eine 0-te Homologieklasse nicht als formale Summe verbundener Komponenten vorzustellen, sondern als solche formale Summe, bei der sich die Koeffizienten zu Null addieren.

In der üblichen Definition der Homologie eines Raumes X betrachten wir den Kettenkomplex

${\ displaystyle \ dotsb {\ overset {\ partielle _ {n + 1}} {\ longrightarrow \,}} C_ {n} {\ overset {\ partielle _ {n}} {\ longrightarrow \,}} C_ {n -1} {\ overset {\ partielle _ {n-1}} {\ longrightarrow \,}} \ dotsb {\ overset {\ partielle _ {2}} {\ longrightarrow \,}} C_ {1} {\ overset {\ partielle _ {1}} {\ longrightarrow \,}} C_ {0} {\ overset {\ partielle _ {0}} {\ longrightarrow \,}} 0}$

und definieren Sie die Homologiegruppen durch . ${\ displaystyle H_ {n} (X) = \ ker (\ partielle _ {n}) / \ mathrm {im} (\ partielle _ {n + 1})}$

Um eine reduzierte Homologie zu definieren, beginnen wir mit dem Augmented- Chain-Komplex

${\ displaystyle \ dotsb {\ overset {\ partielle _ {n + 1}} {\ longrightarrow \,}} C_ {n} {\ overset {\ partielle _ {n}} {\ longrightarrow \,}} C_ {n -1} {\ overset {\ partielle _ {n-1}} {\ longrightarrow \,}} \ dotsb {\ overset {\ partielle _ {2}} {\ longrightarrow \,}} C_ {1} {\ overset {\ partielle _ {1}} {\ longrightarrow \,}} C_ {0} {\ overset {\ epsilon} {\ longrightarrow \,}} \ mathbb {Z} \ bis 0}$

wo . Nun definieren wir die reduzierten Homologiegruppen durch ${\ displaystyle \ epsilon \ left (\ sum _ {i} n_ {i} \ sigma _ {i} \ right) = \ sum _ {i} n_ {i}}$

${\ displaystyle {\ tilde {H_ {n}}} (X) = \ ker (\ partielle _ {n}) / \ mathrm {im} (\ partielle _ {n + 1})}$für positive n und .${\ displaystyle {\ tilde {H}} _ {0} (X) = \ ker (\ epsilon) / \ mathrm {im} (\ teilweise _ {1})}$

Das kann man zeigen ; offensichtlich für alle positiven n . ${\ displaystyle H_ {0} (X) = {\ tilde {H}} _ {0} (X) \ oplus \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle H_ {n} (X) = {\ tilde {H}} _ {n} (X)}$

Mit diesem modifizierten Komplex können die Standardmethoden zum Erhalten einer Homologie mit Koeffizienten durch Anwenden des Tensorprodukts oder reduzierte Kohomologiegruppen aus dem Cochain-Komplex, der unter Verwendung eines Hom-Funktors hergestellt wurde, angewendet werden.

Verweise

• Hatcher, A. , (2002) Algebraische Topologie Cambridge University Press, ISBN  0-521-79540-0 . Detaillierte Diskussion von Homologietheorien für einfache Komplexe und Mannigfaltigkeiten, singuläre Homologie usw.