Risikoneutrale Maßnahme - Risk-neutral measure

In der Finanzmathematik , eine risikoneutrale Maßnahme (auch ein Gleichgewicht Maßnahme oder genannt äquivalent martingale Maßnahme wird ein Wahrscheinlichkeitsmaß , so dass jede Aktie genau gleich die Discounted Erwartung des Aktienkurses im Rahmen dieser Maßnahme). Dies wird aufgrund des fundamentalen Theorems des Asset Pricing , das impliziert, dass in einem vollständigen Markt der Preis eines Derivats der diskontierte erwartete Wert der zukünftigen Auszahlung unter der einzigartigen risikoneutralen Kennzahl ist, bei der Preisgestaltung von Finanzderivaten stark verwendet . Eine solche Maßnahme existiert genau dann, wenn der Markt arbitragefrei ist.

Der einfachste Weg, sich an das risikoneutrale Maß zu erinnern oder es einem Wahrscheinlichkeitsgeneralisten zu erklären, der möglicherweise nicht viel über Finanzen weiß, besteht darin, zu erkennen, dass es sich um Folgendes handelt:

1. Das Wahrscheinlichkeitsmaß einer transformierten Zufallsvariablen. Typischerweise ist diese Transformation die Nutzenfunktion der Auszahlung. Das risikoneutrale Maß wäre das Maß, das einer Auszahlungserwartung mit einem linearen Nutzen entspricht.
2. Ein implizites Wahrscheinlichkeitsmaß, das sich aus den aktuellen beobachtbaren/gebuchten/gehandelten Preisen der relevanten Instrumente ergibt. Relevant sind jene Instrumente, die ursächlich mit den Ereignissen im betrachteten Wahrscheinlichkeitsraum verbunden sind (dh Basiswerte plus Derivate) und
3. Es ist das implizierte Wahrscheinlichkeitsmaß (löst eine Art inverses Problem), das unter Verwendung eines linearen (risikoneutralen) Nutzens in der Auszahlung definiert wird, wobei ein bekanntes Modell für die Auszahlung angenommen wird. Dies bedeutet, dass Sie versuchen, das risikoneutrale Maß zu finden, indem Sie die Gleichung lösen, bei der die aktuellen Preise der erwartete Barwert der zukünftigen Auszahlungen unter dem risikoneutralen Maß sind. Das Konzept einer einzigartigen risikoneutrale Maßnahme ist besonders nützlich , wenn man sich vorstellt , die Preise in einer Reihe von Derivaten , die würden eine einzigartige risikoneutrale Maßnahme machen , da es eine Art von Konsistenz in denen impliziert nicht gehandelte Preise und hypothetisch, theoretisch Punkte zu Arbitragemöglichkeiten in Märkten, in denen Geld-/Briefkurse sichtbar sind.

Es ist auch erwähnenswert, dass in den meisten einführenden Anwendungen im Finanzwesen die betrachteten Auszahlungen deterministisch sind, wenn die Preise an einem bestimmten Terminal oder zu einem zukünftigen Zeitpunkt bekannt sind. Dies ist nicht unbedingt erforderlich, um diese Techniken zu verwenden.

Motivation zum Einsatz risikoneutraler Maßnahmen

Die Preise von Vermögenswerten hängen entscheidend von ihrem Risiko ab, da Anleger in der Regel mehr Gewinn verlangen, wenn sie ein höheres Risiko eingehen . Daher weicht der heutige Preis einer Forderung auf einen morgen realisierten riskanten Betrag im Allgemeinen von seinem erwarteten Wert ab. In der Regel sind Anleger risikoscheu und der heutige Kurs liegt unter den Erwartungen, wodurch diejenigen entschädigt werden, die das Risiko tragen (zumindest in großen Finanzmärkten ; Beispiele für risikosuchende Märkte sind Casinos und Lotterien ).

Um Vermögenswerte zu bewerten , müssen folglich die berechneten Erwartungswerte an die Risikopräferenzen eines Anlegers angepasst werden (siehe auch Sharpe Ratio ). Leider würden die Diskontierungssätze zwischen den Anlegern variieren, und die Risikopräferenz einer Person ist schwer zu quantifizieren.

Es stellt sich heraus , dass in einem vollständigen Markt mit keine Arbitragemöglichkeiten gibt es eine alternative Möglichkeit ist es, diese Berechnung zu tun: Statt zunächst die Erwartung zu nehmen und dann für eines Anlegers Risikopräferenz eingestellt wird , kann man einstellen, ein für alle Mal, die Wahrscheinlichkeiten der Zukunft Ergebnisse so, dass sie die Risikoprämien aller Anleger einbeziehen, und nehmen dann die Erwartung unter diese neue Wahrscheinlichkeitsverteilung, das risikoneutrale Maß . Der Hauptvorteil ergibt sich aus der Tatsache, dass, sobald die risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten gefunden sind, jeder Vermögenswert einfach durch den Barwert seiner erwarteten Auszahlung bewertet werden kann. Beachten Sie, dass, wenn wir die tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten der realen Welt verwenden, jede Sicherheit eine andere Anpassung erfordern würde (da sie sich in Bezug auf das Risiko unterscheiden).

Das Fehlen von Arbitrage ist entscheidend für die Existenz einer risikoneutralen Maßnahme. Tatsächlich entspricht die Bedingung der Arbitragefreiheit nach dem fundamentalen Theorem des Asset Pricing der Existenz einer risikoneutralen Maßnahme. Die Vollständigkeit des Marktes ist auch deshalb wichtig, weil es in einem unvollständigen Markt eine Vielzahl möglicher Preise für einen Vermögenswert gibt, die verschiedenen risikoneutralen Maßnahmen entsprechen. Es ist üblich zu argumentieren, dass Markteffizienz impliziert, dass es nur einen Preis gibt (das „ Gesetz des einen Preises “); das richtige risikoneutrale Maß für den Preis, das mit wirtschaftlichen und nicht mit rein mathematischen Argumenten ausgewählt werden muss.

Ein häufiger Fehler besteht darin, die konstruierte Wahrscheinlichkeitsverteilung mit der realen Wahrscheinlichkeit zu verwechseln. Sie werden anders sein, weil Investoren in der realen Welt Risikoprämien verlangen, während gezeigt werden kann, dass unter den risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten alle Vermögenswerte die gleiche erwartete Rendite, den risikofreien Zins (oder kurzfristigen Zinssatz ) aufweisen und somit keine solchen Prämien einbeziehen. Die Methode der risikoneutralen Preisbildung sollte wie viele andere nützliche Computertools in Betracht gezogen werden – bequem und leistungsstark, auch wenn sie scheinbar künstlich ist.

Herkunft der risikoneutralen Maßnahme (Arrow-Wertpapiere)

Natürlich stellt sich die Frage, wie in einem Arbitrage-freien Markt eine risikoneutrale Maßnahme entsteht. Irgendwie werden die Preise aller Vermögenswerte ein Wahrscheinlichkeitsmaß bestimmen. Eine Erklärung wird durch die Verwendung der Arrow-Sicherheit gegeben . Betrachten Sie der Einfachheit halber eine diskrete (sogar endliche) Welt mit nur einem zukünftigen Zeithorizont. Mit anderen Worten, es gibt die Gegenwart (Zeitpunkt 0) und die Zukunft (Zeitpunkt 1), und zur Zeit 1 kann der Zustand der Welt einer von endlich vielen Zuständen sein. Ein Arrow-Wertpapier, das dem Zustand n entspricht , A _n , ist eines, das zum Zeitpunkt 1 im Zustand n $1 und in jedem der anderen Staaten der Welt $0 zahlt .

Was kostet A _n jetzt? Es muss positiv sein, da die Chance besteht, dass Sie 1 USD gewinnen; es sollte weniger als 1 $ betragen, da dies die maximal mögliche Auszahlung ist. Somit liegt der Preis jedes A _n , den wir mit A _n (0) bezeichnen , strikt zwischen 0 und 1.

Tatsächlich muss die Summe aller Wertpapierkurse dem Barwert von 1 US-Dollar entsprechen, da das Halten eines Portfolios, das aus jedem Arrow-Wertpapier besteht, zu einer bestimmten Auszahlung von 1 US-Dollar führt. Stellen Sie sich eine Verlosung vor, bei der ein einzelnes Ticket einen Preis aller Teilnahmegebühren gewinnt: Wenn der Preis 1 USD beträgt, beträgt die Teilnahmegebühr 1/Anzahl der Tickets. Der Einfachheit halber betrachten wir den Zinssatz als 0, sodass der Barwert von 1 USD 1 USD beträgt.

Somit erfüllen die A _n (0) s die Axiome für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Jedes ist nicht negativ und ihre Summe ist 1. Dies ist das risikoneutrale Maß! Es bleibt nun zu zeigen, dass es wie angekündigt funktioniert, dh die Annahme von Erwartungswerten in Bezug auf dieses Wahrscheinlichkeitsmaß ergibt zum Zeitpunkt 0 den richtigen Preis.

Angenommen, Sie haben ein Wertpapier C, dessen Preis zum Zeitpunkt 0 C(0) ist . In Zukunft wird in einem Zustand i seine Auszahlung C _{i sein} . Betrachten Sie ein Portfolio P, das aus der Menge C _i jedes Arrow-Wertpapiers A _{i besteht} . In Zukunft, egal welcher Zustand i auftritt, zahlt A _i 1 $, während die anderen Arrow-Wertpapiere 0 $ zahlen, also zahlt P C _i . Mit anderen Worten, das Portfolio P repliziert die Auszahlung von C unabhängig davon, was in der Zukunft passiert. Das Fehlen von Arbitragemöglichkeiten impliziert, dass der Preis von P und C jetzt gleich sein muss, da jeder Preisunterschied bedeutet, dass wir ohne Risiko das teurere (leer) verkaufen, das billigere kaufen und die Differenz einkassieren können. In Zukunft müssen wir den leerverkauften Vermögenswert zurückgeben, aber wir können genau dies finanzieren, indem wir unseren gekauften Vermögenswert verkaufen und uns unseren anfänglichen Gewinn belassen.

Indem wir jeden Arrow-Wertpapierpreis als Wahrscheinlichkeit betrachten , sehen wir, dass der Portfoliopreis P(0) der Erwartungswert von C unter den risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten ist. Wäre der Zinssatz R nicht null, müssten wir den Erwartungswert entsprechend abzinsen, um den Preis zu erhalten. Insbesondere hat das aus jedem Arrow-Wertpapier bestehende Portfolio nun einen Barwert von , so dass die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit des Zustands i mal dem Preis jedes Arrow-Wertpapiers A _i oder seinem Terminkurs entspricht . ${\displaystyle {\frac {1}{1+R}}}$${\displaystyle (1+R)}$

Beachten Sie, dass Arrow-Wertpapiere nicht unbedingt auf dem Markt gehandelt werden müssen. Hier kommt die Marktvollständigkeit ins Spiel. In einem vollständigen Markt kann jedes Wertpapier von Arrow mit einem Portfolio von realen, gehandelten Vermögenswerten nachgebildet werden. Das obige Argument funktioniert immer noch, wenn man jedes Arrow-Wertpapier als Portfolio betrachtet.

In einem realistischeren Modell, wie dem Black-Scholes-Modell und seinen Verallgemeinerungen, wäre unsere Arrow-Sicherheit so etwas wie eine doppelte digitale Option , die sich 1 USD auszahlt, wenn der Basiswert zwischen einer Unter- und einer Obergrenze liegt, andernfalls 0 USD. Der Preis einer solchen Option spiegelt dann die Markteinschätzung der Wahrscheinlichkeit wider, dass der Kassapreis in diesem Preisintervall bereinigt um Risikoprämien endet, ganz analog zu den obigen Wahrscheinlichkeiten für die einstufige diskrete Welt.

Verwendung

Risikoneutrale Kennzahlen machen es einfach, den Wert eines Derivats in einer Formel auszudrücken. Angenommen, zu einem zukünftigen Zeitpunkt zahlt ein Derivat (z. B. eine Call-Option auf eine Aktie ) Einheiten, wobei eine Zufallsvariable im Wahrscheinlichkeitsraum den Markt beschreibt. Angenommen, der Diskontfaktor von jetzt (Zeitpunkt Null) bis Zeit beträgt . Dann ist der heutige Fair Value des Derivats ${\displaystyle T}$${\displaystyle H_{T}}$${\displaystyle H_{T}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle P(0,T)}$

${\displaystyle H_{0}=P(0,T)\operatorname {E} _{Q}(H_{T}).}$

wobei das Martingalmaß (T-Forward-Maß) mit bezeichnet wird . Dies kann durch das physikalische Maß P as ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle H_{0}=P(0,T)\operatorname {E} _{P}\left({\frac {dQ}{dP}}H_{T}\right)}$

wo ist die Radon-Nikodym-Ableitung von nach . ${\displaystyle {\frac {dQ}{dP}}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$

Eine andere Bezeichnung für das risikoneutrale Maß ist das äquivalente Martingalmaß . Wenn es auf einem Finanzmarkt nur eine risikoneutrale Kennzahl gibt, dann gibt es für jeden Vermögenswert am Markt einen einzigartigen, Arbitrage-freien Preis. Dies ist das grundlegende Theorem der Arbitrage-freien Preisbildung . Wenn es mehr solcher Maßnahmen gibt, ist in einem Preisintervall keine Arbitrage möglich. Wenn kein gleichwertiges Martingal-Maß vorhanden ist, gibt es Arbitragemöglichkeiten.

In Märkten mit Transaktionskosten ohne numéraire tritt der konsistente Preisbildungsprozess an die Stelle des gleichwertigen Martingalmaßes. Tatsächlich besteht eine 1-zu-1- Beziehung zwischen einem konsistenten Preisfindungsprozess und einem gleichwertigen Martingal-Maß.

Beispiel 1 – Binomialmodell von Aktienkursen

Betrachten Sie für einen gegebenen Wahrscheinlichkeitsraum ein binomiales Modell mit einer Periode. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß wird als risikoneutral bezeichnet, wenn für alle , . Nehmen wir an, wir haben eine Zwei-Staaten-Wirtschaft: Der anfängliche Aktienkurs kann entweder auf steigen oder auf fallen . Ist der Zinssatz , und (sonst gibt es Arbitrage im Markt), dann ist die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit einer Aufwärtsbewegung der Aktie gegeben durch die Zahl ${\displaystyle (\Omega,{\mathfrak{F}},\mathbb{P})}$${\displaystyle \mathbb{P^{*}}} }$${\displaystyle i\in\{0,...,d\}}$${\displaystyle \pi^{i}=\mathbb{E} _{\mathbb{P}^{*}}(S^{i}/(1+r))}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S^{u}}$${\displaystyle S^{d}}$${\displaystyle R>0}$${\displaystyle S^{d}\leq (1+R)S\leq S^{u}}$

${\displaystyle \pi ={\frac {(1+R)SS^{d}}{S^{u}-S^{d}}}.}$

Bei einem Derivat mit Auszahlung, wenn der Aktienkurs steigt und fällt, können wir das Derivat bewerten über ${\displaystyle X^{u}}$${\displaystyle X^{d}}$

${\displaystyle X={\frac {\pi X^{u}+(1-\pi)X^{d}}{1+R}}.}$

Beispiel 2 – Brownsches Bewegungsmodell von Aktienkursen

Angenommen, unsere Wirtschaft besteht aus 2 Vermögenswerten, einer Aktie und einer risikofreien Anleihe , und wir verwenden das Black-Scholes-Modell . Im Modell kann die Entwicklung des Aktienkurses durch Geometric Brownian Motion beschrieben werden :

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}}$

wobei eine Brownsche Standardbewegung in Bezug auf das physikalische Maß ist. Wenn wir definieren ${\displaystyle W_{t}}$

${\displaystyle {\tilde{W}}_{t}=W_{t}+{\frac {\mu -r}{\sigma}}t,}$

Der Satz von Girsanov besagt, dass es ein Maß gibt, unter dem eine Brownsche Bewegung ist. wird als Marktpreis des Risikos bezeichnet . Unter Verwendung von Regeln innerhalb des Itô-Kalküls kann man den obigen Ausdruck informell differenzieren und neu anordnen, um die SDE . abzuleiten${\displaystyle Q}$${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}}$${\displaystyle {\frac {\mu -r}{\sigma}}}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle dW_{t}=d{\tilde{W}}_{t}-{\frac {\mu -r}{\sigma}}\,dt,}$

Setzen Sie dies wieder in die ursprüngliche Gleichung ein:

${\displaystyle dS_{t}=rS_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,d{\tilde {W}}_{t}.}$

Sei der diskontierte Aktienkurs von gegeben , dann erhalten wir nach dem Lemma von Ito die SDE: ${\displaystyle {\tilde{S}}_{t}}$${\displaystyle {\tilde{S}}_{t}=e^{-rt}S_{t}}$

${\displaystyle d{\tilde{S}}_{t}=\sigma {\tilde{S}}_{t}\,d{\tilde{W}}_{t}.}$

${\displaystyle Q}$ist das einzige risikoneutrale Maß für das Modell. Der diskontierte Auszahlungsprozess eines Derivats auf die Aktie ist ein Martingal gemäß . Beachten Sie, dass die Drift des SDE r ist, der risikofreie Zinssatz , was Risikoneutralität impliziert. Da und Martingale sind, können wir das Martingal-Darstellungs-Theorem verwenden , um eine replizierende Strategie zu finden – ein Portfolio aus Aktien und Anleihen, das sich jederzeit auszahlt . ${\displaystyle H_{t}=\operatorname {E} _{Q}(H_{T}|F_{t})}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle {\tilde{S}}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle H_{t}}$${\displaystyle t\leq T}$

Siehe auch

• Brownsches Modell der Finanzmärkte
• Eventualforderungsanalyse
• Vorwärtsmaßnahme
• Grundlegendes Theorem der Arbitrage-freien Preisbildung
• Gesetz des einen Preises
• Martingale-Preise
• Martingale (Wahrscheinlichkeitstheorie)
• Mathematische Finanzen
• Rationale Preisgestaltung

Anmerkungen

Externe Links

• Gisiger, Nicolas: Risikoneutrale Wahrscheinlichkeiten erklärt
• Tham, Joseph: Risikoneutrale Bewertung: Eine sanfte Einführung , Teil II