Skleronom - Scleronomous

Ein mechanisches System ist skleronom, wenn die Gleichungen von Bedingungen nicht die Zeit als explizite Variable enthalten und die Gleichung von Bedingungen durch verallgemeinerte Koordinaten beschrieben werden kann. Solche Einschränkungen werden als skleronomische Einschränkungen bezeichnet. Das Gegenteil von skleronom ist rheonom .

Anwendung

Bei der 3-D - Raum, ein Teilchen mit einer Masse , Geschwindigkeit hat kinetische Energie${\ displaystyle m \, \!}$${\ displaystyle \ mathbf {v} \, \!}$ ${\ displaystyle T \, \!}$

${\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} \, \!.}$

Die Geschwindigkeit ist die Ableitung der Position in Bezug auf die Zeit . Verwenden Sie die Kettenregel für mehrere Variablen : ${\ displaystyle r \, \!}$${\ displaystyle t \, \!}$

${\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt}} = \ sum _ {i} \ {\ frac {\ teilweise \ mathbf {r}} {\ teilweise q_ {i }}} {\ dot {q}} _ {i} + {\ frac {\ partielle \ mathbf {r}} {\ partielle t}} \, \!.}$

wo sind generalisierten Koordinaten . ${\ displaystyle q_ {i} \, \!}$

Deshalb,

${\ displaystyle T = {\ frac {1} {2}} m \ left (\ sum _ {i} \ {\ frac {\ partielle \ mathbf {r}} {\ partielle q_ {i}}} {\ dot {q}} _ {i} + {\ frac {\ partielle \ mathbf {r}} {\ partielle t}} \ rechts) ^ {2} \, \!.}$

Ordnen Sie die Begriffe sorgfältig neu,

${\ displaystyle T = T_ {0} + T_ {1} + T_ {2} \, \!:}$

${\ displaystyle T_ {0} = {\ frac {1} {2}} m \ left ({\ frac {\ partielle \ mathbf {r}} {\ partielle t}} \ rechts) ^ {2} \, \ !,}$

${\ displaystyle T_ {1} = \ sum _ {i} \ m {\ frac {\ partielle \ mathbf {r}} {\ partielle t}} \ cdot {\ frac {\ partielle \ mathbf {r}} {\ teilweise q_ {i}}} {\ dot {q}} _ {i} \, \!,}$

${\ displaystyle T_ {2} = \ sum _ {i, j} \ {\ frac {1} {2}} m {\ frac {\ partielle \ mathbf {r}} {\ partielle q_ {i}} \ cdot {\ frac {\ partiell \ mathbf {r}} {\ partiell q_ {j}}} {\ dot {q}} _ {i} {\ dot {q}} _ {j} \, \!,}$

wobei , , jeweils homogene Funktionen vom Grad 0, 1 und 2 in generali Geschwindigkeiten. Wenn dieses System skleronom ist, hängt die Position nicht explizit von der Zeit ab: ${\ displaystyle T_ {0} \, \!}$${\ displaystyle T_ {1} \, \!}$${\ displaystyle T_ {2} \, \!}$

${\ displaystyle {\ frac {\ teilweise \ mathbf {r}} {\ teilweise t}} = 0 \, \!.}$

Daher verschwindet nur der Begriff nicht: ${\ displaystyle T_ {2} \, \!}$

${\ displaystyle T = T_ {2} \, \!.}$

Kinetische Energie ist eine homogene Funktion von Grad 2 in verallgemeinerten Geschwindigkeiten.

Beispiel: Pendel

Ein einfaches Pendel

Wie rechts gezeigt, ist ein einfaches Pendel ein System, das aus einem Gewicht und einer Schnur besteht. Die Schnur ist am oberen Ende an einem Drehpunkt und am unteren Ende an einem Gewicht befestigt. Da die Saite nicht dehnbar ist, ist sie eine Konstante. Daher ist dieses System skleronom; es gehorcht skleronomischen Zwängen

${\ displaystyle {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} - L = 0 \, \!,}$

Wo ist die Position des Gewichts und ist die Länge der Saite. ${\ displaystyle (x, y) \, \!}$${\ displaystyle L \, \!}$

Ein einfaches Pendel mit oszillierendem Drehpunkt

Nehmen Sie ein komplizierteres Beispiel. Beziehen Sie sich auf die nächste Abbildung rechts. Angenommen, das obere Ende der Saite ist an einem Drehpunkt befestigt, der eine einfache harmonische Bewegung ausführt

${\ displaystyle x_ {t} = x_ {0} \ cos \ omega t \, \!,}$

wo ist Amplitude, ist Winkelfrequenz und ist Zeit. ${\ displaystyle x_ {0} \, \!}$${\ displaystyle \ omega \, \!}$${\ displaystyle t \, \!}$

Obwohl das obere Ende der Zeichenfolge nicht festgelegt ist, ist die Länge dieser nicht dehnbaren Zeichenfolge immer noch konstant. Der Abstand zwischen dem oberen Ende und dem Gewicht muss gleich bleiben. Daher ist dieses System rheonom, da es Einschränkungen folgt, die explizit von der Zeit abhängen

${\ displaystyle {\ sqrt {(x-x_ {0} \ cos \ omega t) ^ {2} + y ^ {2}}} - L = 0 \, \!.}$

Siehe auch

• Lagrange-Mechanik
• Holonomisches System
• Nichtholonomes System
• Rheonom
• Massenmatrix

Verweise