Halbkontinuität - Semi-continuity

In der mathematischen Analysis ist Halbstetigkeit (oder Halbstetigkeit ) eine Eigenschaft erweiterter reellwertiger Funktionen , die schwächer ist als die Stetigkeit . Eine erweiterte reellwertige Funktion ist obere (bzw. untere ) halbstetig an einem Punkt, wenn grob gesagt die Funktionswerte für Argumente in der Nähe nicht viel höher (bzw. niedriger) sind als${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f\left(x_{0}\right).}$

Eine Funktion ist genau dann stetig, wenn sie sowohl obere als auch untere halbstetig ist. Wenn wir eine stetige Funktion nehmen und ihren Wert an einem bestimmten Punkt auf for some erhöhen , dann ist das Ergebnis obere halbstetig; Wenn wir seinen Wert auf verringern, ist das Ergebnis niedriger halbkontinuierlich. ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f\left(x_{0}\right)+c}$${\displaystyle c\geq 0}$${\displaystyle f\left(x_{0}\right)-c}$

Eine obere halbkontinuierliche Funktion, die nicht unter halbkontinuierlich ist. Der durchgehende blaue Punkt zeigt an${\displaystyle f\left(x_{0}\right).}$

Eine untere halbkontinuierliche Funktion, die nicht obere halbkontinuierlich ist. Der durchgehende blaue Punkt zeigt an${\displaystyle f\left(x_{0}\right).}$

Formale Definition

Nehmen wir durchweg an, dass dies ein topologischer Raum und eine Funktion ist, die in den erweiterten reellen Zahlen bewertet wird${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle \mathbb{R}\cup\{-\infty ,\infty\}=[-\infty ,\infty].}$

Die Funktion heißt${\displaystyle f}$ oberhalbstetig, wenn esanjedem Punkt seinesGebietes oberhalbstetigistund ähnlich heißt es${\displaystyle X,}$untere halbstetig, wenn sieanjedem Punkt ihres Bereichs unterste halbstetig ist, wobei jetzt mehrere äquivalente Definitionen von "halbstetig an einem Punkt" gegeben sind.

Obere Semikontinuität an einem Punkt

Die Funktion heißt${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$obere halbkontinuierlich an einem Punkt, ${\displaystyle x_{0}\in X}$ wenn

für jedes Reale existiert eine Umgebung von so dass für alle${\displaystyle y>f\left(x_{0}\right)}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle y>f(u)}$${\displaystyle u\in U.}$

If ist dann notwendigerweise oberes halbstetig bei, weil die obige Bedingung leer erfüllt ist (es gibt keine reellen ). In dieser Definition kann die strikte Ungleichung " " durch " " ersetzt werden, aber nicht dasselbe mit der strengen Ungleichung " ".${\displaystyle f\left(x_{0}\right)=+\infty}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle y>+\infty}$${\displaystyle y>f(u)}$${\displaystyle y\geq f(u)}$${\displaystyle y>f\left(x_{0}\right)}$

Obere Halbstetigkeit at kann äquivalent definiert werden, indem sie in zwei Fälle unterteilt wird, wobei die Unterteilung in Fälle dadurch erforderlich ist, dass (aus der obigen Definition) und (aus der Definition unten) nicht austauschbar verwendet werden können, wenn Die Funktion ist oberes Halb -stetig an , wenn und nur wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind: ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f\left(x_{0}\right)+\epsilon}$${\displaystyle f\left(x_{0}\right)=-\infty .}$${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$${\displaystyle x_{0}}$

1. wenn dann für jeden eine Umgebung von solchem ​​existiert, wann immer dann${\displaystyle f\left(x_{0}\right)>-\infty}$${\displaystyle \epsilon >0,}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle u\in U}$${\displaystyle f(u)\leq f\left(x_{0}\right)+\epsilon.}$
2. wenn dann tendenziell wie tendenziell${\displaystyle f\left(x_{0}\right)=-\infty}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle -\infty}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{0}.}$

Für den speziellen Fall, wo ein metrischer Raum ist, ist genau dann oberhalbstetig, wenn ${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)\leq f\left(x_{0}\right)}$

wobei lim sup der der Funktion am Punkt überlegene Grenzwert ist (Für nichtmetrische Räume kann eine äquivalente Definition unter Verwendung von Netzen angegeben werden.) ${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}.}$

Untere Semikontinuität an einem Punkt

Die Funktion heißt${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$untere halbkontinuierlich an einem Punkt, ${\displaystyle x_{0}\in X}$ wenn

für jedes Reale existiert eine Umgebung von so dass für alle${\displaystyle y<f\left(x_{0}\right)}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle y<f(u)}$${\displaystyle u\in U.}$

Wenn dann notwendigerweise niedriger halbkontinuierlich ist, weil die obige Bedingung leer erfüllt ist . In dieser Definition kann die strikte Ungleichung " " durch " " ersetzt werden, aber nicht dasselbe mit der strengen Ungleichung " ".${\displaystyle f\left(x_{0}\right)=-\infty}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle y<f(u)}$${\displaystyle y\leq f(u)}$${\displaystyle y<f\left(x_{0}\right)}$

Die untere Semikontinuität at kann äquivalent definiert werden, indem sie in zwei Fälle unterteilt wird, wobei die Trennung in Fälle dadurch erforderlich ist, dass (aus der obigen Definition) und (aus der Definition unten) nicht austauschbar verwendet werden können, wenn Die Funktion ist niedrigeres Semi -stetig an , wenn und nur wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind: ${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f\left(x_{0}\right)-\epsilon}$${\displaystyle f\left(x_{0}\right)=+\infty .}$${\displaystyle f:X\to [-\infty ,\infty ]}$${\displaystyle x_{0}}$

1. wenn dann für jeden eine Umgebung von solchem ​​existiert, wann immer dann${\displaystyle f\left(x_{0}\right)<+\infty}$${\displaystyle \epsilon >0,}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle u\in U}$${\displaystyle f(u)\geq f\left(x_{0}\right)-\epsilon .}$
2. wenn dann tendenziell wie tendenziell${\displaystyle f\left(x_{0}\right)=+\infty}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle +\infty}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{0}.}$

Für den speziellen Fall, wo ein metrischer Raum ist, ist genau dann niedriger halbstetig, wenn ${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle \liminf_{x\to x_{0}}f(x)\geq f\left(x_{0}\right)}$

wo ist der untergeordnete Grenzwert der Funktion im Punkt${\displaystyle\liminf}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}.}$

Alternative Charakterisierungen

1. Eine Funktion ist genau dann obere halbstetig, wenn für jede eine offene Menge ist Eine Funktion ist genau dann unterste halbstetig, wenn für jede eine offene Menge ist${\displaystyle \{x\in X:f(x)<y\}}$${\displaystyle y\in\mathbb{R}.}$${\displaystyle \{x\in X:f(x)>y\}}$${\displaystyle y\in\mathbb{R}.}$
2. Eine Funktion ist dann und nur dann untere halbstetig, wenn alle ihre untergeordneten Mengen (auch Sublevel-Mengen oder Gräben genannt ) geschlossen sind .${\displaystyle \{x\in X:f(x)\leq y\}}$
3. Eine Funktion ist genau dann nach unten halbstetig, wenn sie nach oben halbstetig ist.${\displaystyle f:X\to\mathbb{R}}$${\displaystyle -f}$
4. Eine Funktion ist dann und nur dann untere halbstetig, wenn ihr Epigraph (die Menge von Punkten, die auf oder über ihrem Graphen liegen ) geschlossen ist .${\displaystyle f:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}}$
5. Eine Funktion aus einem topologischen Raum ist genau dann niedriger halbstetig, wenn sie in Bezug auf die Scott-Topologie auf . stetig ist${\displaystyle f:X\to\mathbb{R}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle\mathbb{R}.}$

Weil a Subbasis für die euklidische Topologie auf einer Funktion stetig ist , wenn und nur wenn und für jeden zugänglich ist , kann diese Charakterisierung als motivierende die Definitionen der oberen und unteren Halb Kontinuität zu sehen. Darüber hinaus ist eine Funktion kontinuierliche an , wenn und nur wenn es die oberen und unteren halbkontinuierlich ist. Daher kann die Semikontinuität zum Beweis der Stetigkeit verwendet werden. ${\displaystyle \{(-\infty,r):r\in\mathbb{R}\}\cup \{(r,\infty):r\in\mathbb{R}\}}$${\displaystyle\mathbb{R},}$${\displaystyle f:X\to\mathbb{R}}$${\displaystyle f^{-1}((-\infty,r))}$${\displaystyle f^{-1}((r,\infty))}$${\displaystyle r\in\mathbb{R}.}$${\displaystyle x_{0}}$

Beispiele

Betrachten Sie die Funktion stückweise definiert durch: ${\displaystyle f,}$

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}x<0,\\1&{\mbox{if}}x\geq 0\end{cases}}}$

Diese Funktion ist oben halbkontinuierlich, aber nicht unten halbkontinuierlich. ${\displaystyle x_{0}=0,}$

Die Indikatorfunktion einer geschlossenen Menge ist obere halbkontinuierlich, während die Indikatorfunktion einer offenen Menge untere halbkontinuierlich ist. Die Bodenfunktion, die die größte ganze Zahl kleiner oder gleich einer gegebenen reellen Zahl zurückgibt, ist überall obere halbstetig. Ebenso ist die Deckenfunktion niedriger halbkontinuierlich. ${\displaystyle f(x)=\lfloor x\rfloor ,}$${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle f(x)=\lceil x\rceil}$

Eine Funktion kann oben oder unten halbstetig sein, ohne links- oder rechtsstetig zu sein . Zum Beispiel die Funktion

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&{\mbox{if }}x<1,\\2&{\mbox{if}}x=1,\\1/2&{\mbox{if }}x>1,\end{Fälle}}}$

ist obere halbkontinuierlich bei, da sein Wert dort höher ist als sein Wert in seiner Nachbarschaft. Er ist jedoch weder links noch rechts stetig: Der Grenzwert von links ist gleich 1 und der Grenzwert von rechts ist gleich 1/2, die sich beide vom Funktionswert 2 unterscheiden. Wird z. B. geändert durch Einstellung dann ist es niedriger halbkontinuierlich. ${\displaystyle x=1,,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(1)=0}$

Ebenso die Funktion

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin(1/x)&{\mbox{if }}x\neq 0,\\1&{\mbox{if}}x=0,\end {Fälle}}}$

ist oben halbkontinuierlich bei, während die Funktionsgrenzen von links oder rechts bei Null nicht einmal existieren. ${\displaystyle x=0}$

Wenn ist ein euklidischer Raum (oder allgemeiner ein metrischer Raum) und ist der Raum der Kurven in (mit dem höchsten Abstand dann ist das Längenfunktional, das jeder Kurve ihre Länge zuweist, niedriger halbkontinuierlich. ${\displaystyle X=\mathbb{R} ^{n}}$${\displaystyle \Gamma =C([0,1],X)}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d_{\Gamma}(\alpha,\beta)=\sup_{t}\d_{X}(\alpha(t),\beta(t)),}$${\displaystyle L:\Gamma\to [0,+\infty],}$${\displaystyle\alpha}$ ${\displaystyle L(\alpha),}$

Die Indikatorfunktion jeder offenen Menge ist niedriger halbkontinuierlich. Die Indikatorfunktion einer geschlossenen Menge ist oberhalbkontinuierlich. In der konvexen Analyse bezieht sich der Begriff "Indikatorfunktion" jedoch oft auf die charakteristische Funktion , und die charakteristische Funktion jeder geschlossenen Menge ist untere halbstetig, und die charakteristische Funktion jeder offenen Menge ist obere halbstetig.

Sei ein Maßraum und bezeichne die Menge der positiv messbaren Funktionen, die mit der Topologie der Konvergenz in Maßen in Bezug auf dann ausgestattet sind. Dann ist nach dem Fatou-Lemma das Integral, das als Operator von bis gesehen wird, niedriger halbstetig. ${\displaystyle (X,\mu)}$${\displaystyle L^{+}(X,\mu)}$${\displaystyle\mu.}$${\displaystyle L^{+}(X,\mu)}$${\displaystyle [-\infty ,+\infty]}$

Ausreichende Bedingungen

Wenn und zwei reellwertige Funktionen sind, die beide oberstetig bei dann sind, so ist das auch Wenn beide Funktionen nicht negativ sind, dann wird die Produktfunktion auch bei oberhalbstetig sein Das gleiche gilt für Funktionen unter halbstetig bei${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle x_{0},}$${\displaystyle f+g.}$${\displaystyle fg}$${\displaystyle x_{0}.}$${\displaystyle x_{0}.}$

Die Zusammensetzung der oberen halbkontinuierlichen Funktionen und ist nicht notwendigerweise oberen halbkontinuierliche, aber , wenn auch nicht abnimmt, dann ist oberen halbkontinuierlich. ${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\circ g}$

Die Multiplikation einer positiven oberen halbkontinuierlichen Funktion mit einer negativen Zahl macht sie zu einer unteren halbkontinuierlichen Funktion.

Angenommen, es gibt eine untere halbstetige Funktion für jeden Index in einer nichtleeren Menge und definiere als punktweises Supremum ; das ist, ${\displaystyle f_{i}:X\to [-\infty ,\infty ]}$${\displaystyle i}$${\displaystyle ich,}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)=\sup_{i\in I}f_{i}(x)}$ für jeden ${\displaystyle x\in X.}$

Dann ist niedriger halbkontinuierlich. Auch wenn alle stetig sind, müssen sie nicht stetig sein; tatsächlich entsteht jede niedrigere halbstetige Funktion auf einem einheitlichen Raum (zB einem metrischen Raum ) als Supremum einer Folge stetiger Funktionen. Ebenso ist das punktweise Infimum einer beliebigen Sammlung von oberen halbstetigen Funktionen obere halbstetig. ${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle f}$

Angenommen, es gibt nicht-negative untere halbstetige Funktionen, die durch so indiziert sind , dass ${\displaystyle f_{i}:X\to\mathbb{R}}$${\displaystyle i\in I\neq \varnothing }$

${\displaystyle g(x):=\sum _{i\in I}f_{i}(x):=\sup \left\{\sum _{i\in F}f_{i}(x)~ :~F\subseteq I{\text{ ist endlich }}\right\}<\infty}$

denn jedes Then ist niedriger halbstetig. Wenn außerdem jede stetig ist, dann ist sie notwendigerweise stetig. ${\displaystyle x\in X.}$${\displaystyle g:X\to\mathbb{R}}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle g}$

Das Maximum und Minimum von endlich vielen oberen halbstetigen Funktionen ist obere halbstetig, und dasselbe gilt für untere halbstetige Funktionen.

Eigenschaften

Wenn ein kompakter Raum (zB ein abgeschlossenes , beschränktes Intervall ) und oberes halbstetig ist, dann hat ein Maximum auf Die analoge Aussage für (– ]-wertige untere halbstetige Funktionen und Minima ist auch wahr (siehe Artikel über den Extremwertsatz für einen Beweis.) ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f:C\to [-\infty ,\infty )}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C.}$${\displaystyle\infty,\infty}$

Jede obere halbstetige Funktion auf einem beliebigen topologischen Raum ist lokal konstant auf einer dichten offenen Teilmenge von${\displaystyle f:X\to\mathbb{N}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

Siehe auch

• Kontinuierliche Funktion  – Mathematische Funktion ohne plötzliche Wertänderungen
• Richtungskontinuität
• Halbstetige mehrwertige Funktion

Anmerkungen

Verweise

Literaturverzeichnis

• Benesova, B.; Kruzik, M. (2017). „Schwache untere Semikontinuität von integralen Funktionen und Anwendungen“. SIAM-Rezension . 59 (4): 703–766. arXiv : 1601.00390 . doi : 10.1137/16M1060947 .
• Bourbaki, Nicolas (1998). Elemente der Mathematik: Allgemeine Topologie, 1–4 . Springer. ISBN 0-201-00636-7.
• Bourbaki, Nicolas (1998). Elemente der Mathematik: Allgemeine Topologie, 5–10 . Springer. ISBN 3-540-64563-2.
• Gelbaum, Bernard R.; Olmsted, John MH (2003). Gegenbeispiele in der Analyse . Dover-Publikationen. ISBN 0-486-42875-3.
• Hyers, Donald H.; Isac, George; Rassias, Themistokles M. (1997). Themen in nichtlinearer Analyse und Anwendungen . Weltwissenschaft. ISBN 981-02-2534-2.
• Zălinescu, Constantin (30. Juli 2002). Konvexe Analyse in allgemeinen Vektorräumen . River Edge, NJ London: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. MR  1.921.556 . OCLC  285163112 – über Internetarchiv .