Extremwertsatz - Extreme value theorem

Eine kontinuierliche Funktion des geschlossenen Intervalls, die den absoluten Höchstwert (rot) und den absoluten Mindestwert (blau) anzeigt.${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle [a,b]}$

In Zahnstein , die Extremwert - Theorems die besagt , wenn eine reellwertige Funktion ist kontinuierliche auf dem geschlossenen Intervall , dann muß ein erreichen maximale und eine minimale , die jeweils mindestens einmal. Das heißt, es gibt Zahlen und in solchen, dass: ${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle c}$${\displaystyle d}$${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle f(c)\geq f(x)\geq f(d)\quad\forall x\in [a,b]}$

Die Extremwert - Theorem spezifischer als das verwandte Beschränkt Theorem , das lediglich an , dass eine kontinuierliche Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall ist begrenzt auf diesem Intervall; das heißt, es gibt reelle Zahlen und solche, die: ${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle m}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle m\leq f(x)\leq M\quad \forall x\in [a,b]}$.

Dies sagt nicht aus und sind notwendigerweise die maximalen und minimalen Werte von auf dem Intervall , was auch der Fall sein muss, was der Extremwertsatz vorschreibt. ${\displaystyle M}$${\displaystyle m}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b],}$

Der Extremwertsatz wird verwendet, um den Satz von Rolle zu beweisen . In einer Formulierung von Karl Weierstrass besagt dieser Satz, dass eine stetige Funktion von einem nichtleeren kompakten Raum zu einer Teilmenge der reellen Zahlen ein Maximum und ein Minimum erreicht.

Geschichte

Der Extremwertsatz wurde ursprünglich von Bernard Bolzano in den 1830er Jahren in einer Arbeit zur Funktionstheorie bewiesen , die jedoch bis 1930 unveröffentlicht blieb maximaler und minimaler Wert. Bei beiden Beweisen handelte es sich um den heute als Bolzano-Weierstraß-Satz bekannten Satz . Das Ergebnis wurde auch später von Weierstrass 1860 entdeckt.

Funktionen, auf die der Satz nicht zutrifft

Die folgenden Beispiele zeigen, warum der Funktionsbereich geschlossen und beschränkt sein muss, damit der Satz gilt. Jeder erreicht im gegebenen Intervall kein Maximum.

1. ${\displaystyle f(x)=x}$definiert über ist nicht nach oben beschränkt.${\displaystyle [0,\infty )}$
2. ${\displaystyle f(x)={\frac {x}{1+x}}}$definiert über ist begrenzt, erreicht aber nicht seine kleinste obere Schranke .${\displaystyle [0,\infty )}$${\displaystyle 1}$
3. ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$definiert über ist nicht nach oben beschränkt.${\displaystyle (0,1]}$
4. ${\displaystyle f(x)=1-x}$definiert über ist beschränkt, erreicht aber nie seine kleinste obere Schranke .${\displaystyle (0,1]}$${\displaystyle 1}$

Die Definition in den letzten beiden Beispielen zeigt, dass beide Sätze Stetigkeit auf erfordern . ${\displaystyle f(0)=0}$${\displaystyle [a,b]}$

Verallgemeinerung auf metrische und topologische Räume

Beim Übergang von der reellen Linie zu metrischen Räumen und allgemeinen topologischen Räumen ist die geeignete Verallgemeinerung eines abgeschlossenen beschränkten Intervalls eine kompakte Menge . Eine Menge heißt kompakt, wenn sie die folgende Eigenschaft hat: Aus jeder Menge offener Mengen, so dass , kann eine endliche Untersammlung ausgewählt werden, so dass . Dies wird normalerweise kurz gesagt als "jede offene Abdeckung von hat eine endliche Teilabdeckung". Der Satz von Heine-Borel besagt , dass eine Teilmenge der reellen Geraden genau dann kompakt ist, wenn sie sowohl abgeschlossen als auch beschränkt ist. Entsprechend besitzt ein metrischer Raum die Heine-Borel-Eigenschaft, wenn jede abgeschlossene und beschränkte Menge auch kompakt ist. ${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U_{\alpha}}$${\textstyle \bigcup U_{\alpha}\supset K}$${\displaystyle U_{\alpha_{1}},\ldots,U_{\alpha_{n}}}$${\textstyle \bigcup_{i=1}^{n}U_{\alpha_{i}}\supset K}$${\displaystyle K}$

Der Begriff einer stetigen Funktion lässt sich ebenfalls verallgemeinern. In Anbetracht topologische Räume , eine Funktion ist , die kontinuierlich sein , wenn für jede offene Menge , ist auch offen. Mit diesen Definitionen kann gezeigt werden, dass stetige Funktionen die Kompaktheit bewahren: ${\displaystyle V,\ W}$${\displaystyle f:V\to W}$${\displaystyle U\subset W}$${\displaystyle f^{-1}(U)\subset V}$

Satz. Wenn topologische Räume sind, eine stetige Funktion und kompakt ist, dann ist auch kompakt.${\displaystyle V,\ W}$${\displaystyle f:V\to W}$${\displaystyle K\subset V}$${\displaystyle f(K)\Teilmenge W}$

Insbesondere wenn , dann impliziert dieser Satz, dass für jede kompakte Menge abgeschlossen und beschränkt ist , was wiederum impliziert, dass das Supremum und Infimum auf jeder (nicht leeren) kompakten Menge erreicht wird . Damit haben wir die folgende Verallgemeinerung des Extremwertsatzes: ${\displaystyle W=\mathbb{R}}$${\displaystyle f(K)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle f}$${\displaystyle K}$

Satz. Wenn eine kompakte Menge und eine stetige Funktion ist, dann ist beschränkt und es gibt solche mit und .${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f:K\to\mathbb{R}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p,q\in K}$ ${\textstyle f(p)=\sup_{x\in K}f(x)}$ ${\textstyle f(q)=\inf_{x\in K}f(x)}$

Etwas allgemeiner gilt dies auch für eine obere halbstetige Funktion. (siehe kompakter Raum#Funktionen und kompakte Räume ).

Beweis der Sätze

Wir betrachten den Beweis für die obere Schranke und das Maximum von . Durch Anwenden dieser Ergebnisse auf die Funktion folgt die Existenz der unteren Schranke und das Ergebnis für das Minimum von . Beachten Sie auch, dass alles im Beweis im Kontext der reellen Zahlen erfolgt . ${\displaystyle f}$${\displaystyle -f}$${\displaystyle f}$

Wir beweisen zunächst den Beschränktheitssatz, der ein Schritt im Beweis des Extremwertsatzes ist. Die grundlegenden Schritte beim Beweis des Extremwertsatzes sind:

1. Beweisen Sie den Beschränktheitssatz.
2. Finden Sie eine Folge, deren Bild gegen das Supremum von konvergiert .${\displaystyle f}$
3. Zeigen Sie, dass es eine Teilfolge gibt , die gegen einen Punkt im Definitionsbereich konvergiert .
4. Zeigen Sie mit Stetigkeit, dass das Bild der Teilfolge gegen das Supremum konvergiert.

Beweis des Beschränktheitssatzes

Anweisung   Wenn stetig auf dann ist sie beschränkt auf${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle [a,b]}$

Angenommen, die Funktion ist nach oben nicht auf das Intervall beschränkt . Dann gibt es für jede natürliche Zahl einen solchen, dass . Dies definiert eine Sequenz . Da beschränkt ist, impliziert der Satz von Bolzano-Weierstrass , dass es eine konvergente Teilfolge von gibt . Bezeichne seine Grenze mit . Wie es geschlossen ist, enthält es . Da bei kontinuierlich ist , wissen wir , dass konvergent auf die reelle Zahl (wie ist sequentiell kontinuierlich an ). Aber für jedes , das impliziert, dass von abweicht , ein Widerspruch. Daher ist oben auf beschränkt . ${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{n}\in [a,b]}$${\displaystyle f(x_{n})>n}$ ${\displaystyle(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle(x_{n_{k}})_{k\in\mathbb{N}}}$${\displaystyle ({x_{n}})}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x_{{n}_{k}})}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x_{{n}_{k}})>n_{k}\geq k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f(x_{{n}_{k}})}$${\displaystyle +\infty}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle \Box}$

Alternativer Nachweis

Anweisung   Wenn stetig auf dann ist sie beschränkt auf${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle [a,b]}$

Beweis    Betrachten Sie die Menge der Punkte in solchen, die auf beschränkt ist . Wir bemerken, dass dies ein solcher Punkt ist, denn wird durch den Wert begrenzt . Wenn ein anderer Punkt ist, dann gehören alle Punkte zwischen und auch zu . Mit anderen Worten ist ein Intervall an seinem linken Ende durch abgeschlossen . ${\displaystyle B}$${\displaystyle p}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle [a,p]}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle [a,a]}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle e>a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle e}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle a}$

Jetzt ist rechts bei kontinuierlich , daher existiert so dass für alle in . Somit ist durch und auf das Intervall begrenzt, so dass alle diese Punkte zu gehören . ${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle |f(x)-f(a)|<1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [a,a+\delta]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(a)-1}$${\displaystyle f(a)+1}$${\displaystyle [a,a+\delta]}$${\displaystyle B}$

Bisher wissen wir, dass dies ein Intervall mit einer Länge ungleich Null ist, das an seinem linken Ende durch abgeschlossen ist . ${\displaystyle B}$${\displaystyle a}$

Weiter ist oben durch begrenzt . Daher hat die Menge ein Supremum in  ; nennen wir es . Aus der Länge von ungleich Null können wir das ableiten . ${\displaystyle B}$${\displaystyle b}$${\displaystyle B}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle s}$${\displaystyle B}$${\displaystyle s>a}$

Angenommen . Nun ist in stetig , daher existiert ein solches für alle in so das auf dieses Intervall beschränkt ist. Aber es folgt aus der Überlegenheit dessen, dass es einen Punkt gibt, der beispielsweise zu gehört , der größer ist als . Somit ist auf beschränkt, was überlappt, so dass auf beschränkt ist . Dies widerspricht jedoch der Vormachtstellung von . ${\displaystyle s<b}$${\displaystyle f}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle |f(x)-f(s)|<1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [s-\delta ,s+\delta]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle s}$${\displaystyle B}$${\displaystyle e}$${\displaystyle s-\delta /2}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,e]}$${\displaystyle [s-\delta ,s+\delta]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,s+\delta]}$${\displaystyle s}$

Wir müssen daher haben . Nun ist links bei stetig , daher existiert ein solches für alle in so dass auf dieses Intervall beschränkt ist. Aber es folgt aus der Überlegenheit dessen, dass es einen Punkt gibt, der beispielsweise zu gehört , der größer ist als . Somit ist auf beschränkt, was überlappt, so dass auf beschränkt ist .  ∎${\displaystyle s=b}$${\displaystyle f}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle |f(x)-f(s)|<1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [s-\delta ,s]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle s}$${\displaystyle B}$${\displaystyle e}$${\displaystyle s-\delta /2}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,e]}$${\displaystyle [s-\delta ,s]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,s]}$

Beweis des Extremwertsatzes

Nach dem Beschränktheitssatz ist f nach oben beschränkt, daher existiert durch die Dedekind-Vollständigkeit der reellen Zahlen die kleinste obere Schranke (Supremum) M von f . Es ist notwendig, einen Punkt d in [ a , b ] zu finden, so dass M = f ( d ). Sei n eine natürliche Zahl. Da M die kleinste obere Schranke ist, ist M – 1/ n keine obere Schranke für f . Daher existiert d _n in [ a , b ] mit M – 1/ n < f ( d _n ). Dies definiert eine Folge { d _n }. Da M eine obere Schranke für f ist , gilt M – 1/ n < f ( d _n ) M für alle n . Daher konvergiert die Folge { f ( d _n )} gegen M .

Der Satz von Bolzano-Weierstrass sagt uns, dass es eine Teilfolge { } gibt, die gegen ein d konvergiert und da [ a , b ] abgeschlossen ist, ist d in [ a , b ]. Da f bei d stetig ist , konvergiert die Folge { f ( )} gegen f ( d ). Aber { f ( d _{n k} )} ist eine Teilfolge von { f ( d _n )}, die gegen M konvergiert , also M = f ( d ). Daher erreicht f sein Supremum M bei d . ∎${\displaystyle d_{n_{k}}}$${\displaystyle d_{n_{k}}}$

Alternativer Beweis des Extremwertsatzes

Die Menge { y ∈ R  : y = f( x ) für ein x ∈ [ a , b ] } ist eine beschränkte Menge. Daher existiert seine kleinste obere Schranke durch die Eigenschaft der kleinsten oberen Schranke der reellen Zahlen. Sei M  = sup( f ( x )) auf [ a ,  b ]. Wenn es keinen Punkt x auf [ a ,  b ] gibt, so dass f ( x ) =  M , dann f ( x ) <  M auf [ a ,  b ]. Daher ist 1/( M  −  f ( x )) auf [ a , b ] stetig .

Zu jeder positiven Zahl ε gibt es jedoch immer ein x in [ a ,  b ] mit M  −  f ( x ) <  ε, weil M die kleinste obere Schranke ist. Somit ist 1/( M  −  f ( x )) > 1/ ε , was bedeutet, dass 1/( M  −  f ( x )) nicht beschränkt ist. Da jede stetige Funktion auf a [ a , b ] beschränkt ist, widerspricht dies der Schlussfolgerung, dass 1/( M  −  f ( x )) auf [ a ,  b ] stetig war . Daher muss es einen Punkt x in [ a ,  b ] geben, so dass f ( x ) =  M . ∎

Beweis mit den Hyperrealen

In der Einstellung der Nicht-Standard-Kalküle sei N   ein unendlicher Hyperinteger . Das Intervall [0, 1] hat eine natürliche hyperreale Ausdehnung. Betrachten Sie seine Aufteilung in N Teilintervalle gleicher infinitesimaler Länge 1/ N , mit Aufteilungspunkten x _i  = i  / N, da i von 0 bis N "läuft" . Die Funktion ƒ   wird natürlich auch zu einer Funktion ƒ * erweitert, die auf den Hyperrealen zwischen 0 und 1 definiert ist. Beachten Sie, dass in der Standardeinstellung (wenn N   endlich ist) immer ein Punkt mit dem maximalen Wert von ƒ unter den N + . gewählt werden kann 1 Punkte x _i , durch Induktion. Somit gibt es nach dem Übertragungsprinzip eine Hyperintegerzahl i _{0 mit} 0 ≤ i ₀  ≤ N und   für alle i  = 0, ...,  N . Betrachten Sie den wahren Punkt ${\displaystyle f^{*}(x_{i_{0}})\geq f^{*}(x_{i})}$

${\displaystyle c=\mathbf {st} (x_{i_{0}})}$

wobei st die Standardteilfunktion ist . Ein beliebiger reeller Punkt x liegt in einem geeigneten Teilintervall der Partition, nämlich , so dass  st ( x _i ) = x . Wenden wir st auf die Ungleichung an , erhalten wir . Nach Stetigkeit von ƒ haben   wir ${\displaystyle x\in [x_{i},x_{i+1}]}$${\displaystyle f^{*}(x_{i_{0}})\geq f^{*}(x_{i})}$${\displaystyle \mathbf {st} (f^{*}(x_{i_{0}}))\geq \mathbf {st} (f^{*}(x_{i}))}$

${\displaystyle \mathbf{st} (f^{*}(x_{i_{0}}))=f(\mathbf{st} (x_{i_{0}}))=f(c)}$.

Daher gilt ƒ ( c ) ≥ ƒ ( x ) für alle reellen x , was beweist, dass c ein Maximum von ƒ ist .

Beweis aus ersten Prinzipien

Aussage      Wenn auf stetig ist, dann erreicht sie ihr Supremum auf${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle [a,b]}$

Beweis      Durch den Beschränktheitssatz ist nach oben beschränkt und durch die Vollständigkeitseigenschaft der reellen Zahlen hat ein Supremum in . Nennen wir es oder . Es ist klar , dass die Einschränkung der an die Subintervall wo eine supremum hat , die kleiner ist oder gleich , und dass die Erhöhungen aus zu , wie steigt von zu . ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M[a,b]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,x]}$${\displaystyle x\leq b}$${\displaystyle M[a,x]}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M[a,x]}$${\displaystyle f(a)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

Wenn dann sind wir fertig. Nehmen Sie also an, dass und lassen Sie . Betrachten Sie die Menge von Punkten in so dass . ${\displaystyle f(a)=M}$${\displaystyle f(a)<M}$${\displaystyle d=Mf(a)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle M[a,x]<M}$

Ganz klar  ; außerdem, wenn ein anderer Punkt ist, dann gehören alle Punkte zwischen und auch dazu, weil monoton steigend ist. Also ist ein nicht leeres Intervall, das an seinem linken Ende durch abgeschlossen ist . ${\displaystyle a\in L}$${\displaystyle e>a}$${\displaystyle L}$${\displaystyle a}$${\displaystyle e}$${\displaystyle L}$${\displaystyle M[a,x]}$${\displaystyle L}$${\displaystyle a}$

Jetzt ist rechts bei kontinuierlich , daher existiert so dass für alle in . Somit ist kleiner als auf dem Intervall, so dass alle diese Punkte zu gehören . ${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle |f(x)-f(a)|<d/2}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [a,a+\delta]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Md/2}$${\displaystyle [a,a+\delta]}$${\displaystyle L}$

Next ist nach oben begrenzt durch und hat daher ein Supremum in  : nennen wir es . Das sehen wir oben . Wir werden zeigen, dass dies der Punkt ist, den wir suchen, dh der Punkt, an dem sein Höchstes erreicht wird, oder mit anderen Worten . ${\displaystyle L}$${\displaystyle b}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s>a}$${\displaystyle s}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(s)=M}$

Nehmen wir das Gegenteil an, nämlich. . Betrachten und betrachten Sie die folgenden zwei Fälle: ${\displaystyle f(s)<M}$${\displaystyle d=Mf(s)}$

(1)    . Wie bei stetig ist , gibt es so dass für alle in . Dies bedeutet, dass weniger als auf dem Intervall ist . Aber es folgt aus der Überlegenheit dessen, dass es einen Punkt gibt , der beispielsweise größer ist als . Nach der Definition von , . Lassen Sie dann für alle herein , . Nehmen wir als Minimum an und haben wir für alle in . ${\displaystyle s<b}$${\displaystyle f}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle |f(x)-f(s)|<d/2}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [s-\delta ,s+\delta]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Md/2}$${\displaystyle [s-\delta ,s+\delta]}$${\displaystyle s}$${\displaystyle e}$${\displaystyle L}$${\displaystyle s-\delta }$${\displaystyle L}$${\displaystyle M[a,e]<M}$${\displaystyle d_{1}=MM[a,e]}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [a,e]}$${\displaystyle f(x)\leq M-d_{1}}$${\displaystyle d_{2}}$${\displaystyle d/2}$${\displaystyle d_{1}}$${\displaystyle f(x)\leq M-d_{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [a,s+\delta]}$

Daher damit . Dies widerspricht jedoch der Überlegenheit und vervollständigt den Beweis. ${\displaystyle M[a,s+\delta ]<M}$${\displaystyle s+\delta\in L}$${\displaystyle s}$

(2)    . Wie links bei stetig ist , gibt es so dass für alle in . Dies bedeutet, dass weniger als auf dem Intervall ist . Aber es folgt aus der Überlegenheit dessen, dass es einen Punkt gibt , der beispielsweise größer ist als . Nach der Definition von , . Lassen Sie dann für alle herein , . Nehmen wir als Minimum an und haben wir für alle in . Dies widerspricht der Überlegenheit und vervollständigt den Beweis. ∎${\displaystyle s=b}$${\displaystyle f}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle |f(x)-f(s)|<d/2}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [s-\delta ,s]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle Md/2}$${\displaystyle [s-\delta ,s]}$${\displaystyle s}$${\displaystyle e}$${\displaystyle L}$${\displaystyle s-\delta }$${\displaystyle L}$${\displaystyle M[a,e]<M}$${\displaystyle d_{1}=MM[a,e]}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [a,e]}$${\displaystyle f(x)\leq M-d_{1}}$${\displaystyle d_{2}}$${\displaystyle d/2}$${\displaystyle d_{1}}$${\displaystyle f(x)\leq M-d_{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle M}$

Erweiterung auf halbkontinuierliche Funktionen

Wird die Stetigkeit der Funktion f zur Halbstetigkeit abgeschwächt , so gelten die entsprechenden Hälften des Beschränktheitssatzes und des Extremwertsatzes und die Werte –∞ bzw. +∞ aus der erweiterten reellen Zahlengeraden können möglichst zugelassen werden Werte. Etwas präziser:

Satz: Wenn eine Funktion f  : [ a , b ] → [–∞,∞) oberhalbstetig ist, was bedeutet, dass

${\displaystyle \limsup_{y\to x}f(y)\leq f(x)}$

für alle x in [ a , b ], dann ist f nach oben beschränkt und erhält sein Supremum.

Beweis: Ist f ( x ) = –∞ für alle x in [ a , b ], dann ist auch das Supremum –∞ und der Satz ist wahr. In allen anderen Fällen ist der Beweis eine geringfügige Modifikation der oben angegebenen Beweise. Im Beweis des Beschränktheitssatzes impliziert die obere Halbstetigkeit von f an x nur, dass der Limes superior der Teilfolge { f ( x _{n k} )} nach oben beschränkt ist durch f ( x ) < ∞, aber das reicht aus, um den Widerspruch erhalten. Im Beweis des Extremwertsatzes impliziert die obere Halbstetigkeit von f an d , dass der Limes superior der Teilfolge { f ( d _{n k} )} nach oben durch f ( d ) beschränkt ist, aber dies reicht aus, um zu schließen, dass f ( d ) = M . ∎

Die Anwendung dieses Ergebnisses auf −f beweist:

Theorem: Wenn eine Funktion f  : [ a , b ] → (–∞,∞] niedriger halbstetig ist, was bedeutet, dass

${\displaystyle \liminf_{y\to x}f(y)\geq f(x)}$

für alle x in [ a , b ], dann ist f nach unten beschränkt und erreicht sein Infimum .

Eine reellwertige Funktion ist sowohl nach oben als auch nach unten halbstetig, und zwar genau dann, wenn sie im üblichen Sinne stetig ist. Daher implizieren diese beiden Sätze den Beschränktheitssatz und den Extremwertsatz.

Verweise

Weiterlesen

• Adams, Robert A. (1995). Infinitesimalrechnung: Ein vollständiger Kurs . Lesen: Addison-Wesley. S. 706–707. ISBN 0-201-82823-5.
• Protter, MH ; Morrey, CB (1977). „Die Begrenztheit und Extremwertsätze“ . Ein erster Kurs in realer Analyse . New York: Springer. S. 71–73. ISBN 0-387-90215-5.

Externe Links

• Ein Beweis für den Extremwertsatz bei Cut-the-Knot
• Extreme Value Theorem von Jacqueline Wandzura mit zusätzlichen Beiträgen von Stephen Wandzura, dem Wolfram Demonstrations Project .
• Weisstein, Eric W. "Extreme Value Theorem" . MathWorld .
• Mizar-Systemnachweis : http://mizar.org/version/current/html/weierstr.html#T15