Infimum und Supremum - Infimum and supremum

Eine Menge von reellen Zahlen (hohle und gefüllte Kreise), eine Teilmenge von (gefüllte Kreise) und das Infimum von Beachten Sie, dass bei endlichen, vollständig geordneten Mengen das Infimum und das Minimum gleich sind.${\displaystyle P}$${\displaystyle S}$${\displaystyle P}$${\displaystyle S.}$

Ein Satz reeller Zahlen (blaue Kreise), ein Satz oberer Grenzen von (rote Raute und Kreise) und die kleinste dieser Obergrenzen, d. h. das Supremum von (rote Raute).${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

In der Mathematik , das Infimum (abgekürzt inf ; Plural infima ) einer Teilmenge aus einer teilweise geordneten Menge ein größtes Element in der kleiner als oder gleich zu allen Elementen , wenn ein solches Element vorhanden ist . Folglich wird auch der Begriff Größte Untergrenze (abgekürzt als GLB ) häufig verwendet. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle S,}$

Die supremum (abgekürzt sup ; Plural suprema ) einer Teilmenge aus einem teilweise geordnete Menge ist das kleinste Element in das größer oder auf alle Elemente von gleicher , wenn ein solches Element vorhanden ist . Folglich wird das Supremum auch als die kleinste obere Grenze (oder LUB ) bezeichnet. ${\displaystyle S}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle S,}$

Das Infimum ist in einem präzisen Sinne dual zum Konzept eines Supremums. Infima und Suprema reeller Zahlen sind häufige Spezialfälle, die in der Analysis und insbesondere in der Lebesgue-Integration wichtig sind . Die allgemeinen Definitionen bleiben jedoch in der abstrakteren Umgebung der Ordnungstheorie gültig, in der beliebige teilweise geordnete Mengen betrachtet werden.

Die Konzepte von Infimum und Supremum ähneln Minimum und Maximum , sind jedoch in der Analyse nützlicher, da sie spezielle Mengen besser charakterisieren, die möglicherweise kein Minimum oder Maximum haben . Zum Beispiel hat die Menge der positiven reellen Zahlen (ohne ) kein Minimum, weil jedes gegebene Element von einfach halbiert werden könnte, was zu einer kleineren Zahl führt, die noch in ist. Es gibt jedoch genau ein Infimum der positiven reelle Zahlen: Dies ist kleiner als alle positiven reellen Zahlen und größer als jede andere reelle Zahl, die als Untergrenze verwendet werden könnte. ${\displaystyle \mathbb{R} ^{+}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{+}.}$${\displaystyle 0,}$

Formale Definition

Supremum = kleinste obere Grenze

Eine untere Grenze einer Teilmenge einer teilweise geordnete Menge ist ein Element von , so dass ${\displaystyle S}$${\displaystyle (P,\leq)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle P}$

• ${\displaystyle a\leq x}$ für alle ${\displaystyle x\in S.}$

Eine untere Grenze von wird Infimum (oder größte untere Grenze oder treffen ) von if . genannt ${\displaystyle a}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

• für alle unteren Schranken von in ( ist größer oder gleich jeder anderen unteren Schranke).${\displaystyle y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle y\leq a}$${\displaystyle a}$

Ähnlich wird eine obere Schranke einer Teilmenge eines teilweise geordnete Menge ist ein Element von , so dass ${\displaystyle S}$${\displaystyle (P,\leq)}$${\displaystyle b}$${\displaystyle P}$

• ${\displaystyle b\geq x}$ für alle ${\displaystyle x\in S.}$

Eine obere Schranke von heißt Supremum (oder kleinste obere Schranke oder Join ) von if ${\displaystyle b}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

• für alle Obergrenzen von in ( ist kleiner oder gleich einer anderen Obergrenze).${\displaystyle z}$${\displaystyle S}$${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle z\geq b}$${\displaystyle b}$

Existenz und Einzigartigkeit

Infima und Suprema existieren nicht unbedingt. Die Existenz eines Infimums einer Teilmenge von kann scheitern, wenn überhaupt keine untere Schranke vorhanden ist oder wenn die Menge der unteren Schranken kein größtes Element enthält. Wenn jedoch ein Infimum oder Supremum existiert, ist es einzigartig. ${\displaystyle S}$${\displaystyle P}$${\displaystyle S}$

Folglich werden teilweise geordnete Mengen, für die bestimmte Infima bekannt sind, besonders interessant. Zum Beispiel ist ein Gitter eine teilweise geordnete Menge, in der alle nichtleeren endlichen Teilmengen sowohl ein Supremum als auch ein Infimum haben, und ein vollständiges Gitter ist eine teilweise geordnete Menge, in der alle Teilmengen sowohl ein Supremum als auch ein Infimum haben. Weitere Informationen zu den verschiedenen Klassen von teilgeordneten Mengen, die sich aus solchen Überlegungen ergeben, finden sich im Artikel zu den Vollständigkeitseigenschaften .

Wenn das Supremum einer Teilmenge existiert, ist es eindeutig. Enthält ein größtes Element, dann ist dieses Element das Supremum; andernfalls gehört das Supremum nicht zu (oder existiert nicht). Wenn das Infimum existiert, ist es ebenfalls einzigartig. Wenn es ein kleinstes Element enthält, ist dieses Element das Infimum; andernfalls gehört das Infimum nicht zu (oder existiert nicht). ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

Beziehung zu maximalen und minimalen Elementen

Das Infimum einer Teilmenge einer teilweise geordneten Menge, vorausgesetzt, es existiert, gehört nicht notwendigerweise zu Wenn ja, ist es ein minimales oder kleinstes Element von Ähnlich, wenn das Supremum von zu ihr gehört ein maximales oder größtes Element von${\displaystyle S}$${\displaystyle P,}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle S.}$

Betrachten Sie beispielsweise die Menge der negativen reellen Zahlen (ohne Null). Diese Menge hat kein größtes Element, da es für jedes Element der Menge ein anderes, größeres Element gibt. Zum Beispiel gibt es für jede negative reelle Zahl eine andere negative reelle Zahl, die größer ist. Andererseits ist jede reelle Zahl größer oder gleich Null sicherlich eine obere Schranke dieser Menge. Daher ist die kleinste obere Schranke der negativen reellen Zahlen, also ist das Supremum 0. Diese Menge hat ein Supremum, aber kein größtes Element. ${\displaystyle x,}$${\displaystyle {\tfrac {x}{2}},}$${\displaystyle 0}$

Die Definition von maximalen und minimalen Elementen ist jedoch allgemeiner. Insbesondere kann eine Menge viele maximale und minimale Elemente haben, während Infima und Suprema eindeutig sind.

Während Maxima und Minima Mitglieder der betrachteten Teilmenge sein müssen, müssen Infimum und Supremum einer Teilmenge nicht selbst Mitglieder dieser Teilmenge sein.

Minimale Obergrenzen

Schließlich kann eine teilweise geordnete Menge viele minimale obere Schranken haben, ohne eine kleinste obere Schranke zu haben. Minimale obere Schranken sind diejenigen oberen Schranken, für die es kein streng kleineres Element gibt, das auch eine obere Schranke ist. Dies bedeutet nicht, dass jede minimale obere Schranke kleiner als alle anderen oberen Schranken ist, sie ist lediglich nicht größer. Die Unterscheidung zwischen "minimal" und "geringst" ist nur möglich, wenn es sich nicht um eine totale Reihenfolge handelt . In einer vollständig geordneten Menge, wie bei den reellen Zahlen, sind die Konzepte die gleichen.

Als Beispiel sei die Menge aller endlichen Teilmengen natürlicher Zahlen und betrachte die teilweise geordnete Menge, die man erhält, indem man alle Mengen zusammen mit der Menge der ganzen Zahlen und der Menge der positiven reellen Zahlen, die wie oben durch Teilmengeninklusion geordnet werden, erhält . Dann sind eindeutig beide und größer als alle endlichen Mengen natürlicher Zahlen. Jedoch ist weder kleiner als noch das Umgekehrte: Beide Mengen sind minimale obere Schranken, aber keine ist ein Supremum. ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb{Z}}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{+},}$${\displaystyle \mathbb{Z}}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb{Z}}$

Least-upper-bound-Eigenschaft

Die Eigenschaft der kleinsten Obergrenze ist ein Beispiel für die oben erwähnten Vollständigkeitseigenschaften, die typisch für die Menge der reellen Zahlen ist. Diese Eigenschaft wird manchmal als Dedekind-Vollständigkeit bezeichnet .

Wenn eine geordnete Menge die Eigenschaft hat, dass jede nichtleere Teilmenge mit einer oberen Schranke auch eine kleinste obere Schranke hat, dann hat man die Eigenschaft der kleinsten oberen Schranke. Wie oben erwähnt, hat die Menge aller reellen Zahlen die Eigenschaft der kleinsten oberen Schranke. In ähnlicher Weise hat die Menge der ganzen Zahlen die Eigenschaft der kleinsten oberen Grenze; wenn eine nichtleere Teilmenge von ist und es eine Zahl gibt , bei der jedes Element von kleiner oder gleich ist, dann gibt es eine kleinste obere Schranke für eine ganze Zahl, die eine obere Schranke für ist und kleiner oder gleich jeder anderen oberen Schranke für ist Eine wohlgeordnete Menge hat auch die Eigenschaft der kleinsten Obergrenze, und die leere Teilmenge hat auch eine kleinste obere Schranke: das Minimum der gesamten Menge. ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb{R}}$${\displaystyle \mathbb{Z}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb{Z}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle s}$${\displaystyle S}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle u}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$

Ein Beispiel für eine Menge, der die Eigenschaft der kleinsten Obergrenze fehlt, ist die Menge der rationalen Zahlen. Sei die Menge aller rationalen Zahlen derart, dass Then eine obere Schranke hat ( zum Beispiel oder ), aber keine kleinste obere Schranke in : Wenn wir annehmen, dass es die kleinste obere Schranke ist, wird sofort ein Widerspruch abgeleitet, da zwischen zwei beliebigen reellen Zahlen und (einschließlich und ) es gibt ein rationales System, das selbst die kleinste obere Schranke (if ) oder ein Mitglied von größer als (if ) sein müsste . Ein anderes Beispiel sind die Hyperrealen ; es gibt keine kleinste obere Schranke der Menge der positiven infinitesimalen Zahlen. ${\displaystyle\mathbb{Q},}$${\displaystyle S}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q^{2}<2.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle 1000,}$${\displaystyle 6}$${\displaystyle\mathbb{Q}}$${\displaystyle p\in\mathbb{Q}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p,}$${\displaystyle p>{\sqrt {2}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p<{\sqrt {S}}}$

Es gibt eine entsprechende Größte-Untere-Grenze-Eigenschaft ; eine geordnete Menge besitzt genau dann die größte untere Schranke, wenn sie auch die kleinste obere Schranke besitzt; die kleinste obere Schranke der Menge der unteren Schranken einer Menge ist die größte untere Schranke, und die größte untere Schranke der Menge der oberen Schranken einer Menge ist die kleinste obere Schranke der Menge.

Wenn in einer teilgeordneten Menge jede beschränkte Teilmenge ein Supremum hat, gilt dies auch für jede Menge im Funktionsraum, die alle Funktionen von bis wohin enthält, genau dann, wenn für alle Zum Beispiel gilt dies für reelle Funktionen, und da diese als Sonderfälle von Funktionen betrachtet werden, für reelle -Tupel und Folgen reeller Zahlen. ${\displaystyle P}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P,}$${\displaystyle f\leq g}$${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$${\displaystyle x\in X.}$${\displaystyle n}$

Die Eigenschaft der kleinsten Obergrenze ist ein Indikator für den Suprema.

Infima und Suprema der reellen Zahlen

In der Analysis sind Infima und Suprema von Teilmengen der reellen Zahlen besonders wichtig. Zum Beispiel haben die negativen reellen Zahlen kein größtes Element, und ihr Supremum ist (das keine negative reelle Zahl ist). Die Vollständigkeit der reellen Zahlen impliziert (und ist äquivalent dazu), dass jede beschränkte nichtleere Teilmenge der reellen Zahlen ein Infimum und ein Supremum hat. Wenn nicht nach unten beschränkt ist , schreibt man oft formal Wenn ist leer , schreibt man${\displaystyle S}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \inf_{}S=-\infty.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \inf_{}S=+\infty.}$

Eigenschaften

Die folgenden Formeln hängen von einer Notation ab, die arithmetische Operationen auf Mengen bequem verallgemeinert: Lassen Sie die Mengen und den Skalar Define ${\displaystyle A,B\subseteq\mathbb{R},}$${\displaystyle r\in\mathbb{R}.}$

• ${\displaystyle A\neq \varnothing}$wenn und nur wenn und sonst${\displaystyle \sup A\geq \inf A,}$${\displaystyle -\infty =\sup \varnothing <\inf \varnothing =\infty .}$
• ${\displaystyle rA=\{r\cdot a:a\in A\}}$; Das Skalarprodukt einer Menge ist nur der Skalar multipliziert mit jedem Element der Menge.
• ${\displaystyle A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}}$; Die sogenannte Minkowski-Summe ist die arithmetische Summe zweier Mengen, ist die Summe aller möglichen Zahlenpaare, eines aus jeder Menge.
• ${\displaystyle A\cdot B=\{a\cdot b:a\in A,b\in B\}}$; das arithmetische Produkt zweier Mengen sind alle Produkte von Paaren von Elementen, eines aus jeder Menge.
• Wenn es dann eine Folge gibt, in der ähnlich ist, gibt es eine (möglicherweise andere) Folge in so dass , wenn der Grenzwert eine reelle Zahl und eine stetige Funktion ist, dann ist notwendigerweise ein Haftpunkt von${\displaystyle\varnothing\neq S\subseteq\mathbb{R}}$${\displaystyle s_{\bullet}=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \lim_{n\to\infty}s_{n}=\sup S.}$${\displaystyle s_{\bullet }}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \lim_{n\to\infty}s_{n}=\inf S.}$${\displaystyle \lim_{n\to\infty}s_{n}=\sup S}$${\displaystyle f:\mathbb{R} \to X}$${\displaystyle f\left(\sup S\right)}$${\displaystyle f(S).}$

In den Fällen, in denen die Infima und Suprema der Mengen und existieren, gelten die folgenden Identitäten: ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

• ${\displaystyle p=\inf A}$wenn und nur ist ein Minorant und für jeden gibt es ein with${\displaystyle p}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle a_{\epsilon}\in A}$${\displaystyle a_{\epsilon}<p+\epsilon.}$
• ${\displaystyle p=\sup A}$wenn und nur ein Majorant ist und wenn es für jeden ein with gibt${\displaystyle p}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle a_{\epsilon}\in A}$${\displaystyle a_{\epsilon}>p-\epsilon}$
• Wenn und dann und${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle \inf A\geq \inf B}$${\displaystyle \sup A\leq \sup B.}$

• Wenn dann und${\displaystyle r>0}$${\displaystyle \inf(r\cdot A)=r\left(\inf A\right)}$${\displaystyle \sup(r\cdot A)=r\left(\sup A\right).}$
• Wenn dann und${\displaystyle r\leq 0}$${\displaystyle \inf(r\cdot A)=r\left(\sup A\right)}$${\displaystyle \sup(r\cdot A)=r\left(\inf A\right).}$
• ${\displaystyle \inf(A+B)=\left(\inf A\right)+\left(\inf B\right)}$ und ${\displaystyle \sup(A+B)=\left(\sup A\right)+\left(\sup B\right).}$
• Wenn und nichtleere Mengen positiver reeller Zahlen sind, dann und ähnlich für suprema${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \inf(A\cdot B)=\left(\inf A\right)\cdot \left(\inf B\right)}$${\displaystyle \sup(A\cdot B)=\left(\sup A\right)\cdot\left(\sup B\right).}$
• Wenn nicht leer ist und wenn dann wo diese Gleichung auch gilt, wenn die Definition verwendet wird. Diese Gleichheit kann alternativ geschrieben werden als Überdies, wenn und nur wenn wo wenn dann${\displaystyle S\subseteq (0,\infty)}$${\displaystyle {\frac {1}{S}}:=\left\{{\frac {1}{s}}:s\in S\right\},}$${\displaystyle {\frac{1}{\sup_{}S}}=\inf_{}{\frac{1}{S}}}$${\displaystyle \sup_{}S=\infty}$${\displaystyle {\frac {1}{\infty}}:=0}$${\displaystyle {\frac {1}{\displaystyle \sup _{s\in S}s}}=\inf _{s\in S}{\frac {1}{s}}.}$${\displaystyle \inf_{}S=0}$${\displaystyle \sup_{}{\frac {1}{S}}=\infty,}$${\displaystyle \inf_{}S>0,}$${\displaystyle {\frac{1}{\inf_{}S}}=\sup_{}{\frac{1}{S}}.}$

Dualität

Bezeichnet man durch die teilgeordnete Menge mit der Relation umgekehrter Ordnung ; das heißt für alle erklären: ${\displaystyle P^{\operatorname {op} }}$${\displaystyle P}$${\displaystyle x{\text{ und }}y,}$

$${\displaystyle x\leq y{\text{ in }}P^{\operatorname {op} }\quad {\text{ wenn und nur wenn }}\quad x\geq y{\text{ in }}P, }$$

${\displaystyle S}$

${\displaystyle P}$

${\displaystyle S}$

${\displaystyle P^{\operatorname {op} }}$

Für Teilmengen der reellen Zahlen gilt eine andere Art von Dualität: wobei${\displaystyle \inf S=-\sup(-S),}$${\displaystyle -S:=\{-s~:~s\in S\}.}$

Beispiele

Infima

• Das Infimum der Zahlenmenge ist Die Zahl ist eine untere Schranke, aber nicht die größte untere Schranke und somit nicht das Infimum.${\displaystyle \{2,3,4\}}$${\displaystyle 2.}$${\displaystyle 1}$
• Allgemeiner gesagt, wenn eine Menge ein kleinstes Element hat, dann ist das kleinste Element das Infimum für die Menge. In diesem Fall wird es auch als Minimum der Menge bezeichnet.
• ${\displaystyle \inf\{1,2,3,\ldots\}=1.}$
• ${\displaystyle \inf\{x\in\mathbb{R} :0<x<1\}=0.}$
• ${\displaystyle \inf\left\{x\in\mathbb{Q} :x^{3}>2\right\}={\sqrt[{3}]{2}}.}$
• ${\displaystyle \inf\left\{(-1)^{n}+{\tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,\ldots\right\}=-1.}$
• Wenn eine absteigende Folge mit Grenzwert ist, dann${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle \inf x_{n}=x.}$

Suprema

• Das Supremum der Zahlenmenge ist Die Zahl ist eine obere Schranke, aber nicht die kleinste obere Schranke und ist daher nicht das Supremum.${\displaystyle \{1,2,3\}}$${\displaystyle 3.}$${\displaystyle 4}$
• ${\displaystyle \sup\{x\in\mathbb{R} :0<x<1\}=\sup\{x\in\mathbb{R} :0\leq x\leq 1\}=1.}$
• ${\displaystyle \sup\left\{(-1)^{n}-{\tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,\ldots\right\}=1.}$
• ${\displaystyle \sup\{a+b:a\in A,b\in B\}=\sup A+\sup B.}$
• ${\displaystyle \sup\left\{x\in\mathbb{Q} :x^{2}<2\right\}={\sqrt {2}}.}$

Im letzten Beispiel die supremum eines Satzes von rationals ist irrational , was bedeutet , dass die rationals sind unvollständig .

Eine grundlegende Eigenschaft des Supremums ist

$${\displaystyle \sup\{f(t)+g(t):t\in A\}~\leq ~\sup\{f(t):t\in A\}+\sup\{g(t .) ):t\in A\}}$$

${\displaystyle f}$

${\displaystyle g.}$

Das Supremum einer Teilmenge von wobei bezeichnet " teilt ", ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Elemente von${\displaystyle S}$${\displaystyle (\mathbb{N},\mid\,)}$${\displaystyle \,\mid\,}$${\displaystyle S.}$

Das Supremum einer Teilmenge von wobei ist die Potenzmenge einer Menge, ist das Supremum bezüglich (Teilmenge) einer Teilmenge von ist die Vereinigung der Elemente von${\displaystyle S}$${\displaystyle (P,\subseteq),}$${\displaystyle P}$${\displaystyle\,\subseteq\,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle P}$${\displaystyle S.}$

Siehe auch

• Essentielles Supremum und essentielles Infimum
• Größtes Element und kleinstes Element  – Element ≥ (oder ≤) jedes andere Element
• Maximale und minimale Elemente  – Element, das kein ≤ (oder ≥) irgendein anderes Element ist
• Limit Superior und Limit Inferior (Infimum Limit)
• Ober- und Untergrenze  – Majorant und Minorant in Mathematik

Anmerkungen

Verweise

• Rockafellar, R. Tyrrell ; Wets, Roger J.-B. (26. Juni 2009). Variationsanalyse . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 317 . Berlin New York: Springer Wissenschaft & Wirtschaftsmedien . ISBN 9783642024313. OCLC  883392544 .

Externe Links

• "Obere und untere Grenzen" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Breitenbach, Jerome R. & Weisstein, Eric W. "Infimum und Supremum" . MathWorld .