Semidifferenzierbarkeit - Semi-differentiability

In Zahnstein , ein Zweig der Mathematik , die Begriffe der einseitigen Differenzierbarkeit und semi-Differenzierbarkeit eines realen -wertige Funktion f einer reellen Variablen sind schwächer als Differenzierbarkeit . Genauer gesagt, ist die Funktion f wird gesagt, dass rechts differenzierbar an einem Punkt ein , wenn, grob gesagt, ein Derivat kann als Funktion Argument definiert werden x bewegt sich ein von der rechten Seite , und differenzierbar links an ein , wenn das Derivat als definiert werden kann x bewegt sich ein von der linken Seite.

Eindimensionaler Fall

Diese Funktion hat an der markierten Stelle keine Ableitung, da die Funktion dort nicht stetig ist. Es hat jedoch an allen Punkten eine rechte Ableitung mit konstant gleich 0.

{\ displaystyle \ partielle _ {+} f (a)}

In der Mathematik ist ein links - Derivat und ein rechter Derivat sind Derivate (Änderungsraten einer Funktion) definieren für die Bewegung nur in eine Richtung ( nach links oder rechts, das heißt, oder höhere Werte zu senken) durch das Argument einer Funktion.

Definitionen

Es sei f eine reelle Funktion, die auf einer Teilmenge I der reellen Zahlen definiert ist.

Wenn $a \in I$ ein Grenzpunkt von $I \cap$ $[a, \infty)$ und der einseitigen Grenze ist

{\ displaystyle \ partielle _ {+} f (a): = \ lim _ {\ scriptstyle x \ zu einem ^ {+} \ atop \ scriptstyle x \ in I} {\ frac {f (x) -f (a )} {xa}}}

existiert als eine reelle Zahl ist , dann f heißt rechts differenzierbar bei a und die Grenze ∂ ₊ f ( a ) ist das genannte rechte Derivat von f bei a .

Wenn $a \in I$ ein Grenzpunkt von $I \cap$ $(-\infty, a]$ und der einseitigen Grenze ist

{\ displaystyle \ partielle _ {-} f (a): = \ lim _ {\ scriptstyle x \ zu a ^ {-} \ atop \ scriptstyle x \ in I} {\ frac {f (x) -f (a )} {xa}}}

existiert als eine reelle Zahl ist , dann f heißt differenzierbar links bei a und die Grenze ∂ _- f ( a ) wird , um die genannte linke Derivat von f bei a .

Wenn $ein \in I$ ist ein Häufungspunkt von $I \cap$ $[a, \infty)$ und $I \cap (-\infty, a]$ und wenn f ist links und rechts differenzierbar in a , dann f genannt wird semi-differenzierbar an ein .

Wenn die linke und die rechte Ableitung gleich sind, haben sie den gleichen Wert wie die übliche ("bidirektionale") Ableitung. Man kann auch eine symmetrische Ableitung definieren , die dem arithmetischen Mittel der linken und rechten Ableitung entspricht (wenn beide existieren), so dass die symmetrische Ableitung existieren kann, wenn die übliche Ableitung nicht existiert.

Anmerkungen und Beispiele

Eine Funktion ist differenzierbar an einem inneren Punkt a seiner Domäne , wenn und nur wenn es bei halb differenzierbar ist a und die linke Derivat nach rechts Ableitung gleich.
Ein Beispiel für eine semi-differenzierbare Funktion, die nicht differenzierbar ist, ist der Absolutwert bei a = 0.
Wenn eine Funktion an einem Punkt a semi-differenzierbar ist , bedeutet dies, dass sie an a stetig ist .
Die Indikatorfunktion 1 _{[0, ∞)} ist bei jedem reellen a rechts differenzierbar , bei Null jedoch diskontinuierlich (beachten Sie, dass diese Indikatorfunktion bei Null nicht differenzierbar bleibt).

Anwendung

Wenn eine reelle, differenzierbare Funktion f , die in einem Intervall I der reellen Linie definiert ist, überall eine Nullableitung hat, dann ist sie konstant, wie eine Anwendung des Mittelwertsatzes zeigt. Die Annahme der Differenzierbarkeit kann zu Kontinuität und einseitiger Differenzierbarkeit von f geschwächt werden . Die Version für rechts differenzierbare Funktionen ist unten angegeben, die Version für links differenzierbare Funktionen ist analog.

Satz - Sei f eine reelle stetige Funktion , die in einem beliebigen Intervall I der reellen Linie definiert ist. Wenn f stimmt differenzierbar an jedem Punkt $a \in I$ , das nicht das ist supremum des Intervalls, und wenn dies der richtige Ableitung immer Null ist, dann f ist konstant .

Beweis -

Nehmen Sie für einen Beweis durch Widerspruch an , dass in I $a < b$ existiert, so dass $f$ $($ $a$ $) \neq$ $f$ $($ $b$ $)$ . Dann

{\ displaystyle \ varepsilon: = {\ frac {| f (b) -f (a) |} {2 (ba)}}> 0.}

Definieren Sie c als das Infimum aller jener x in dem Intervall $(a, b],$ für das der Differenzquotient von f den absoluten Wert ε überschreitet , d. H.

{\ displaystyle c = \ inf \ {\, x \ in (a, b] \ mid | f (x) -f (a) |> \ varepsilon (xa) \, \}.}

Aufgrund der Kontinuität von f folgt, dass $c < b$ und $| f (c) - f (a) | = ε (c - a)$ . Bei c ist die rechte Ableitung von f unter der Annahme Null, daher existiert d im Intervall $(c, b]$ mit $| f (x) - f (c) | \leq ε (x - c)$ für alle x in $(c, d]$ . Daher durch die Dreiecksungleichung ,

{\ displaystyle | f (x) -f (a) | \ leq | f (x) -f (c) | + | f (c) -f (a) | \ leq \ varepsilon (xa)}

für alle x in $[c, d)$ , was der Definition von c widerspricht .

Differentialoperatoren, die links oder rechts wirken

Eine andere häufige Verwendung besteht darin, Ableitungen zu beschreiben, die als Binäroperatoren in Infixnotation behandelt werden , wobei die Ableitungen entweder auf den linken oder den rechten Operanden angewendet werden sollen . Dies ist beispielsweise nützlich, wenn Verallgemeinerungen der Poisson-Klammer definiert werden . Für ein Funktionspaar f und g sind die linken und rechten Ableitungen jeweils definiert als

{\ displaystyle f {\ stackrel {\ leftarrow} {\ teilweise}} _ {x} g = {\ frac {\ partielle f} {\ partielle x}} \ cdot g}

{\ displaystyle f {\ stackrel {\ rightarrow} {\ teilweise}} _ {x} g = f \ cdot {\ frac {\ partielle g} {\ partielle x}}.}

In der Bra-Ket-Notation kann der Ableitungsoperator auf den rechten Operanden als reguläre Ableitung oder auf den linken als negative Ableitung wirken.

Höherdimensionaler Fall

Diese obige Definition kann unter Verwendung einer schwächeren Version der Richtungsableitung auf reelle Funktionen f verallgemeinert werden, die in Teilmengen von R ⁿ definiert sind . Sei a ein innerer Punkt der Domäne von f . Dann heißt f am Punkt a, wenn für jede Richtung u ∈ R ⁿ die Grenze ist, semi-differenzierbar

{\ displaystyle \ partielle _ {u} f (a) = \ lim _ {h \ bis 0 ^ {+}} {\ frac {f (a + h \, u) -f (a)} {h}} }}

existiert als reelle Zahl.

Die Semidifferenzierbarkeit ist daher schwächer als die Gateaux-Differenzierbarkeit , für die man die Grenze über h → 0 einnimmt , ohne h auf nur positive Werte zu beschränken.

Zum Beispiel ist die Funktion bei halb-differenzierbar , dort jedoch nicht bei Gateaux. ${\ displaystyle f (x, y) = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle (0,0)}$

(Beachten Sie, dass diese Verallgemeinerung nicht der ursprünglichen Definition für n = 1 entspricht, da das Konzept der einseitigen Grenzpunkte durch das stärkere Konzept der inneren Punkte ersetzt wird.)

Eigenschaften

Jede konvexe Funktion auf einer konvexen offenen Teilmenge von R ⁿ ist semi-differenzierbar.
Während jede halbdifferenzierbare Funktion einer Variablen stetig ist; Dies gilt nicht mehr für mehrere Variablen.

Verallgemeinerung

Anstelle von reellen Funktionen kann man auch Funktionen in Betracht ziehen, die Werte in R ⁿ oder in einem Banachraum annehmen .

Siehe auch

Verweise

Preda, V.; Chiţescu, I. (1999). "Zur Einschränkung der Qualifikation bei Problemen der multiobjektiven Optimierung: Semidifferenzierbarer Fall". J. Optim. Theorie Appl . 100 (2): 417–433. doi : 10.1023 / A: 1021794505701 .

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