Kleinwinkel-Approximation - Small-angle approximation

Die Kleinwinkel-Approximationen können verwendet werden, um die Werte der trigonometrischen Hauptfunktionen anzunähern , vorausgesetzt, der fragliche Winkel ist klein und wird im Bogenmaß gemessen :

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\sin \theta &\approx \theta\\\cos \theta &\approx 1-{\frac {\theta^{2}}{2}}\approx 1\\\ tan \theta &\approx \theta \end{ausgerichtet}}}$

Diese Näherungen haben ein breites Anwendungsspektrum in Bereichen der Physik und des Ingenieurwesens , einschließlich der Mechanik , des Elektromagnetismus , der Optik , der Kartographie , der Astronomie und der Informatik . Ein Grund dafür ist, dass sie Differentialgleichungen , die nicht mit absoluter Genauigkeit beantwortet werden müssen, stark vereinfachen können .

Es gibt eine Reihe von Möglichkeiten, die Gültigkeit der Kleinwinkel-Approximationen zu demonstrieren. Die direkteste Methode besteht darin, die Maclaurin-Reihe für jede der trigonometrischen Funktionen zu kürzen. In Abhängigkeit von der Ordnung der Annäherung , wird angenähert als entweder oder als . ${\displaystyle \textstyle \cos\theta}$${\displaystyle 1}$${\textstyle 1-{\frac {\theta^{2}}{2}}}$

Begründungen

Grafik

Die Genauigkeit der Näherungen ist unten in Abbildung 1 und Abbildung 2 zu sehen. Wenn das Winkelmaß gegen Null geht, nähert sich auch die Differenz zwischen der Näherung und der ursprünglichen Funktion 0.

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  Abbildung 1. Ein Vergleich der grundlegenden ungeraden trigonometrischen Funktionen mit θ . Es ist ersichtlich, dass die Näherungen besser werden, wenn sich der Winkel 0 nähert.

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  Abbildung 2. Ein Vergleich von cos θ mit 1 − θ ²/2. Es ist ersichtlich, dass die Näherung besser wird, wenn sich der Winkel 0 nähert.

Geometrisch

Der rote Bereich auf der rechten Seite , d , ist der Unterschied zwischen den Längen der Hypotenuse, H und der angrenzenden Seite, A . Wie gezeigt, sind H und A fast gleich lang, was bedeutet, dass cos θ nahe bei 1 liegt undθ ²/2 hilft, das Rot zu entfernen.

${\displaystyle \cos {\theta}\approx 1-{\frac {\theta^{2}}{2}}}$

Das gegenüberliegende Bein, O , ist ungefähr gleich der Länge des blauen Bogens, s . Sammeln von Fakten aus der Geometrie, s = Aθ , aus der Trigonometrie, sin θ =Ö/hund tan θ =Ö/EIN, und aus dem Bild führt O ≈ s und H ≈ A zu:

${\displaystyle \sin\theta ={\frac {O}{H}}\approx {\frac {O}{A}}=\tan\theta ={\frac {O}{A}}\approx {\ frac {s}{A}}={\frac {A\theta }{A}}=\theta .}$

Vereinfachen von Blättern,

${\displaystyle \sin\theta\approx\tan\theta\approx\theta.}$

Infinitesimalrechnung

Mit dem Squeeze-Theorem können wir beweisen, dass es sich um eine formale Neuformulierung der Approximation für kleine Werte von θ handelt. ${\textstyle \lim_{\theta\to 0}{\frac {\sin(\theta)}{\theta}}=1,}$${\displaystyle \sin(\theta)\approx \theta}$

Eine sorgfältigere Anwendung des Squeeze-Theorems beweist, woraus wir für kleine Werte von θ schließen. ${\textstyle \lim_{\theta\to 0}{\frac {\tan(\theta)}{\theta}}=1,}$${\displaystyle \tan(\theta)\approx\theta}$

Schließlich sagt uns die Regel von L'Hôpital , was sich für kleine Werte von θ zu neu anordnet. Alternativ können wir die Doppelwinkelformel verwenden . Indem wir lassen , bekommen wir das . ${\textstyle \lim_{\theta\to 0}{\frac {\cos(\theta)-1}{\theta^{2}}}=\lim_{\theta\to 0}{\frac{ -\sin(\theta)}{2\theta}}=-{\frac {1}{2}},}$${\textstyle \cos(\theta)\approx 1-{\frac {\theta^{2}}{2}}}$ ${\displaystyle \cos 2A\equiv 1-2\sin^{2}A}$${\displaystyle \theta =2A}$${\textstyle \cos\theta=1-2\sin^{2}{\frac {\theta}{2}}\approx 1-{\frac {\theta^{2}}{2}}}$

Algebraisch

Die Maclaurin-Entwicklung (die Taylor-Entwicklung um 0) der relevanten trigonometrischen Funktion ist

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\sin\theta &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}} \theta^{2n+1}\\&=\theta -{\frac {\theta^{3}}{3!}}+{\frac {\theta^{5}}{5!}}-{ \frac {\theta^{7}}{7!}}+\cdots \end{ausgerichtet}}}$

wobei θ der Winkel im Bogenmaß ist. In klareren Worten,

${\displaystyle \sin\theta =\theta -{\frac {\theta^{3}}{6}}+{\frac {\theta^{5}}{120}}-{\frac {\theta^ {7}}{5040}}+\cdots }$

Es ist leicht zu erkennen, dass der zweitwichtigste Term (dritter Ordnung) als Kubus des ersten Terms abfällt; selbst für ein nicht so kleines Argument wie 0,01 liegt der Wert des zweithöchsten Termes in der Größenordnung von0,000 001 , oder1/10 000der erste Begriff. Damit kann man sicher ungefähr annähern:

${\displaystyle \sin\theta\approx\theta}$

Da der Kosinus eines kleinen Winkels sehr nahe 1 ist und der Tangens durch den Sinus geteilt durch den Kosinus gegeben ist,

${\displaystyle \tan\theta\approx\sin\theta\approx\theta}$,

Fehler der Näherungen

Abbildung 3 zeigt die relativen Fehler der Kleinwinkel-Approximationen. Die Winkel, bei denen der relative Fehler 1 % überschreitet, sind wie folgt:

• cos θ ≈ 1 bei etwa 0,1408 Radiant (8,07°)
• tan θ ≈ θ bei etwa 0,1730 Radiant (9,91°)
• sin θ ≈ θ bei etwa 0,2441 Radiant (13,99°)
• cos θ ≈ 1 −θ ²/2 bei etwa 0,6620 Radiant (37,93°)

Winkelsumme und -differenz

Die Winkeladditions- und -subtraktionssätze reduzieren sich auf folgendes, wenn einer der Winkel klein ist ( β ≈ 0):

cos( α + β )	≈ cos( α ) − β sin( α ),
cos( α − β )	≈ cos( α ) + β sin( α ),
sin( α + β )	≈ sin ( α ) + β cos ( α ),
sin( α − β )	≈ sin( α ) − β cos( α ).

Spezifische Anwendungen

Astronomie

In der Astronomie beträgt die Winkelgröße oder der Winkel, den das Bild eines entfernten Objekts einnimmt , oft nur wenige Bogensekunden , so dass er für die Kleinwinkelnäherung gut geeignet ist. Die lineare Größe ( D ) hängt mit der Winkelgröße ( X ) und dem Abstand vom Beobachter ( d ) durch die einfache Formel zusammen:

${\displaystyle D=X{\frac {d}{206\,265}}}$

wobei X in Bogensekunden gemessen wird.

Die Nummer 206 265 entspricht ungefähr der Anzahl der Bogensekunden in einem Kreis (1 296 000 ), geteilt durch 2π .

Die genaue Formel lautet

${\displaystyle D=d\tan\left(X{\frac {2\pi }{1\,296\,000}}\right)}$

und die obige Näherung folgt, wenn tan X durch X ersetzt wird .

Bewegung eines Pendels

Die Kosinus-Approximation zweiter Ordnung ist besonders nützlich bei der Berechnung der potentiellen Energie eines Pendels , die dann mit einem Lagrange-Operator angewendet werden kann , um die indirekte (Energie-) Bewegungsgleichung zu finden.

Bei der Berechnung der Periode eines einfachen Pendels wird die Kleinwinkel-Approximation für Sinus verwendet, um eine einfache Lösung der resultierenden Differentialgleichung durch Vergleich mit der Differentialgleichung zu ermöglichen, die eine einfache harmonische Bewegung beschreibt .

Optik

In der Optik bilden die Kleinwinkel-Approximationen die Basis der paraxialen Approximation .

Welleninterferenz

Die Sinus- und Tangens-Kleinwinkel-Approximationen werden in Bezug auf das Doppelspalt-Experiment oder ein Beugungsgitter verwendet , um Gleichungen zu vereinfachen, zB 'Streifenabstand' = 'Wellenlänge' × 'Abstand von Schlitzen zu Schirm' ÷ 'Spaltabstand'.

Strukturmechanik

Die Näherung für kleine Winkel erscheint auch in der Strukturmechanik, insbesondere in Stabilität und Bifurkation Analysen (hauptsächlich axial belastete Spalten zu unterziehen ready Knick ). Dies führt zu erheblichen Vereinfachungen, allerdings auf Kosten der Genauigkeit und des Einblicks in das wahre Verhalten.

Pilotierung

Die in der Flugnavigation verwendete 1 zu 60-Regel basiert auf der Kleinwinkel-Approximation und der Tatsache, dass ein Bogenmaß etwa 60 Grad beträgt.

Interpolation

Zur Interpolation zwischen trigonometrischen Tabellenwerten können die Formeln für Addition und Subtraktion mit kleinem Winkel verwendet werden :

Beispiel: sin(0.755)

Sünde(0.755)	= sin(0,75 + 0,005)
	≈ sin(0.75) + (0.005) cos(0.75)
	≈ (0,6816) + (0,005) (0,7317)	[Erhaltene sin(0,75)- und cos(0,75)-Werte aus der trigonometrischen Tabelle]
	0,6853.

Siehe auch

• Dünnes Dreieck
• Unendliche Schwingungen eines Pendels
• Versine und Haversine
• Exsecant und Excosecant

Verweise