Spektralradius - Spectral radius

In der Mathematik , die Spektralradius einer quadratischen Matrix oder einen beschränkten linearen Operators ist der größte absolute Wert der Eigenwerte (dh supremum unter den absoluten Werten der Elemente in seinem Spektrum ). Es wird manchmal mit ρ(·) bezeichnet.

Matrizen

Seien λ ₁ , ..., λ _n die ( reellen oder komplexen ) Eigenwerte einer Matrix A ∈ C ^{n × n} . Dann ist sein Spektralradius ρ ( A ) definiert als:

${\displaystyle \rho(A)=\max\left\{|\lambda_{1}|,\dotsc,|\lambda_{n}|\right\}.}$

Der Spektralradius ist eine Art Infimum aller Normen einer Matrix. Ja, einerseits für jede natürliche Matrixnorm ; und andererseits besagt die Formel von Gelfand, dass . Beide Ergebnisse sind unten gezeigt. ${\displaystyle \rho(A)\leqslant \|A\|}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle \rho(A)=\lim_{k\to\infty}\|A^{k}\|^{1/k}}$

Der Spektralradius genügt jedoch nicht unbedingt für beliebige Vektoren . Um zu sehen warum, seien Sie willkürlich und betrachten Sie die Matrix ${\displaystyle \|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho(A)\|\mathbf {v} \|}$${\displaystyle\mathbf{v}\in\mathbb{C}^{n}}$${\displaystyle r>1}$

${\displaystyle C_{r}={\begin{pmatrix}0&r^{-1}\\r&0\end{pmatrix}}}$.

Das charakteristische Polynom von is , also seine Eigenwerte sind und somit . Allerdings . Als Ergebnis für jede Norm, ${\displaystyle C_{r}}$${\displaystyle \lambda^{2}-1}$${\displaystyle \{-1,1\}}$${\displaystyle \rho (C_{r})=1}$${\displaystyle C_{r}\mathbf {e} _{1}=r\mathbf {e} _{2}}$${\displaystyle \ell^{p}}$

${\displaystyle \|C_{r}\mathbf {e} _{1}\|=r>1=\rho (C_{r})\|\mathbf {e} _{1}\|.}$

Beachten Sie zur Veranschaulichung der Gelfand-Formel, dass as , da if gerade und if ungerade ist. ${\displaystyle \|C_{r}^{k}\|^{1/k}\to 1}$${\displaystyle k\to\infty}$${\displaystyle C_{r}^{k}=I}$${\displaystyle k}$${\displaystyle C_{r}^{k}=C_{r}}$${\displaystyle k}$

Ein Sonderfall, in dem für alle ist, wann ist eine hermitesche Matrix und ist die euklidische Norm . Dies liegt daran, dass jede Hermitesche Matrix durch eine unitäre Matrix diagonalisierbar ist und unitäre Matrizen die Vektorlänge beibehalten: ${\displaystyle \|A\mathbf {v} \|\leqslant \rho(A)\|\mathbf {v} \|}$${\displaystyle\mathbf{v}\in\mathbb{C}^{n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \|\cdot \|}$

${\displaystyle \|A\mathbf {v} \|=\|U^{*}DU\mathbf {v} \|=\|DU\mathbf {v} \|\leqslant \rho(A)\|U \mathbf{v}\|=\rho(A)\|\mathbf{v}\|.}$

Begrenzte lineare Operatoren

Für einen begrenzten linearen Operator A auf einem Banachraumes , sind die Eigenwerte mit dem ausgetauschten Spektrum des Operators , diese Werte für die injektiv sein ausfallen; wir bezeichnen das Spektrum mit ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle A-\lambda I}$

${\displaystyle \sigma(A)=\left\{\lambda\in\mathbb{C} :\ker(A-\lambda I)\neq\emptyset\right\}}$

Der Spektralradius wird dann als Supremum der Größen von Elementen im Spektrum definiert:

${\displaystyle \rho(A)=\sup_{\lambda\in\sigma(A)}|\lambda |}$

Bezeichnen wir die Operatornorm mit , so haben wir die Spektralradiusformel oder die Gelfand-Formel: ${\displaystyle \|\cdot \|}$

${\displaystyle \rho(A)=\lim_{k\to\infty}\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}$

Ein beschränkter Operator (auf einem komplexen Hilbertraum) heißt Spektraloidoperator, wenn sein Spektralradius mit seinem numerischen Radius übereinstimmt . Ein Beispiel für einen solchen Operator ist ein normaler Operator .

Grafiken

Der Spektralradius eines endlichen Graphen ist definiert als der Spektralradius seiner Adjazenzmatrix .

Diese Definition erstreckt sich auf den Fall unendlicher Graphen mit beschränkten Eckengraden (dh es existiert eine reelle Zahl C, so dass der Grad jeder Ecke des Graphen kleiner als C ist ). In diesem Fall definieren Sie für den Graphen G :

${\displaystyle \ell^{2}(G)=\left\{f:V(G)\to \mathbf{R}\ :\\sum\nolimits_{v\in V(G)}\left\ |f(v)^{2}\right\|<\infty\right\}.}$

Sei γ der Adjazenzoperator von G :

${\displaystyle {\begin{Fälle}\gamma :\ell^{2}(G)\to \ell^{2}(G)\\(\gamma f)(v)=\sum _{(u, v)\in E(G)}f(u)\end{Fälle}}}$

Der spektrale Radius von G ist definiert als der spektrale Radius des beschränkten linearen Operators sein γ .

Obere Grenze

Obere Schranken für den Spektralradius einer Matrix

Der folgende Satz zeigt eine einfache, aber nützliche obere Schranke für den Spektralradius einer Matrix:

Vorschlag. Sei A ∈ C ^{n × n} mit Spektralradius ρ ( A ) und einer konsistenten Matrixnorm ||⋅|| . Dann gilt für jede ganze Zahl : ${\displaystyle k\geqslant 1}$

${\displaystyle \rho(A)\leq\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}$

Nachweisen

Sei ( v , λ ) ein Eigenvektor - Eigenwert - Paar für eine Matrix A . Durch die submultiplikative Eigenschaft der Matrixnorm erhalten wir:

${\displaystyle |\lambda |^{k}\|\mathbf {v} \|=\|\lambda^{k}\mathbf {v} \|=\|A^{k}\mathbf {v} \ |\leq\|A^{k}\|\cdot \|\mathbf{v}\|}$

und da v ≠ 0 gilt

${\displaystyle |\lambda |^{k}\leq\|A^{k}\|}$

und deshalb

${\displaystyle \rho(A)\leq\|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}.}$

Obere Grenzen für den Spektralradius eines Graphen

Es gibt viele obere Schranken für den Spektralradius eines Graphen hinsichtlich seiner Anzahl n von Ecken und seiner Anzahl m von Kanten. Zum Beispiel, wenn

${\displaystyle {\frac {(k-2)(k-3)}{2}}\leq mn\leq {\frac {k(k-3)}{2}}}$

wo ist eine ganze Zahl, dann ${\displaystyle 3\leq k\leq n}$

${\displaystyle \rho(G)\leq {\sqrt {2m-n-k+{\frac {5}{2}}+{\sqrt {2m-2n+{\frac {9}{4}}}}} }}$

Leistungsfolge

Satz

Der Spektralradius steht in engem Zusammenhang mit dem Konvergenzverhalten der Potenzfolge einer Matrix; es gilt nämlich folgender Satz:

Satz. Sei A ∈ C ^{n × n} mit Spektralradius ρ ( A ) . Dann ist ρ ( A ) < 1 genau dann, wenn

${\displaystyle \lim_{k\to\infty}A^{k}=0.}$

Andererseits, wenn ρ ( A ) > 1 , . Die Aussage gilt für jede beliebige Matrixnorm auf C ^{n × n} .${\displaystyle \lim_{k\to\infty}\|A^{k}\|=\infty}$

Beweis des Satzes

Angenommen, der fragliche Grenzwert ist null, wir zeigen, dass ρ ( A ) < 1 ist . Sei ( v , λ ) ein Eigenvektor - Eigenwert - Paar für A . Da A ^k v = λ ^k v wir haben:

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left(\lim_{k\to \infty}A^{k}\right)\mathbf {v} \\&=\lim_{k\to \infty }\left(A^{k}\mathbf {v} \right)\\&=\lim_{k\to \infty}\lambda^{k}\mathbf {v} \\&=\mathbf {v } \lim_{k\to\infty}\lambda^{k}\end{ausgerichtet}}}$

und da nach Hypothese v ≠ 0 gilt

${\displaystyle \lim_{k\to\infty}\lambda^{k}=0}$

was impliziert |λ| < 1. Da dies für jeden Eigenwert λ gelten muss, können wir auf ρ( A ) < 1 schließen.

Nehmen wir nun an, dass der Radius von A kleiner als 1 ist . Aus dem Jordan Normalform Satz, wissen wir , dass für alle A ∈ C ^{n × n} existieren V , J ∈ C ^{n × n} mit V nicht singulär und J Block diagonal , so dass:

${\displaystyle A=VJV^{-1}}$

mit

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}(\lambda_{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}(\lambda_{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}(\lambda_{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}(\lambda_{s})\end{bmatrix}}}$

wo

${\displaystyle J_{m_{i}}(\lambda_{i})={\begin{bmatrix}\lambda_{i}&1&0&\cdots &0\\0&\lambda_{i}&1&\cdots &0\\ \vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda_{i}&1\\0&0&\cdots &0&\lambda_{i}\end{bmatrix}}\in \mathbf { C} ^{m_{i}\times m_{i}},1\leq i\leq s.}$

Das sieht man leicht

${\displaystyle A^{k}=VJ^{k}V^{-1}}$

und da J blockdiagonal ist,

${\displaystyle J^{k}={\begin{bmatrix}J_{m_{1}}^{k}(\lambda_{1})&0&0&\cdots &0\\0&J_{m_{2}}^{k }(\lambda _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\ddots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&J_{m_{s-1}}^{k}(\lambda _{s-1})&0\\0&\cdots &\cdots &0&J_{m_{s}}^{k}(\lambda_{s})\end{bmatrix}}}$

Nun, ein Standardergebnis der k- Potenz eines Jordan-Blocks besagt, dass für : ${\displaystyle m_{i}\times m_{i}}$${\displaystyle k\geq m_{i}-1}$

${\displaystyle J_{m_{i}}^{k}(\lambda_{i})={\begin{bmatrix}\lambda_{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda_{ i}^{k-1}&{k \choose 2}\lambda_{i}^{k-2}&\cdots &{k \choose m_{i}-1}\lambda_{i}^{ k-m_{i}+1}\\0&\lambda_{i}^{k}&{k \choose 1}\lambda_{i}^{k-1}&\cdots &{k \choose m_ {i}-2}\lambda _{i}^{k-m_{i}+2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda_{i }^{k}&{k \choose 1}\lambda_{i}^{k-1}\\0&0&\cdots &0&\lambda_{i}^{k}\end{bmatrix}}}$

Wenn also für alle i . Daher haben wir für alles, was ich habe: ${\displaystyle \rho (A)<1}$ ${\displaystyle |\lambda_{i}|<1}$

${\displaystyle \lim_{k\to\infty}J_{m_{i}}^{k}=0}$

was impliziert

${\displaystyle \lim_{k\to\infty}J^{k}=0.}$

Deswegen,

${\displaystyle \lim_{k\to\infty}A^{k}=\lim_{k\to\infty}VJ^{k}V^{-1}=V\left(\lim_{k \to \infty}J^{k}\right)V^{-1}=0}$

Auf der anderen Seite, wenn , gibt es mindestens ein Element in J, das mit zunehmendem k nicht beschränkt bleibt, was den zweiten Teil der Aussage beweist. ${\displaystyle \rho (A)>1}$

Gelfands Formel

Satz

Der nächste Satz gibt den Spektralradius als Grenzwert der Matrixnormen an.

Satz (Gelfandsche Formel; 1941). Für jede Matrixnorm ||⋅|| gilt

${\displaystyle \rho(A)=\lim_{k\to\infty}\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}.}$.

Nachweisen

Für jedes ε > 0 konstruieren wir zunächst die folgenden beiden Matrizen:

${\displaystyle A_{\pm}={\frac{1}{\rho(A)\pm\varepsilon}}A.}$

Dann:

${\displaystyle \rho\left(A_{\pm}\right)={\frac {\rho(A)}{\rho(A)\pm\varepsilon}},\qquad\rho(A_{+}) <1<\rho (A_{-}).}$

Zuerst wenden wir den vorherigen Satz auf A _{+ an} :

${\displaystyle \lim_{k\to\infty}A_{+}^{k}=0.}$

Das heißt, nach der Definition der Folgengrenzen gibt es N ₊ ∈ N mit für alle k N ₊ ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A_{+}^{k}\right\|<1\end{aligned}}}$

so

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}<\rho (A)+\varepsilon .\end{aligned}}}$

Die Anwendung des vorherigen Satzes auf A ₋ impliziert, dass es nicht beschränkt ist und es gibt N ₋ ∈ N mit für alle k ≥ N ₋ , ${\displaystyle \|A_{-}^{k}\|}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A_{-}^{k}\right\|>1\end{aligned}}}$

so

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}>\rho(A)-\varepsilon .\end{aligned}}}$

Sei N = max{ N ₊ , N ₋ }, dann gilt:

${\displaystyle \forall\varepsilon >0\quad\exists N\in\mathbf{N}\quad\forall k\geq N\quad\rho(A)-\varepsilon <\left\|A^{k}\ rechts\|^{\frac{1}{k}}<\rho(A)+\varepsilon}$

was per Definition ist

${\displaystyle \lim_{k\to\infty}\left\|A^{k}\right\|^{\frac {1}{k}}=\rho (A).}$

Gelfand-Korollare

Die Gelfand-Formel führt direkt zu einer Schranke für den Spektralradius eines Produkts endlich vieler Matrizen, nämlich unter der Annahme, dass sie alle kommutieren, erhalten wir

${\displaystyle \rho (A_{1}\cdots A_{n})\leq \rho (A_{1})\cdots \rho (A_{n}).}$

Falls die Norm konsistent ist , zeigt der Beweis mehr als die These; Tatsächlich können wir mit dem vorherigen Lemma in der Grenzwertdefinition die linke untere Schranke durch den Spektralradius selbst ersetzen und genauer schreiben:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists N\in\mathbf{N},\forall k\geq N\quad\rho(A)\leq\|A^{k}\|^{\frac { 1}{k}}<\rho(A)+\varepsilon}$

was per Definition ist

${\displaystyle \lim_{k\to\infty}\left\|A^{k}\right\|^{\frac{1}{k}}=\rho(A)^{+},}$

wobei das + bedeutet, dass die Grenze von oben angefahren wird.

Beispiel

Betrachten Sie die Matrix

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}9&-1&2\\-2&8&4\\1&1&8\end{bmatrix}}}$

deren Eigenwerte 5, 10, 10 sind ; definitions ρ ( A ) = 10 . In der folgenden Tabelle sind die Werte von für die vier am häufigsten verwendeten Normen gegenüber mehreren steigenden Werten von k aufgeführt (beachten Sie, dass aufgrund der besonderen Form dieser Matrix, ): ${\displaystyle \|A^{k}\|^{\frac {1}{k}}}$${\displaystyle \|.\|_{1}=\|.\|_{\infty}}$

k	${\displaystyle \|.\|_{1}=\|.\|_{\infty}}$	${\displaystyle \|.\|_{F}}$	${\displaystyle \|.\|_{2}}$
1	14	15.362291496	10.681145748
2	12.649110641	12.328294348	10.595665162
3	11.934831919	11.532450664	10.500980846
4	11.501633169	11.151002986	10.418165779
5	11.216043151	10.921242235	10.351918183
${\displaystyle\vdots}$	${\displaystyle\vdots}$	${\displaystyle\vdots}$	${\displaystyle\vdots}$
10	10.604944422	10.455910430	10.183690042
11	10.548677680	10.413702213	10.166990229
12	10.501921835	10.378620930	10.153031596
${\displaystyle\vdots}$	${\displaystyle\vdots}$	${\displaystyle\vdots}$	${\displaystyle\vdots}$
20	10.298254399	10.225504447	10.091577411
30	10.197860892	10.149776921	10.060958900
40	10.148031640	10.112123681	10.045684426
50	10.118251035	10.089598820	10.036530875
${\displaystyle\vdots}$	${\displaystyle\vdots}$	${\displaystyle\vdots}$	${\displaystyle\vdots}$
100	10.058951752	10.044699508	10.018248786
200	10.029432562	10.022324834	10.009120234
300	10.019612095	10.014877690	10.006079232
400	10.014705469	10.011156194	10.004559078
${\displaystyle\vdots}$	${\displaystyle\vdots}$	${\displaystyle\vdots}$	${\displaystyle\vdots}$
1000	10.005879594	10.004460985	10.001823382
2000	10.002939365	10.002230244	10.000911649
3000	10.001959481	10.001486774	10.000607757
${\displaystyle\vdots}$	${\displaystyle\vdots}$	${\displaystyle\vdots}$	${\displaystyle\vdots}$
10000	10.000587804	10.000446009	10.000182323
20000	10.000293898	10.000223002	10.000091161
30000	10.000195931	10.000148667	10.000060774
${\displaystyle\vdots}$	${\displaystyle\vdots}$	${\displaystyle\vdots}$	${\displaystyle\vdots}$
100000	10.000058779	10.000044600	10.000018232

Hinweise und Referenzen

Literaturverzeichnis

• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob (1963), Lineare Operatoren II. Spektraltheorie: Selbstadjungierte Operatoren im Hilbert-Raum , Interscience Publishers, Inc.
• Lax, Peter D. (2002), Funktionsanalyse , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-55604-1

Siehe auch

• Spektrallücke
• Der gemeinsame Spektralradius ist eine Verallgemeinerung des Spektralradius auf Matrizensätze.
• Spektrum einer Matrix
• Spektrale Abszisse