Unterverteiler - Submanifold

Versenkte Verteilergerade mit Selbstkreuzungen

In der Mathematik ist eine Untermannigfaltigkeit einer Mannigfaltigkeit M eine Teilmenge S, die selbst die Struktur einer Mannigfaltigkeit hat und für die die Inklusionsabbildung S → M bestimmte Eigenschaften erfüllt. Es gibt verschiedene Arten von Untermannigfaltigkeiten, abhängig davon, welche Eigenschaften genau benötigt werden. Verschiedene Autoren haben oft unterschiedliche Definitionen.

Formale Definition

Im Folgenden nehmen wir an, dass alle Mannigfaltigkeiten differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Klasse C ^r für ein festes r ≥ 1 sind und alle Morphismen der Klasse C ^r differenzierbar sind .

Eingetauchte Unterverteiler

Dieses Bild des offenen Intervalls (mit Grenzpunkten, die mit den pfeilmarkierten Enden gekennzeichnet sind) ist eine eingetauchte Untermannigfaltigkeit.

Eine eingetaucht Mannigfaltigkeit eines Verteilers M ist das Bild S einem Eintauchen Karte f  : N → M ; Im Allgemeinen wird dieses Bild keine Untermannigfaltigkeit als Teilmenge sein, und eine Immersionskarte muss nicht einmal injektiv (eins zu eins) sein – sie kann sich selbst schneiden.

Genauer gesagt kann man verlangen, dass die Abbildung f  : N → M eine Injektion (eins zu eins) ist, in der wir sie eine injektive Immersion nennen , und eine eingetauchte Untermannigfaltigkeit als Bildteilmenge S zusammen mit einer Topologie definieren und Differentialstruktur, so dass S eine Mannigfaltigkeit und die Inklusion f ein Diffeomorphismus ist : Dies ist nur die Topologie auf N, die im Allgemeinen nicht mit der Teilmengentopologie übereinstimmt: im Allgemeinen ist die Teilmenge S keine Untermannigfaltigkeit von M, in der Teilmenge Topologie.

Bei jeder injektiven Immersion f  : N → M kann dem Bild von N in M eindeutig die Struktur einer immersierten Untermannigfaltigkeit gegeben werden, so dass f  : N → f ( N ) ein Diffeomorphismus ist . Daraus folgt, dass eingetauchte Untermannigfaltigkeiten genau die Bilder injektiver Immersionen sind.

Die Untermannigfaltigkeitstopologie auf einer eingetauchten Untermannigfaltigkeit muss nicht die von M geerbte relative Topologie sein . Im Allgemeinen wird es feiner als die Unterraumtopologie sein (dh mehr offene Mengen haben ).

Eingetauchte Untermannigfaltigkeiten treten in der Theorie der Lie-Gruppen auf, wobei Lie-Untergruppen natürlich eingetauchte Untermannigfaltigkeiten sind. Sie erscheinen auch in der Untersuchung von Foliationen, wo eingetauchte Untermannigfaltigkeiten den richtigen Kontext zum Beweis des Frobenius-Theorems bieten .

Eingebettete Unterverteiler

Eine eingebettete Untermannigfaltigkeit (auch als reguläre Untermannigfaltigkeit bezeichnet ) ist eine eingetauchte Untermannigfaltigkeit, für die die Inklusionskarte eine topologische Einbettung ist . Das heißt, die Untermannigfaltigkeitstopologie auf S ist dieselbe wie die Unterraumtopologie.

Bei einer beliebigen Einbettung f  : N → M einer Mannigfaltigkeit N in M hat das Bild f ( N ) naturgemäß die Struktur einer eingebetteten Untermannigfaltigkeit. Das heißt, eingebettete Untermannigfaltigkeiten sind genau die Bilder von Einbettungen.

Es gibt eine intrinsische Definition einer eingebetteten Untermannigfaltigkeit, die oft nützlich ist. Sei M eine n- dimensionale Mannigfaltigkeit und sei k eine ganze Zahl mit 0 k ≤ n . A k -dimensionalen eingebettet Mannigfaltigkeit von M eine Teilmenge S ⊂ M derart , daß für jeden Punkt p ∈ S a existiert Diagramm ( U ⊂ M , φ  : U → R ⁿ ) enthält , p derart , daß φ ( S ∩ U ) ist die Schnittpunkt einer k- dimensionalen Ebene mit φ ( U ). Die Paare ( S ∩ U , & phiv; | _{S ∩ U} ) eine bilden Atlas für die Differentialstruktur auf S .

Alexander-Theorem und das Jordan-Schoen Satz sind gute Beispiele für glatte Einbettungen.

Andere Variationen

Es gibt einige andere Variationen von Untermannigfaltigkeiten, die in der Literatur verwendet werden. Eine saubere Untermannigfaltigkeit ist eine Mannigfaltigkeit, deren Rand mit dem Rand der gesamten Mannigfaltigkeit übereinstimmt. Sharpe (1997) definiert eine Art von Untermannigfaltigkeit, die irgendwo zwischen einer eingebetteten Untermannigfaltigkeit und einer eingetauchten Untermannigfaltigkeit liegt.

Viele Autoren definieren auch topologische Untermannigfaltigkeiten. Diese sind dieselben wie C ^r -Untermannigfaltigkeiten mit r = 0 . Eine eingebettete topologische Untermannigfaltigkeit ist nicht notwendigerweise regelmäßig im Sinne der Existenz einer lokalen Karte an jedem Punkt, der die Einbettung verlängert. Gegenbeispiele sind wilde Bögen und wilde Knoten .

Eigenschaften

Gegeben jede eingetauchte Untermannigfaltigkeit S von M kann man sich den Tangentialraum an einen Punkt p in S natürlich als einen linearen Unterraum des Tangentialraums an p in M vorstellen . Dies folgt aus der Tatsache, dass die Inklusionskarte eine Immersion ist und eine Injektion bietet

${\displaystyle i_{\ast}:T_{p}S\to T_{p}M.}$

Angenommen, S ist eine eingetauchte Untermannigfaltigkeit von M . Wenn die Inklusion i  : S → M ist geschlossen dann S ist eigentlich eine eingebettete Untermannigfaltigkeit von M . Umgekehrt, wenn S eine eingebettete Untermannigfaltigkeit ist, die auch eine abgeschlossene Untermenge ist, dann ist die Inklusionsabbildung abgeschlossen. Die Inklusionsabbildung i  : S → M ist genau dann abgeschlossen, wenn sie eine echte Abbildung ist (dh Umkehrbilder kompakter Mengen sind kompakt). Wenn i abgeschlossen ist, heißt S eine abgeschlossene eingebettete Untermannigfaltigkeit von M . Geschlossene eingebettete Untermannigfaltigkeiten bilden die schönste Klasse von Untermannigfaltigkeiten.

Untermannigfaltigkeiten des reellen Koordinatenraums

Glatte Verteiler sind manchmal definiert als eingebettete Untermannigfaltigkeiten von Echt Raumkoordinate R ⁿ , für einige n . Diese Sichtweise ist äquivalent zum üblichen, abstrakten Ansatz, denn nach dem Whitney-Einbettungstheorem kann jede zweitzählbare glatte (abstrakte) m- Mannigfaltigkeit glatt in R ^{2 m} eingebettet werden .

Anmerkungen

Verweise

• Choquet-Bruhat, Yvonne (1968). Géométrie différentielle et systeme extérieurs . Paris: Dunod.
• Kosinski, Antoni Albert (2007) [1993]. Differentialverteiler . Mineola, New York: Dover-Veröffentlichungen. ISBN 978-0-486-46244-8.
• Lang, Serge (1999). Grundlagen der Differentialgeometrie . Abschlusstexte der Mathematik . New York: Springer. ISBN 978-0-387-98593-0.
• Lee, John (2003). Einführung in glatte Verteiler . Abschlusstexte der Mathematik 218 . New York: Springer. ISBN 0-387-95495-3.
• Sharpe, RW (1997). Differentialgeometrie: Cartans Verallgemeinerung von Kleins Erlangen Programm . New York: Springer. ISBN 0-387-94732-9.
• Warner, Frank W. (1983). Grundlagen differenzierbarer Mannigfaltigkeiten und Lügengruppen . New York: Springer. ISBN 0-387-90894-3.