Tangentiales Polygon - Tangential polygon

In der euklidischen Geometrie , ein Tangentenvieleck , auch als bekannt umschriebenen Vielecks , ist ein konvexes Polygon , das einen enthält Gravierter Kreis (auch genannt Inkreis ). Dies ist ein Kreis, der ist Tangente an jeden der Polygon-Seiten. Das duale Polygon eines Tangentialpolygons ist ein zyklisches Polygon , das einen umschriebenen Kreis hat , der durch jeden seiner Scheitelpunkte verläuft .

Alle Dreiecke sind tangential, ebenso alle regelmäßigen Vielecke mit beliebig vielen Seiten. Eine gut untersuchte Gruppe von tangentialen Polygonen sind die tangentialen Vierecke , zu denen die Rauten und Drachen gehören .

Charakterisierungen

Ein konvexes Polygon hat einen Inkreis , wenn und nur wenn alle internen Winkelhalbierenden sind gleichzeitig . Dieser gemeinsame Punkt ist das Incenter (das Zentrum des Inkreises).

Ein Tangentialpolygon mit n aufeinanderfolgenden Seiten a ₁ , ..., a _{n existiert} genau dann, wenn das Gleichungssystem

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=a_{1},\quad x_{2}+x_{3}=a_{2},\quad\ldots ,\quad x_{n}+x_{1 }=a_{n}}$

hat eine Lösung ( x ₁ , ..., x _n ) in positiven reellen Zahlen . Wenn eine solche Lösung vorliegt, dann x ₁ , ..., x _n sind die Tangentenlängen des Polygons (die Längen von den Scheitelpunkten zu den Punkten , wo die Inkreises ist tangential an den Seiten).

Einzigartigkeit und Nichteinzigartigkeit

Wenn die Anzahl der Seiten n ungerade ist, dann gibt es für jede gegebene Menge von Seitenlängen , die das obige Existenzkriterium erfüllen, nur ein tangentiales Polygon. Aber wenn n gerade ist, gibt es unendlich viele davon. Im vierseitigen Fall, in dem alle Seiten gleich sind, können wir beispielsweise eine Raute mit einem beliebigen Wert der spitzen Winkel haben, und alle Rauten sind tangential zu einem Inkreis. ${\displaystyle a_{1},\dots,a_{n}}$

Umkreis

Wenn die n Seiten eines Tangentialpolygons a ₁ , ..., a _{n sind} , ist der Innenradius ( Radius des Innenkreises)

${\displaystyle r={\frac {K}{s}}={\frac {2K}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}}$

wobei K die Fläche des Polygons und s der Halbumfang ist . (Da alle Dreiecke tangential sind, gilt diese Formel für alle Dreiecke.)

Andere Eigenschaften

• Bei einem Tangentialpolygon mit einer ungeraden Seitenzahl sind alle Seiten genau dann gleich, wenn alle Winkel gleich sind (das Polygon ist also regelmäßig). Bei einem Tangentialpolygon mit einer geraden Seitenzahl sind alle Seiten genau dann gleich, wenn die alternativen Winkel gleich sind (d. h. die Winkel A , C , E , ... sind gleich und die Winkel B , D , F , ... sind gleich).
• Bei einem Tangentialpolygon mit gerader Seitenzahl ist die Summe der Seitenlängen der ungeraden Seiten gleich der Summe der Seitenlängen der geraden Seiten.
• Ein tangentiales Polygon hat eine größere Fläche als jedes andere Polygon mit demselben Umfang und denselben Innenwinkeln in derselben Reihenfolge.
• Der Schwerpunkt eines tangentialen Polygons, der Schwerpunkt seiner Grenzpunkte und der Mittelpunkt des einbeschriebenen Kreises sind kollinear , wobei der Schwerpunkt des Polygons zwischen den anderen liegt und doppelt so weit vom Mittelpunkt wie vom Grenzschwerpunkt entfernt ist.

Tangentiales Dreieck

Während alle Dreiecke tangential zu einem Kreis sind, wird ein Dreieck als Tangentialdreieck eines Bezugsdreiecks bezeichnet, wenn die Tangenten des tangentialen Dreiecks an den Kreis auch die Eckpunkte des Bezugsdreiecks sind.

Tangentiales Viereck

Tangentiales Sechseck

• In einem tangentialen Sechseck ABCDEF , das Haupt Diagonalen AD , BE und CF sind gleichzeitig nach Brianchon Theorem .

Siehe auch

• Circumgon

Verweise