Satz über formale Funktionen - Theorem on formal functions

In der algebraischen Geometrie , der Satz über die formalen Funktionen besagt Folgendes:

Lassen Sie sein , die richtige morphism von noethersche Systemen mit einer kohärenten Garbe auf X . Sei ein geschlossenes Teilschema von S, definiert durch und formale Vervollständigungen in Bezug auf und . Dann für jede die kanonische (kontinuierliche) Karte: ${\ displaystyle f: X \ to S}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle S_ {0}}$${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$${\ displaystyle {\ widehat {X}}, {\ widehat {S}}}$ ${\ displaystyle X_ {0} = f ^ {- 1} (S_ {0})}$${\ displaystyle S_ {0}}$${\ displaystyle p \ geq 0}$

${\ displaystyle (R ^ {p} f _ {*} {\ mathcal {F}}) ^ {\ wedge} \ to \ varprojlim _ {k} R ^ {p} f _ {*} {\ mathcal {F}} _ {k}}$

ist ein Isomorphismus von (topologischen) Modulen, wobei ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ widehat {S}}}$

• Der linke Begriff ist .${\ displaystyle \ varprojlim R ^ {p} f _ {*} {\ mathcal {F}} \ otimes _ {{\ mathcal {O}} _ {S}} {\ mathcal {O}} _ {S} / { {\ mathcal {I}} ^ {k + 1}}}$
• ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {k} = {\ mathcal {F}} \ otimes _ {{\ mathcal {O}} _ {S}} ({\ mathcal {O}} _ {S} / {\ mathcal {I}} ^ {k + 1})}$
• Die kanonische Karte wird durch Passage zur Begrenzung erhalten.

Der Satz wird verwendet, um einige andere wichtige Sätze abzuleiten: Stein-Faktorisierung und eine Version von Zariskis Hauptsatz , der besagt, dass ein richtiger birationaler Morphismus in eine normale Sorte ein Isomorphismus ist. Einige andere Folgerungen (mit den obigen Notationen) sind:

Folgerung : Für jeden , topologisch, ${\ displaystyle s \ in S}$

${\ displaystyle ((R ^ {p} f _ {*} {\ mathcal {F}}) _ {s}) ^ {\ wedge} \ simeq \ varprojlim H ^ {p} (f ^ {- 1} (s) ), {\ mathcal {F}} \ otimes _ {{\ mathcal {O}} _ {S}} ({\ mathcal {O}} _ {s} / {\ mathfrak {m}} _ {s} ^ {k}))}$

wo die Vervollständigung auf der linken Seite in Bezug auf ist . ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {s}}$

Folgerung : Sei r so, dass für alle . Dann ${\ displaystyle \ operatorname {dim} f ^ {- 1} (s) \ leq r}$${\ displaystyle s \ in S}$

${\ displaystyle R ^ {i} f _ {*} {\ mathcal {F}} = 0, \ quad i> r.}$

Corollay : Für jeden gibt es eine offene Nachbarschaft U von s, so dass ${\ displaystyle s \ in S}$

${\ displaystyle R ^ {i} f _ {*} {\ mathcal {F}} | _ {U} = 0, \ quad i> \ operatorname {dim} f ^ {- 1} (s).}$

Folgerung : Wenn , dann ist für alle verbunden . ${\ displaystyle f _ {*} {\ mathcal {O}} _ {X} = {\ mathcal {O}} _ {S}}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (s)}$${\ displaystyle s \ in S}$

Der Satz führt auch zum Grothendieck-Existenzsatz , der eine Äquivalenz zwischen der Kategorie der kohärenten Garben in einem Schema und der Kategorie der kohärenten Garben nach ihrer formalen Vervollständigung ergibt (insbesondere ergibt sich eine Algebralisierbarkeit).

Schließlich ist es möglich, die Hypothese im Satz zu schwächen; vgl. Illusie. Nach Illusie (S. 204) ist der in EGA III gegebene Beweis Serre zu verdanken. Der ursprüngliche Beweis (aufgrund von Grothendieck) wurde nie veröffentlicht.

Der Aufbau der kanonischen Karte

Lassen Sie die Einstellung wie in der Lede sein. Im Beweis verwendet man die folgende alternative Definition der kanonischen Karte.

Sei die kanonischen Karten. Dann haben wir die Basis ändern Karte von -Module ${\ displaystyle i ': {\ widehat {X}} \ to X, i: {\ widehat {S}} \ to S}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ widehat {S}}}$

${\ displaystyle i ^ {*} R ^ {q} f _ {*} {\ mathcal {F}} \ bis R ^ {p} {\ widehat {f}} _ {*} (i '^ {*} { \ mathcal {F}})}$.

wo wird induziert durch . Da kohärent ist, können wir identifizieren , mit . Da es auch kohärent ist (wie f richtig ist), lautet das Obige bei gleicher Identifizierung: ${\ displaystyle {\ widehat {f}}: {\ widehat {X}} \ to {\ widehat {S}}}$${\ displaystyle f: X \ to S}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle i '^ {*} {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle {\ widehat {\ mathcal {F}}}}$${\ displaystyle R ^ {q} f _ {*} {\ mathcal {F}}}$

${\ displaystyle (R ^ {q} f _ {*} {\ mathcal {F}}) ^ {\ wedge} \ to R ^ {p} {\ widehat {f}} _ {*} {\ widehat {\ mathcal {F}}}}$.

Mit where und erhält man auch (nach dem Passieren zum Limit): ${\ displaystyle f: X_ {n} \ bis S_ {n}}$${\ displaystyle X_ {n} = (X_ {0}, {\ mathcal {O}} _ {X} / {\ mathcal {J}} ^ {n + 1})}$${\ displaystyle S_ {n} = (S_ {0}, {\ mathcal {O}} _ {S} / {\ mathcal {I}} ^ {n + 1})}$

${\ displaystyle R ^ {q} {\ widehat {f}} _ {*} {\ widehat {\ mathcal {F}}} \ to \ varprojlim R ^ {p} f _ {*} {\ mathcal {F}} _ {n}}$

wo sind wie vorher. Man kann überprüfen, ob die Zusammensetzung der beiden Karten dieselbe Karte in der Lede ist. (vgl. EGA III-1, Abschnitt 4) ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}$

Anmerkungen

Verweise

• Luc Illusie , Themen der algebraischen Geometrie
• Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1961). "Eléments de géométrie algébrique: III. Etüde kohomologique des faisceaux kohérents, Première partie" . Veröffentlichungen Mathématiques de l'IHÉS . 11 . doi : 10.1007 / bf02684274 . MR  0217085 .
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraische Geometrie , Diplomtexte in Mathematik , 52 , New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157