Einheitsscheibe - Unit disk
In der Mathematik ist die offene Einheitsscheibe (oder Scheibe ) um P (wobei P ein gegebener Punkt in der Ebene ist ) die Menge von Punkten, deren Abstand von P kleiner als 1 ist:
Die geschlossene Einheitsscheibe um P ist die Menge von Punkten, deren Abstand von P kleiner oder gleich eins ist:
Einheitsscheiben sind Sonderfälle von Scheiben und Einheitskugeln ; als solche enthalten sie das Innere des Einheitskreises und im Fall der geschlossenen Einheitsscheibe den Einheitskreis selbst.
Ohne weitere Angaben wird der Begriff Einheitsscheibe für die offene Einheitsscheibe über den Ursprung in Bezug auf die euklidische Standardmetrik verwendet . Es ist das Innere eines Kreises mit dem Radius 1, der am Ursprung zentriert ist. Diese Menge kann mit der Menge aller komplexen Zahlen mit einem absoluten Wert von weniger als eins identifiziert werden . Bei Betrachtung als Teilmenge der komplexen Ebene ( C ) wird die Einheitsscheibe häufig bezeichnet .
Die offene Einheitsscheibe, die Ebene und die obere Halbebene
Die Funktion
ist ein Beispiel für eine echte analytische und bijektive Funktion von der offenen Einheitsscheibe zur Ebene; seine inverse Funktion ist auch analytisch. Als echte zweidimensionale analytische Mannigfaltigkeit betrachtet , ist die offene Einheitsscheibe daher isomorph zur gesamten Ebene. Insbesondere ist die offene Einheitsscheibe zur gesamten Ebene homöomorph .
Es gibt jedoch keine konforme bijektive Karte zwischen der offenen Einheitsscheibe und der Ebene. Als Riemann-Oberfläche betrachtet unterscheidet sich die offene Einheitsscheibe daher von der komplexen Ebene .
Es gibt konforme bijektive Karten zwischen der offenen Einheitsscheibe und der offenen oberen Halbebene . Als Riemann-Oberfläche betrachtet, ist die offene Einheitsscheibe isomorph ("biholomorph" oder "konform äquivalent") zur oberen Halbebene, und die beiden werden häufig synonym verwendet.
Viel allgemeiner besagt das Riemann-Mapping-Theorem , dass jede einfach verbundene offene Teilmenge der komplexen Ebene, die sich von der komplexen Ebene selbst unterscheidet, eine konforme und bijektive Abbildung auf die offene Einheitsscheibe zulässt.
Eine bijektive konforme Karte von der offenen Einheitsscheibe zur offenen oberen Halbebene ist die Möbius-Transformation
- Das ist die Umkehrung der Cayley-Transformation .
Geometrisch kann man sich vorstellen, dass die reale Achse gebogen und geschrumpft wird, so dass die obere Halbebene zum Inneren der Scheibe wird und die reale Achse den Umfang der Scheibe bildet, abgesehen von einem Punkt oben, dem "Punkt im Unendlichen". Eine bijektive konforme Karte von der offenen Einheitsscheibe zur offenen oberen Halbebene kann auch als Zusammensetzung von zwei stereografischen Projektionen konstruiert werden : Zuerst wird die Einheitsscheibe stereographisch nach oben auf die obere Halbkugel der Einheit projiziert, wobei der "Südpol" genommen wird "der Einheitskugel als Projektionszentrum, und dann wird diese Halbkugel seitlich auf eine vertikale Halbebene projiziert, die die Kugel berührt, wobei der Punkt auf der Halbkugel gegenüber dem Berührungspunkt als Projektionszentrum genommen wird.
Die Einheitsscheibe und die obere Halbebene sind nicht als Domänen für Hardy-Räume austauschbar . Zu diesem Unterschied trägt die Tatsache bei, dass der Einheitskreis ein endliches (eindimensionales) Lebesgue-Maß hat, während die reale Linie dies nicht tut.
Hyperbolische Ebene
Die offene Einheitsscheibe bildet die Punktmenge für das Poincaré-Scheibenmodell der hyperbolischen Ebene. Kreisbögen senkrecht zum Einheitskreis bilden in diesem Modell die "Linien". Der Einheitskreis ist das Cayley-Absolut , das eine Metrik auf der Platte durch Verwendung eines Kreuzverhältnisses im Stil der Cayley-Klein-Metrik bestimmt . In der Sprache der Differentialgeometrie sind die Kreisbögen senkrecht zum Einheitskreis Geodäten , die den kürzesten Abstand zwischen Punkten im Modell anzeigen. Das Modell enthält Bewegungen, die von der speziellen Einheitsgruppe SU (1,1) ausgedrückt werden . Das Scheibenmodell kann durch die oben angegebene Abbildung g in das Poincaré-Halbebenenmodell transformiert werden .
Sowohl die Poincaré-Scheibe als auch die Poincaré-Halbebene sind konforme Modelle der hyperbolischen Ebene, dh Winkel zwischen sich kreuzenden Kurven bleiben durch Bewegungen ihrer Isometriegruppen erhalten.
Ein weiteres Modell des hyperbolischen Raums ist ebenfalls auf der offenen Einheitsscheibe aufgebaut: das Beltrami-Klein-Modell . Es ist nicht konform , hat aber die Eigenschaft, dass die Geodäten gerade Linien sind.
Geräteplatten in Bezug auf andere Metriken
Man betrachtet auch Einheitenplatten in Bezug auf andere Metriken . Beispielsweise sehen Datenträger mit der Taximetrik und der Chebyshev-Metrik wie Quadrate aus (obwohl die zugrunde liegenden Topologien mit denen der euklidischen identisch sind).
Die Fläche der euklidischen Einheitsscheibe beträgt π und ihr Umfang beträgt 2π. Im Gegensatz dazu beträgt der Umfang (relativ zur Taximetrik) der Einheitsscheibe in der Taxigeometrie 8. Im Jahr 1932 bewies Stanisław Gołąb , dass der Umfang der Einheitsscheibe in Metriken, die sich aus einer Norm ergeben , einen beliebigen Wert zwischen 6 annehmen kann und 8, und dass diese Extremwerte genau dann erhalten werden, wenn die Einheitsscheibe ein reguläres Sechseck bzw. ein Parallelogramm ist.
Siehe auch
Verweise
- S. Golab, "Quelques problèmes métriques de la géometrie de Minkowski", Trav. de l'Acad. Mines Cracovie 6 (1932), 179.
Externe Links
- Weisstein, Eric W. "Unit Disk" . MathWorld .
- Auf dem Umfang und der Fläche der Einheitsscheibe von JC Álvarez Pavia und AC Thompson