Einheitskreis - Unit circle
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In der Mathematik ist ein Einheitskreis ist ein Kreis von Einheitsradius -Das ist ein Radius von 1. häufig, vor allem in der Trigonometrie ist der Einheitskreis der Kreis mit dem Radius 1 am Ursprung zentrierte (0, 0) in dem kartesischen Koordinatensystem , in der euklidischen Ebene . In der Topologie wird es oft als S 1 bezeichnet, weil es eine eindimensionale Einheit n- Kugel ist .
Wenn ( x , y ) ein Punkt auf dem Umfang des Einheitskreises ist, dann ist | x | und | y | sind die Längen der Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks , dessen Hypotenuse hat also 1. Länge, durch den Satz des Pythagoras , x und y die Gleichung
Da x 2 = (− x ) 2 für alle x , und da die Spiegelung jedes Punkts auf dem Einheitskreis an der x- oder y- Achse auch auf dem Einheitskreis liegt, gilt obige Gleichung für alle Punkte ( x , y ) auf dem Einheitskreis, nicht nur im ersten Quadranten.
Das Innere des Einheitskreises wird als offene Einheitsscheibe bezeichnet , während das Innere des Einheitskreises in Kombination mit dem Einheitskreis selbst als geschlossene Einheitsscheibe bezeichnet wird.
Man kann auch andere Begriffe von "Entfernung" verwenden, um andere "Einheitskreise" zu definieren, wie beispielsweise den Riemannschen Kreis ; Weitere Beispiele finden Sie im Artikel über mathematische Normen .
In der komplexen Ebene
Der Einheitskreis kann als die Einheit der komplexen Zahlen betrachtet werden , dh die Menge der komplexen Zahlen z der Form
für alle t (siehe auch: cis ). Diese Beziehung repräsentiert die Eulersche Formel . In der Quantenmechanik wird dies als Phasenfaktor bezeichnet .
Trigonometrische Funktionen auf dem Einheitskreis
Die trigonometrischen Funktionen Kosinus und Sinus des Winkels θ können auf dem Einheitskreis wie folgt definiert werden: Wenn ( x , y ) ein Punkt auf dem Einheitskreis ist und wenn der Strahl vom Ursprung (0, 0) nach ( x , y ) einen Winkel θ von der positiven x- Achse bildet (wobei eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn positiv ist), dann
Die Gleichung x 2 + y 2 = 1 ergibt die Beziehung
Der Einheitskreis zeigt auch , dass Sinus und Cosinus sind periodische Funktionen , mit den Identitäten
für jede ganze Zahl k .
Auf dem Einheitskreis konstruierte Dreiecke können auch verwendet werden, um die Periodizität der trigonometrischen Funktionen zu veranschaulichen. Konstruieren Sie zunächst einen Radius OP vom Ursprung O zu einem Punkt P( x 1 , y 1 ) auf dem Einheitskreis, so dass ein Winkel t mit 0 < t < π/2wird mit dem positiven Arm der x- Achse gebildet. Betrachten Sie nun einen Punkt Q( x 1 ,0) und Liniensegmente PQ ⊥ OQ . Das Ergebnis ist ein rechtwinkliges Dreieck △OPQ mit ∠QOP = t . Da PQ die Länge y 1 , OQ die Länge x 1 hat und OP die Länge 1 als Radius auf dem Einheitskreis hat, ist sin( t ) = y 1 und cos( t ) = x 1 . Nachdem Sie diese Äquivalenzen festgestellt haben, nehmen Sie einen weiteren Radius OR vom Ursprung zu einem Punkt R(− x 1 , y 1 ) auf dem Kreis, so dass der gleiche Winkel t mit dem negativen Arm der x- Achse gebildet wird. Betrachten Sie nun einen Punkt S(− x 1 ,0) und Streckenabschnitte RS ⊥ OS . Das Ergebnis ist ein rechtwinkliges Dreieck △ORS mit ∠SOR = t . Es kann daher gesehen werden , dass, weil ∠ROQ = π - t , R an ist (- cos (π t ) sin (π - t )) in der gleichen Art und Weise , dass P ist (cos ( t ) sin ( t )) . Die Schlussfolgerung ist, dass, da (− x 1 , y 1 ) gleich (cos(π − t ),sin(π − t )) und ( x 1 , y 1 ) gleich (cos( t ) ,sin( t )) , gilt sin( t ) = sin(π − t ) und −cos( t ) = cos(π − t ) . In ähnlicher Weise lässt sich tan(π − t ) = −tan( t ) folgern , da tan( t ) =y 1/x 1und tan(π − t ) =y 1/− x 1. Eine einfache Demonstration des Obigen kann in der Gleichheitssünde gesehen werden (π/4) = Sünde (3π/4) = 1/√ 2.
Beim Arbeiten mit rechtwinkligen Dreiecken sind Sinus, Cosinus und andere trigonometrische Funktionen nur für Winkelmaße größer Null und kleiner als sinnvoll π/2. Wenn sie jedoch mit dem Einheitskreis definiert ist , erzeugen diese Funktionen sinnvolle Werte für jeden echten -wertigen Winkelmaß - auch solche von mehr als 2 π . Tatsächlich können alle sechs trigonometrischen Standardfunktionen – Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens, Sekant und Kosekans sowie archaische Funktionen wie Versinus und Exsekans – geometrisch in Form eines Einheitskreises definiert werden, wie rechts gezeigt.
Unter Verwendung des Einheitskreises können die Werte jeder trigonometrischen Funktion für viele andere als die beschrifteten Winkel leicht von Hand mit den Winkelsummen- und -differenzformeln berechnet werden .
Kreisgruppe
Komplexe Zahlen können mit Punkten in der euklidischen Ebene identifiziert werden , nämlich die Zahl a + bi wird mit dem Punkt ( a , b ) identifiziert . Unter dieser Bezeichnung ist der Einheitskreis eine Gruppe unter Multiplikation, die Kreisgruppe genannt wird ; es wird normalerweise in der Ebene bezeichnet, Multiplikation mit cos θ + i sin θ ergibt eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn um θ . Diese Gruppe hat wichtige Anwendungen in Mathematik und Naturwissenschaften.
Komplexe Dynamik
Die Julia-Menge eines diskreten nichtlinearen dynamischen Systems mit Evolutionsfunktion :
ist ein Einheitskreis. Es ist der einfachste Fall und wird daher häufig bei der Untersuchung dynamischer Systeme verwendet.