Fensterfunktion - Window function

Eine beliebte Fensterfunktion, das Hann-Fenster . Die beliebtesten Fensterfunktionen sind ähnliche glockenförmige Kurven.

In der Signalverarbeitung und Statistik ist eine Fensterfunktion (auch als Apodisationsfunktion oder Tapering-Funktion bekannt ) eine mathematische Funktion , die außerhalb eines gewählten Intervalls nullwertig ist , normalerweise symmetrisch um die Mitte des Intervalls, normalerweise nahe einem Maximum im Mitte und verjüngt sich normalerweise von der Mitte weg. Mathematisch ist das Produkt auch außerhalb des Intervalls nullwertig, wenn eine andere Funktion oder Wellenform/Datensequenz mit einer Fensterfunktion "multipliziert" wird: Alles, was übrig bleibt, ist der Teil, wo sie sich überlappen, der "Blick durch das Fenster". Äquivalent und in der Praxis wird das Datensegment innerhalb des Fensters zuerst isoliert, und dann werden nur diese Daten mit den Fensterfunktionswerten multipliziert. Daher ist die Verjüngung und nicht die Segmentierung der Hauptzweck von Fensterfunktionen.

Die Gründe für die Untersuchung von Segmenten einer längeren Funktion umfassen die Erkennung von Übergangsereignissen und die Zeitmittelung von Frequenzspektren. Die Dauer der Segmente wird in jeder Anwendung durch Anforderungen wie Zeit- und Frequenzauflösung bestimmt. Aber diese Methode ändert auch den Frequenzinhalt des Signals durch einen Effekt namens Spectral Leakage . Fensterfunktionen ermöglichen es uns, die Leckage spektral auf unterschiedliche Weise zu verteilen, je nach den Anforderungen der jeweiligen Anwendung. In diesem Artikel werden viele Auswahlmöglichkeiten beschrieben, aber viele der Unterschiede sind so subtil, dass sie in der Praxis unbedeutend sind.

In typischen Anwendungen sind die verwendeten Fensterfunktionen nicht-negative, glatte, "glockenförmige" Kurven. Rechteck, Dreieck und andere Funktionen können ebenfalls verwendet werden. Eine allgemeinere Definition von Fensterfunktionen erfordert nicht, dass sie außerhalb eines Intervalls identisch Null sind, solange das Produkt des Fensters multipliziert mit seinem Argument quadratintegrierbar ist , und genauer gesagt, dass die Funktion ausreichend schnell gegen Null geht.

Anwendungen

Fensterfunktionen verwendet werden , in der spektralen Analyse / Änderung / Resynthese , die Gestaltung der finiten Impulsantwort - Filter, sowie Beamforming und Antennendesign.

Spektralanalyse

Die Fourier - Transformation der Funktion cos ( & ohgr; t ) gleich Null ist , mit Ausnahme bei der Frequenz ± & ohgr; . Viele andere Funktionen und Wellenformen haben jedoch keine bequemen Transformationen in geschlossener Form. Alternativ könnte man an ihrem spektralen Inhalt nur während eines bestimmten Zeitraums interessiert sein.

In jedem Fall kann die Fourier-Transformation (oder eine ähnliche Transformation) auf ein oder mehrere endliche Intervalle der Wellenform angewendet werden. Im Allgemeinen wird die Transformation auf das Produkt der Wellenform und einer Fensterfunktion angewendet. Jedes Fenster (einschließlich rechteckig) beeinflusst die durch dieses Verfahren berechnete spektrale Schätzung.

Abbildung 2: Die Fensterung einer Sinuskurve verursacht spektrale Lecks. Die gleiche Menge an Leckage tritt auf, unabhängig davon, ob es eine ganzzahlige (blau) oder nicht ganzzahlige (rot) Anzahl von Zyklen innerhalb des Fensters gibt (Reihen 1 und 2). Wenn die Sinuskurve abgetastet und gefenstert wird, zeigt ihre zeitdiskrete Fourier-Transformation ebenfalls das gleiche Leckmuster (Reihen 3 und 4). Wenn der DTFT jedoch in einem bestimmten Intervall nur spärlich abgetastet wird, ist es (je nach Sichtweise) möglich: (1) die Leckage zu vermeiden oder (2) die Illusion von keine Leckage zu erzeugen. Im Fall der blauen DTFT sind diese Abtastwerte die Ausgaben der diskreten Fourier-Transformation (DFT). Der rote DTFT hat das gleiche Intervall von Nulldurchgängen, aber die DFT-Abtastwerte liegen dazwischen, und das Leck wird aufgedeckt.

Wahl der Fensterfunktion

Windowing einer einfachen Wellenform , wie cos ( & ohgr; t ) bewirkt , dass seine Fourier - Transformations - Nicht-Null - Werte zu entwickeln (gemeinhin als spektrale Leck ) bei anderen Frequenzen als ω . Die Leckage neigt schlechteste (höchstes) in der Nähe zu sein , ω und mindestens bei Frequenzen von weitesten  ω .

Wenn die zu analysierende Wellenform zwei Sinuskurven mit unterschiedlichen Frequenzen umfasst, kann ein Leck unsere Fähigkeit beeinträchtigen, sie spektral zu unterscheiden. Mögliche Arten von Störungen werden oft wie folgt in zwei gegensätzliche Klassen eingeteilt: Wenn die Frequenzen der Komponenten unähnlich sind und eine Komponente schwächer ist, kann die Leckage der stärkeren Komponente die Präsenz der schwächeren verdecken. Wenn die Frequenzen jedoch zu ähnlich sind, können sie durch Lecks unauflösbar werden, selbst wenn die Sinuskurven gleich stark sind. Fenster, die gegen die erste Art von Störungen wirksam sind, nämlich bei Komponenten mit unterschiedlichen Frequenzen und Amplituden, werden als hoher Dynamikbereich bezeichnet . Umgekehrt werden Fenster, die Komponenten mit ähnlichen Frequenzen und Amplituden unterscheiden können, als hohe Auflösung bezeichnet .

Das rechteckige Fenster ist ein Beispiel für ein Fenster mit hoher Auflösung, aber geringem Dynamikbereich , d. h. es ist gut zum Unterscheiden von Komponenten ähnlicher Amplitude, selbst wenn die Frequenzen ebenfalls nahe sind, aber schlecht zum Unterscheiden von Komponenten unterschiedlicher Amplitude, selbst wenn die Frequenzen weit entfernt sind ein Weg. Hochauflösende Fenster mit niedrigem Dynamikbereich wie das rechteckige Fenster haben auch die Eigenschaft einer hohen Empfindlichkeit , d. h. die Fähigkeit, relativ schwache Sinuskurven in Gegenwart von additivem Zufallsrauschen aufzudecken. Das liegt daran, dass das Rauschen bei Fenstern mit hohem Dynamikbereich eine stärkere Reaktion erzeugt als bei hochauflösenden Fenstern.

Das andere Extrem der Fenstertypen sind Fenster mit hohem Dynamikbereich, aber geringer Auflösung und Empfindlichkeit. Fenster mit hohem Dynamikbereich werden am häufigsten in Breitbandanwendungen gerechtfertigt , bei denen erwartet wird, dass das analysierte Spektrum viele verschiedene Komponenten mit verschiedenen Amplituden enthält.

Zwischen den Extremen liegen gemäßigte Fenster wie Hamming und Hann . Sie werden häufig in Schmalbandanwendungen verwendet , beispielsweise im Spektrum eines Telefonkanals.

Zusammenfassend beinhaltet die Spektralanalyse einen Kompromiss zwischen der Auflösung vergleichbarer Stärkekomponenten mit ähnlichen Frequenzen ( hohe Auflösung/Empfindlichkeit ) und der Auflösung unterschiedlicher Stärkekomponenten mit unterschiedlichen Frequenzen ( hoher Dynamikbereich ). Dieser Kompromiss tritt auf, wenn die Fensterfunktion gewählt wird.

Zeitdiskrete Signale

Wenn die Eingangswellenform nicht kontinuierlich, sondern zeitabgetastet wird, erfolgt die Analyse normalerweise durch Anwenden einer Fensterfunktion und dann einer diskreten Fourier-Transformation (DFT). Aber die DFT liefert nur eine spärliche Abtastung des tatsächlichen Spektrums der zeitdiskreten Fourier-Transformation (DTFT). Abbildung 2, Zeile 3 zeigt einen DTFT für eine Sinuskurve mit rechteckigen Fenstern. Die tatsächliche Frequenz der Sinuskurve wird als "13" auf der horizontalen Achse angezeigt. Alles andere ist Leckage, übertrieben durch die Verwendung einer logarithmischen Darstellung. Die Einheit der Frequenz ist "DFT-Bins"; das heißt, die ganzzahligen Werte auf der Frequenzachse entsprechen den von der DFT abgetasteten Frequenzen. Somit stellt die Figur einen Fall dar, bei dem die tatsächliche Frequenz der Sinuskurve mit einer DFT-Probe zusammenfällt und der Maximalwert des Spektrums durch diese Probe genau gemessen wird. In Zeile 4 verfehlt er den Maximalwert um ½ Bin, und der resultierende Messfehler wird als Scalloping-Verlust bezeichnet (inspiriert durch die Form des Peaks). Für eine bekannte Frequenz, wie beispielsweise eine Musiknote oder ein sinusförmiges Testsignal, kann das Anpassen der Frequenz an einen DFT-Bin durch Auswahl einer Abtastrate und einer Fensterlänge, die zu einer ganzzahligen Anzahl von Zyklen innerhalb des Fensters führt, im Voraus arrangiert werden.

Abbildung 3: Diese Abbildung vergleicht die Verarbeitungsverluste von drei Fensterfunktionen für sinusförmige Eingänge mit minimalem und maximalem Scalloping-Verlust.

Rauschbandbreite

Die Konzepte von Auflösung und Dynamikbereich sind in der Regel etwas subjektiv, je nachdem, was der Benutzer tatsächlich versucht. Sie korrelieren aber tendenziell auch stark mit der quantifizierbaren Gesamtleckage. Es wird normalerweise als äquivalente Bandbreite B ausgedrückt. Man kann es sich als Umverteilung des DTFT in eine rechteckige Form mit einer Höhe gleich dem spektralen Maximum und einer Breite B vorstellen. Je größer die Leckage, desto größer die Bandbreite. Es wird manchmal auch als äquivalente Rauschbandbreite oder äquivalente Rauschbandbreite , weil es zu der durchschnittlichen Leistung proportional ist , die von jeder DFT ist registriert wird, wenn das Eingangssignal eine Zufallsrauschkomponente enthält (oder ist nur zufällige Rauschen). Ein Diagramm des Leistungsspektrums , gemittelt über die Zeit, zeigt typischerweise ein flaches Grundrauschen , das durch diesen Effekt verursacht wird. Die Höhe des Grundrauschens ist proportional zu B. Somit können zwei verschiedene Fensterfunktionen unterschiedliche Grundrauschen erzeugen.

Verarbeitung von Gewinnen und Verlusten

Bei der Signalverarbeitung werden Operationen gewählt, um einige Aspekte der Qualität eines Signals zu verbessern, indem die Unterschiede zwischen dem Signal und den verfälschenden Einflüssen ausgenutzt werden. Wenn das Signal eine Sinuskurve ist, die durch additives Zufallsrauschen verfälscht ist, verteilt die Spektralanalyse die Signal- und Rauschkomponenten unterschiedlich, wodurch es oft einfacher wird, das Vorhandensein des Signals zu erkennen oder bestimmte Eigenschaften wie Amplitude und Frequenz zu messen. Effektiv wird das Signal-Rausch-Verhältnis (SNR) verbessert, indem das Rauschen gleichmäßig verteilt wird, während der größte Teil der Energie der Sinuskurve um eine Frequenz herum konzentriert wird. Processing Gain ist ein Begriff, der häufig verwendet wird, um eine SNR-Verbesserung zu beschreiben. Der Verarbeitungsgewinn der Spektralanalyse hängt von der Fensterfunktion ab, sowohl von seiner Rauschbandbreite (B) als auch von seinem potentiellen Scalloping-Verlust. Diese Effekte gleichen sich teilweise aus, da Fenster mit der geringsten Wellenform natürlich die meisten Undichtigkeiten aufweisen.

Abbildung 3 zeigt die Auswirkungen von drei verschiedenen Fensterfunktionen auf denselben Datensatz, der zwei Sinuskurven gleicher Stärke im additiven Rauschen umfasst. Die Frequenzen der Sinuskurven werden so gewählt, dass eine auf keine Wellenform und die andere auf eine maximale Wellenform trifft. Beiden Sinusoide leiden weniger SNR - Verlust unter dem Hann - Fenster als unter dem Blackman - Harris - Fenster. Im Allgemeinen (wie zuvor erwähnt) ist dies eine Abschreckung für die Verwendung von Fenstern mit hohem Dynamikbereich in Anwendungen mit niedrigem Dynamikbereich.

Abbildung 4: Zwei verschiedene Möglichkeiten zur Generierung einer 8-Punkt-Gaußschen Fenstersequenz ( σ  = 0,4) für Spektralanalyseanwendungen. MATLAB nennt sie "symmetrisch" und "periodisch". Letzteres wird historisch auch als DFT-even bezeichnet .

Abbildung 5: Spektrale Streucharakteristik der Funktionen in Abbildung 4

Symmetrie

Die in diesem Artikel bereitgestellten Formeln erzeugen diskrete Sequenzen, als ob eine kontinuierliche Fensterfunktion "abgetastet" worden wäre. (Siehe ein Beispiel im Kaiser-Fenster .) Fenstersequenzen für die Spektralanalyse sind entweder symmetrisch oder 1-sample kurz von symmetrisch (genannt periodisch , DFT-gerade oder DFT-symmetrisch ). Zum Beispiel wird eine echte symmetrische Folge mit ihrem Maximum an einem einzelnen Mittelpunkt von der MATLAB- Funktion erzeugt hann(9,'symmetric'). Das Löschen des letzten Samples erzeugt eine Sequenz identisch mit hann(8,'periodic'). In ähnlicher Weise hat die Sequenz hann(8,'symmetric')zwei gleiche Mittelpunkte.

Einige Funktionen haben einen oder zwei nullwertige Endpunkte, die in den meisten Anwendungen unnötig sind. Das Löschen eines nullwertigen Endpunkts hat keine Auswirkung auf dessen DTFT (spektrale Leckage). Aber die für N  + 1 oder N  + 2 Abtastwerte entworfene Funktion hat in Erwartung des Löschens eines oder beider Endpunkte typischerweise eine etwas schmalere Hauptkeule, etwas höhere Nebenkeulen und eine etwas kleinere Rauschbandbreite.

DFT-Symmetrie

Der Vorgänger der DFT ist die endliche Fourier-Transformation , und Fensterfunktionen waren "immer eine ungerade Anzahl von Punkten und zeigen eine gerade Symmetrie um den Ursprung". In diesem Fall ist der DTFT vollständig reellwertig. Wenn die gleiche Sequenz in ein verschoben DFT Datenfenster , wird die DTFT komplexwertigen, außer bei Frequenzen in regelmäßigen Abständen voneinander Somit wird , wenn durch eine abgetastete -Länge DFT (siehe periodische Summierung ), die Proben (genannt DFT - Koeffizienten sind) immer noch echter Wert. Das gilt auch für eine -Länge DFT der abgeschnittenen DFT-symmetrischen Folge : Abschneiden beeinflusst die DTFT (spektrale Leckage), aber normalerweise um einen vernachlässigbaren Betrag (es sei denn, es ist klein, zB ≤ 20 ). ${\displaystyle [0\leq n\leq N],}$${\displaystyle 1/N.}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$ ${\displaystyle [0\leq n\leq N-1].}$${\displaystyle N}$

Wenn Fenster multiplikativ auf tatsächliche Daten angewendet werden, fehlt der Sequenz normalerweise jegliche Symmetrie, und die DFT ist im Allgemeinen nicht reellwertig. Trotz dieser Einschränkung gehen viele Autoren reflexartig von DFT-symmetrischen Fenstern aus. Es ist daher erwähnenswert, dass es keinen Leistungsvorteil bei der Anwendung auf Zeitbereichsdaten gibt, was die übliche Anwendung ist. Der Vorteil von reellwertigen DFT-Koeffizienten wird in bestimmten esoterischen Anwendungen realisiert, bei denen eine Fensterung mittels Faltung zwischen den DFT-Koeffizienten und einer ungefensterten DFT der Daten erreicht wird. Bei diesen Anwendungen werden DFT-symmetrische Fenster (gerade oder ungerade Länge) aus der Cosinussummenfamilie bevorzugt, da die meisten ihrer DFT-Koeffizienten nullwertig sind, was die Faltung sehr effizient macht.

Anmerkungen

Filterdesign

Fenster werden manchmal beim Entwurf von digitalen Filtern verwendet , insbesondere um eine "ideale" Impulsantwort von unendlicher Dauer, wie beispielsweise eine Sinusfunktion , in einen Filterentwurf mit endlicher Impulsantwort (FIR) umzuwandeln . Das nennt man Window-Methode .

Statistik und Kurvenanpassung

Auf dem Gebiet der statistischen Analyse werden manchmal Fensterfunktionen verwendet , um den zu analysierenden Datensatz auf einen Bereich in der Nähe eines bestimmten Punktes zu beschränken, mit einem Gewichtungsfaktor , der die Wirkung von Punkten weiter entfernt von dem anzupassenden Teil der Kurve verringert. Im Bereich der Bayes'schen Analyse und Kurvenanpassung wird dies oft als Kernel bezeichnet .

Rechteckige Fensteranwendungen

Analyse von Transienten

Bei der Analyse eines transienten Signals in der Modalanalyse , wie z. B. eines Impulses, einer Stoßantwort, eines Sinus-Bursts, eines Chirp-Bursts oder eines Rausch-Bursts, bei dem die Energie-Zeit-Verteilung extrem ungleichmäßig ist, kann das rechteckige Fenster am besten geeignet sein. Wenn sich beispielsweise der größte Teil der Energie am Anfang der Aufzeichnung befindet, dämpft ein nicht rechteckiges Fenster den größten Teil der Energie, wodurch das Signal-Rausch-Verhältnis verschlechtert wird.

Harmonische Analyse

Vielleicht möchten Sie den harmonischen Inhalt einer Musiknote von einem bestimmten Instrument oder die harmonische Verzerrung eines Verstärkers bei einer gegebenen Frequenz messen. Unter erneuter Bezugnahme auf Fig. 2 können wir beobachten, dass bei einem diskreten Satz von harmonisch verwandten Frequenzen, die von der DFT abgetastet werden, kein Leck auftritt. (Die spektralen Nullstellen sind eigentlich Nulldurchgänge, die auf einer logarithmischen Skala wie dieser nicht dargestellt werden können.) Diese Eigenschaft ist für das rechteckige Fenster einzigartig und muss wie oben beschrieben für die Signalfrequenz geeignet konfiguriert werden.

Eine Liste der Fensterfunktionen

Konventionen :

• ${\displaystyle w_{0}(x)}$ist eine Nullphasenfunktion (symmetrisch zu ), stetig für wobei eine positive ganze Zahl (gerade oder ungerade) ist.${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x\in [-N/2,N/2],}$${\displaystyle N}$
• Die Folge     ist symmetrisch mit der Länge${\displaystyle \{w[n]=w_{0}(nN/2),\quad 0\leq n\leq N\}}$${\displaystyle N+1.}$
• ${\displaystyle \{w[n],\quad 0\leq n\leq N-1\}}$  ist DFT-symmetrisch , der Länge${\displaystyle N.}$

• Der auf jedem Spektraldiagramm angezeigte Parameter B ist die rauschäquivalente Bandbreitenmetrik der Funktion in Einheiten von DFT-Bins .

Die spärliche Abtastung eines DTFT (wie die DFTs in Fig. 2) zeigt nur die Leckage in die DFT-Bins von einer Sinuskurve, deren Frequenz ebenfalls eine ganzzahlige DFT-Bin ist. Die unsichtbaren Nebenkeulen zeigen die von Sinuskurven bei anderen Frequenzen zu erwartende Leckage. Daher ist es bei der Auswahl einer Fensterfunktion normalerweise wichtig, den DTFT dichter abzutasten (wie wir es in diesem Abschnitt tun) und ein Fenster zu wählen, das die Nebenkeulen auf ein akzeptables Niveau unterdrückt.

Rechteckiges Fenster

Rechteckiges Fenster

Das rechteckige Fenster (manchmal auch als Boxcar- oder Dirichlet- Fenster bekannt ) ist das einfachste Fenster, das dem Ersetzen aller bis auf N Werte einer Datensequenz durch Nullen entspricht, wodurch es so aussieht, als ob sich die Wellenform plötzlich ein- und ausschaltet:

${\displaystyle w[n]=1.}$

Andere Fenster sollen diese plötzlichen Änderungen moderieren, was den Scalloping-Verlust reduziert und den Dynamikbereich verbessert, wie oben beschrieben ( § Spektralanalyse ).

Das rechteckige Fenster ist die 1 ^st Ordnung B -spline Fenster sowie das 0 - ^te Leistungspotenz-Sinusfenster .

B -Spline-Fenster

B- Spline-Fenster können als k- fache Faltungen des rechteckigen Fensters erhalten werden. Dazu gehören das Rechteckfenster selbst ( k  = 1), das § Dreieckfenster ( k  = 2) und das § Parzenfenster ( k  = 4). Alternative Definitionen sampeln die entsprechenden normalisierten B- Spline- Basisfunktionen, anstatt zeitdiskrete Fenster zu falten. Eine   B- Spline-Basisfunktion k- ^ter Ordnung ist eine stückweise Polynomfunktion vom Grad k −1, die durch k- fache Selbstfaltung der Rechteckfunktion erhalten wird .

Dreieckiges Fenster

Dreiecksfenster (mit L  =  N  + 1)

Dreieckige Fenster sind gegeben durch:

${\displaystyle w[n]=1-\left|{\frac {n-{\frac{N}{2}}}{\frac{L}{2}}}\right|,\quad 0\leq n\leq N}$

wo L sein kann N , N  + 1 oder N  + 2. Die erste ist auch bekannt als Bartlett - Fenster oder Fejér Fenster . Alle drei Definitionen konvergieren bei großem  N .

Das dreieckige Fenster ist das B- Spline-Fenster 2. Ordnung . Die L  =  N- Form kann als Faltung von zwei N /2 breiten rechteckigen Fenstern angesehen werden. Die Fourier-Transformation des Ergebnisses sind die quadrierten Werte der Transformation des rechteckigen Fensters halber Breite.

Parzen-Fenster

Parzen-Fenster

Definieren von   L ≜ N + 1 ist das Parzen-Fenster, auch bekannt als das de la Vallée Poussin-Fenster , das B- Spline-Fenster 4. Ordnung , das gegeben ist durch:

${\displaystyle w_{0}(n)\triangleq\left\{{\begin{array}{ll}1-6\left({\frac {n}{L/2}}\right)^{2} \left(1-{\frac{|n|}{L/2}}\right),&0\leq |n|\leq {\frac{L}{4}}\\2\left(1-{ \frac {|n|}{L/2}}\right)^{3}&{\frac {L}{4}}<|n|\leq {\frac {L}{2}}\\\ end{array}}\right\}}$

${\displaystyle w[n]=\w_{0}\left(n-{\tfrac{N}{2}}\right),\ 0\leq n\leq N}$

Welch-Fenster

Andere Polynomfenster

Welch-Fenster

Das Welch-Fenster besteht aus einem einzigen parabolischen Abschnitt:

${\displaystyle w[n]=1-\left({\frac{n-{\frac{N}{2}}}{\frac{N}{2}}}\right)^{2},\ quad 0\leq n\leq N.}$

Das definierende quadratische Polynom erreicht bei den Abtastwerten knapp außerhalb der Spanne des Fensters einen Wert von Null.

Sinusfenster

Sinusfenster

${\displaystyle w[n]=\sin\left({\frac {\pi n}{N}}\right)=\cos \left({\frac {\pi n}{N}}-{\frac {\pi}{2}}\right),\quad 0\leq n\leq N.}$

Die entsprechende Funktion ist ein Kosinus ohne den π /2 Phasenversatz. Daher wird das Sinusfenster manchmal auch Cosinusfenster genannt . Da es einen halben Zyklus einer Sinusfunktion darstellt, wird es auch variabel als Halbsinusfenster oder Halbkosinusfenster bezeichnet . ${\displaystyle w_{0}(n)\,}$

Die Autokorrelation eines Sinusfensters erzeugt eine Funktion, die als Bohman-Fenster bekannt ist.

Power-of-Sinus/Cosinus-Fenster

Diese Fensterfunktionen haben die Form:

${\displaystyle w[n]=\sin^{\alpha}\left({\frac {\pi n}{N}}\right)=\cos ^{\alpha }\left({\frac {\pi n}{N}}-{\frac{\pi}{2}}\right),\quad 0\leq n\leq N.}$

Das Rechteckfenster ( α  = 0 ), das Sinusfenster ( α  = 1 ) und das Hann-Fenster ( α  = 2 ) sind Mitglieder dieser Familie.

Für geradzahlige Werte von α können diese Funktionen auch in Kosinussummenform ausgedrückt werden :

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\ frac {4\pi n}{N}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle {\begin{array}{l|llll}\hline \alpha &a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}\\\hline 0&1&0&0&0\\2&0.5&0.5&0&0\\4&0. 375&0.5&0.125&0\\6&0.3125&0.46875&0.1875&0.03125\\\hline \end{array}}}$

Kosinussummenfenster

Diese Familie wird auch als generalisierte Kosinusfenster bezeichnet .

In den meisten Fällen, einschließlich der folgenden Beispiele, sind alle Koeffizienten a _k  0. Diese Fenster haben nur 2 K  + 1 Nicht-Null- N- Punkt-DFT-Koeffizienten.

Hann und Hamming Fenster

Hann Fenster

Hamming-Fenster, a ₀  = 0,53836 und a ₁  = 0,46164. Das ursprüngliche Hamming-Fenster hätte eine ₀  = 0,54 und eine ₁  = 0,46.

Die üblichen Kosinussummenfenster für den Fall K  = 1 haben die Form:

${\displaystyle w[n]=a_{0}-\underbrace {(1-a_{0})} _{a_{1}}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi n}{N }}\rechts),\quad 0\leq n\leq N,}$

was leicht (und oft) mit seiner Nullphasenversion verwechselt wird:

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{0}(n)\ &=w\left[n+{\tfrac {N}{2}}\right]\\&=a_{0}+a_{1} \cdot \cos \left({\tfrac {2\pi n}{N}}\right),\quad -{\tfrac {N}{2}}\leq n\leq {\tfrac {N}{2 }}.\end{ausgerichtet}}}$

Einstellung     erzeugt ein Hann-Fenster:${\displaystyle a_{0}=0.5}$

${\displaystyle w[n]=0.5\;\left[1-\cos\left({\frac {2\pi n}{N}}\right)\right]=\sin ^{2}\left( {\frac{\pi n}{N}}\right),}$

benannt nach Julius von Hann , und manchmal auch als Hanning bezeichnet , vermutlich aufgrund seiner sprachlichen und formelhaften Ähnlichkeiten mit dem Hamming-Fenster. Es wird auch als erhöhter Kosinus bezeichnet , da die Nullphasenversion ein Keulen einer erhöhten Kosinusfunktion ist. ${\displaystyle w_{0}(n),}$

Diese Funktion ist ein Mitglied sowohl der Kosinussummen- als auch der Potenz-of-Sinus- Familie. Im Gegensatz zum Hamming-Fenster berühren die Endpunkte des Hann-Fensters einfach Null. Die resultierenden Nebenkeulen rollen mit etwa 18 dB pro Oktave ab.

Eine Einstellung     auf ungefähr 0,54 oder genauer 25/46 erzeugt das Hamming-Fenster, das von Richard W. Hamming vorgeschlagen wurde . Diese Wahl platziert einen Nulldurchgang bei der Frequenz 5 π /( N  − 1), der die erste Nebenkeule des Hann-Fensters aufhebt, was ihr eine Höhe von etwa einem Fünftel der Höhe des Hann-Fensters verleiht. Das Hamming-Fenster wird oft als Hamming-Blip bezeichnet, wenn es zur Pulsformung verwendet wird . ${\displaystyle a_{0}}$

Eine Annäherung der Koeffizienten auf zwei Dezimalstellen verringert das Niveau der Nebenkeulen wesentlich auf einen nahezu gleichförmigen Zustand. Im Equiripple-Sinn sind die optimalen Werte für die Koeffizienten a ₀  = 0,53836 und a ₁  = 0,46164.

Blackman-Fenster

Blackman-Fenster; α  = 0,16

Blackman-Fenster sind definiert als:

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\ frac {4\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}={\frac {1-\alpha }{2}};\quad a_{1}={\frac {1}{2}};\quad a_{2}={\frac {\alpha}{2}}.}$

Nach allgemeiner Konvention bezieht sich der unqualifizierte Begriff Blackman-Fenster auf Blackmans "nicht sehr ernsthaften Vorschlag" von α  = 0,16 ( a ₀  = 0,42, a ₁  = 0,5, a ₂  = 0,08), der dem exakten Blackman mit a ₀  = sehr nahe kommt 7938/18608 0,42659, a ₁  = 9240/18608 ≈ 0,49656 und a ₂  = 1430/18608 ≈ 0,076849. Diese exakten Werte platzieren Nullen an der dritten und vierten Nebenkeule, führen jedoch zu einer Diskontinuität an den Kanten und einem Abfall von 6 dB/Okt. Die abgeschnittenen Koeffizienten nullen die Nebenkeulen auch nicht, sondern weisen einen verbesserten Abfall von 18 dB/Oktober auf.

Nuttall-Fenster, stetige erste Ableitung

Nuttall-Fenster, stetige erste Ableitung

Die stetige Form des Nuttall-Fensters und seine erste Ableitung sind überall stetig, wie die Hann-Funktion . Das heißt, die Funktion geht bei x  = ± N /2 auf 0 , im Gegensatz zu den Blackman-Nuttall-, Blackman-Harris- und Hamming-Fenstern. Das Blackman-Fenster ( α  = 0,16 ) ist ebenfalls stetig mit stetiger Ableitung am Rand, das "exakte Blackman-Fenster" jedoch nicht. ${\displaystyle w_{0}(x),}$

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\ frac {4\pi n}{N}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0.355768;\quad a_{1}=0.487396;\quad a_{2}=0.144232;\quad a_{3}=0.012604.}$

Blackman-Nutall-Fenster

Blackman-Nutall-Fenster

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\ frac {4\pi n}{N}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0.3635819;\quad a_{1}=0.4891775;\quad a_{2}=0.1365995;\quad a_{3}=0.0106411.}$

Blackman-Harris-Fenster

Blackman-Harris-Fenster

Eine Verallgemeinerung der Hamming-Familie, die durch Hinzufügen weiterer verschobener Sinc-Funktionen erzeugt wird, um die Nebenkeulenpegel zu minimieren

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\ frac {4\pi n}{N}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0.35875;\quad a_{1}=0.48829;\quad a_{2}=0.14128;\quad a_{3}=0.01168.}$

Flachdachfenster

Flachfenster

Ein Flat-Top-Fenster ist ein teilweise negativ bewertetes Fenster, das einen minimalen Scalloping-Verlust im Frequenzbereich aufweist. Diese Eigenschaft ist für die Messung von Amplituden sinusförmiger Frequenzkomponenten wünschenswert. Nachteile der breiten Bandbreite sind schlechte Frequenzauflösung und hohe §Rauschbandbreite .

Flat-Top-Fenster können mit Tiefpassfilter-Designmethoden entworfen werden, oder sie können von der üblichen Cosinus-Summen- Variante sein:

${\displaystyle {\begin{aligned}w[n]=a_{0}&{}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{ 2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)\\&{}-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N} }\right)+a_{4}\cos\left({\frac{8\pi n}{N}}\right).\end{ausgerichtet}}}$

Die Matlab-Variante hat diese Koeffizienten:

${\displaystyle a_{0}=0.21557895;\quad a_{1}=0.41663158;\quad a_{2}=0.277263158;\quad a_{3}=0.083578947;\quad a_{4}=0.006947368.}$

Andere Variationen sind verfügbar, wie zum Beispiel Nebenkeulen, die auf Kosten höherer Werte in der Nähe der Hauptkeule abfallen.

Rife–Vincent-Fenster

Rife-Vincent-Fenster werden üblicherweise für den Einheits-Mittelwert anstelle des Einheits-Spitzenwerts skaliert. Die nachstehenden Koeffizientenwerte, angewendet auf Gl.1 , spiegeln diese Gewohnheit wider.

Klasse I, Ordnung 1 ( K = 1):        Funktionell äquivalent zum Hann-Fenster . ${\displaystyle a_{0}=1;\quad a_{1}=1}$

Klasse I, Ordnung 2 ( K = 2):  ${\displaystyle a_{0}=1;\quad a_{1}={\tfrac {4}{3}};\quad a_{2}={\tfrac {1}{3}}}$

Klasse I wird durch Minimieren der Amplitude der Nebenkeulen höherer Ordnung definiert. Koeffizienten für Ordnungen bis zu K=4 sind tabellarisch dargestellt.

Klasse II minimiert die Hauptkeulenbreite für eine gegebene maximale Nebenkeule.

Klasse III ist ein Kompromiss, für den die Ordnung K  = 2 dem § Blackman-Fenster ähnelt .

Verstellbare Fenster

Gaußsches Fenster

Gaußsches Fenster, σ  = 0,4

Die Fourier-Transformierte einer Gaussian ist auch eine Gaussian. Da die Unterstützung einer Gaußschen Funktion bis ins Unendliche reicht, muss sie entweder an den Enden des Fensters abgeschnitten oder selbst mit einem anderen null-beendeten Fenster gefenstert werden.

Da der Logarithmus einer Gauß-Funktion eine Parabel erzeugt , kann diese für eine nahezu exakte quadratische Interpolation bei der Frequenzschätzung verwendet werden .

${\displaystyle w[n]=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {nN/2}{\sigma N/2}}\right)^{2} \right),\quad 0\leq n\leq N.}$

${\displaystyle \sigma\leq\;0.5\,}$

Die Standardabweichung der Gaußschen Funktion beträgt σ  ·  N /2 Abtastperioden.

Begrenztes Gaußsches Fenster, σ _t  = 0,1

Begrenztes Gaußsches Fenster

Das begrenzte Gaußsche Fenster ergibt die kleinstmögliche quadratische Mittelfrequenzbreite σ _ω für eine gegebene zeitliche Breite   ( N + 1) σ _t . Diese Fenster optimieren die RMS-Zeit-Frequenz-Bandbreitenprodukte. Sie werden als minimale Eigenvektoren einer parameterabhängigen Matrix berechnet. Die Familie der eingeschränkten Gaußschen Fenster enthält das § Sinusfenster und das § Gaußsche Fenster in den Grenzfällen von großem bzw. kleinem σ _t .

Ungefähres begrenztes Gaußsches Fenster, σ _t  = 0,1

Ungefähres eingeschränktes Gaußsches Fenster

Durch die Definition von   L ≜ N + 1 wird ein begrenztes Gaußsches Fenster der zeitlichen Breite   L × σ _t   gut approximiert durch:

${\displaystyle w[n]=G(n)-{\frac {G(-{\tfrac {1}{2}})[G(n+L)+G(nL)]}{G(-{ \tfrac {1}{2}}+L)+G(-{\tfrac {1}{2}}-L)}}}$

wo ist eine Gaußsche Funktion: ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G(x)=\exp \left(-\left({\cfrac {x-{\frac {N}{2}}}{2L\sigma_{t}}}\right)^{2 }\rechts)}$

Die Standardabweichung des angenäherten Fensters asymptotisch gleich (dh große Werte von N ) bis   L × σ _t   für   σ _t <0,14 .

Generalisiertes normales Fenster

Eine stärker verallgemeinerte Version des Gaußschen Fensters ist das verallgemeinerte Normalfenster. Unter Beibehaltung der Notation aus dem Gaußschen Fenster oben können wir dieses Fenster darstellen als

${\displaystyle w[n,p]=\exp \left(-\left({\frac {nN/2}{\sigma N/2}}\right)^{p}\right)}$

für jeden sogar . Bei ist dies ein Gaußsches Fenster, und wenn es sich nähert , nähert sich dies einem rechteckigen Fenster an. Die Fourier-Transformation dieses Fensters existiert nicht in geschlossener Form für ein allgemeines . Es zeigt jedoch die anderen Vorteile einer glatten, einstellbaren Bandbreite. Wie das § Tukey-Fenster bietet dieses Fenster natürlich eine "flache Spitze", um die Amplitudendämpfung einer Zeitreihe zu steuern (auf die wir mit Gauß-Fenster keine Kontrolle haben). Im Wesentlichen bietet es einen guten (kontrollierbaren) Kompromiss hinsichtlich spektraler Streuung, Frequenzauflösung und Amplitudendämpfung zwischen dem Gaußschen Fenster und dem Rechteckfenster. Siehe auch für eine Studie zur Zeit-Frequenz-Darstellung dieses Fensters (oder dieser Funktion). ${\displaystyle p}$${\displaystyle p=2}$${\displaystyle p}$${\displaystyle\infty}$${\displaystyle p}$

Tukey-Fenster

Tukey-Fenster, α  = 0,5

Das Tukey-Fenster, auch bekannt als Cosinus-Tapered Window , kann als Kosinuskeule der Breite Nα /2 (über Nα /2 + 1 Beobachtungen) betrachtet werden, die mit einem rechteckigen Fenster der Breite N (1 − α /2 . ) gefaltet wird ) .

${\displaystyle \left.{\begin{array}{lll}w[n]={\frac {1}{2}}\left[1-\cos \left({\frac {2\pi n}{ \alpha N}}\right)\right],\quad &0\leq n<{\frac {\alpha N}{2}}\\w[n]=1,\quad &{\frac {\alpha N }{2}}\leq n\leq {\frac {N}{2}}\\w[Nn]=w[n],\quad &0\leq n\leq {\frac {N}{2}} \end{array}}\right\}}$  

Bei α  = 0 wird es rechteckig und bei α  = 1 wird es ein Hann-Fenster.

Planck-Kegelfenster

Planck-Kegelfenster, ε  = 0,1

Das sogenannte "Planck-Taper"-Fenster ist eine Bump-Funktion , die in der Theorie der Einheitsverteilungen in Mannigfaltigkeiten weit verbreitet ist . Sie ist überall glatt (eine Funktion), ist jedoch außerhalb eines kompakten Bereichs genau null, innerhalb eines Intervalls innerhalb dieses Bereichs genau eins und variiert glatt und monoton zwischen diesen Grenzen. Seine Verwendung als Fensterfunktion in der Signalverarbeitung wurde erstmals im Zusammenhang mit der Gravitationswellenastronomie vorgeschlagen , inspiriert von der Planck-Verteilung . Sie ist als stückweise Funktion definiert :${\displaystyle C^{\infty}}$

${\displaystyle \left.{\begin{array}{lll}w[0]=0,\\w[n]=\left(1+\exp \left({\frac {\varepsilon N}{n} }-{\frac {\varepsilon N}{\varepsilon Nn}}\right)\right)^{-1},\quad &1\leq n<\varepsilon N\\w[n]=1,\quad & \varepsilon N\leq n\leq {\frac {N}{2}}\\w[Nn]=w[n],\quad &0\leq n\leq {\frac {N}{2}}\end {array}}\right\}}$

Der Grad der Verjüngung wird durch den Parameter ε gesteuert , wobei kleinere Werte schärfere Übergänge ergeben.

DPSS oder Slepian Fenster

Das DPSS (discrete prolate spheroidal sequence) oder Slepian Window maximiert die Energiekonzentration in der Hauptkeule und wird in der Multitaper- Spektralanalyse verwendet, die das Rauschen im Spektrum mittelt und den Informationsverlust an den Rändern des Fensters reduziert.

Die Hauptkeule endet bei einem Frequenz-Bin, das durch den Parameter α gegeben ist .

DPSS-Fenster, α  = 2

DPSS-Fenster, α  = 3

Die folgenden Kaiser-Fenster werden durch eine einfache Annäherung an die DPSS-Fenster erstellt:

Kaiser-Fenster, α  = 2

Kaiser-Fenster, α  = 3

Kaiser Fenster

Das Kaiser- oder Kaiser-Bessel-Fenster ist eine einfache Annäherung des DPSS-Fensters unter Verwendung von Bessel-Funktionen , entdeckt von James Kaiser .

${\displaystyle w[n]={\frac {I_{0}\left(\pi\alpha {\sqrt {1-\left({\frac {2n}{N}}-1\right)^{2 }}}\right)}{I_{0}(\pi\alpha)}},\quad 0\leq n\leq N}$    

${\displaystyle w_{0}(n)={\frac {I_{0}\left(\pi\alpha {\sqrt {1-\left({\frac {2n}{N}}\right)^{ 2}}}\right)}{I_{0}(\pi\alpha)}},\quad -N/2\leq n\leq N/2}$

wobei die modifizierte Bessel-Funktion erster Art nullter Ordnung ist. Ein variabler Parameter bestimmt den Kompromiss zwischen der Hauptkeulenbreite und den Seitenkeulenpegeln des spektralen Leckmusters. Die Breite der Hauptkeule zwischen den Nullen wird     in Einheiten von DFT-Bins angegeben, und ein typischer Wert ist 3. ${\displaystyle I_{0}}$${\displaystyle\alpha}$${\displaystyle 2{\sqrt {1+\alpha^{2}}},}$${\displaystyle\alpha}$

Dolph-Chebyshev-Fenster

Dolph-Chebyshev-Fenster, α  = 5

Minimiert die Tschebyscheff-Norm der Nebenkeulen für eine gegebene Hauptkeulenbreite.

Die Nullphasen-Dolph-Chebyshev-Fensterfunktion wird normalerweise durch ihre reellwertige diskrete Fourier-Transformation definiert : ${\displaystyle w_{0}[n]}$${\displaystyle W_{0}[k]}$

${\displaystyle W_{0}(k)={\frac {T_{N}{\big(}\beta\cos\left({\frac{\pi k}{N+1}}\right){\ groß)}}{T_{N}(\beta)}}={\frac {T_{N}{\big(}\beta\cos\left({\frac {\pi k}{N+1}} \right){\big)}}{10^{\alpha}}},\ 0\leq k\leq N.}$

T _n ( x ) ist das n- te Tschebyscheff-Polynom erster Art, ausgewertet in x , das berechnet werden kann mit

${\displaystyle T_{n}(x)={\begin{Fälle}\cos \!{\big (}n\cos ^{-1}(x){\big )}&{\text{if }} -1\leq x\leq 1\\\cosh\!{\big (}n\cosh^{-1}(x){\big)}&{\text{if }}x\geq 1\\( -1)^{n}\cosh\!{\big(}n\cosh^{-1}(-x){\big)}&{\text{if}}x\leq -1,\end{ Fälle}}}$

und

${\displaystyle \beta =\cosh\!{\big (}{\tfrac {1}{N}}\cosh^{-1}(10^{\alpha}){\big)}}$

ist die eindeutige positive reelle Lösung von , wobei der Parameter α die Tschebyscheff-Norm der Nebenkeulen auf −20 α  Dezibel setzt. ${\displaystyle T_{N}(\beta)=10^{\alpha}}$

Die Fensterfunktion kann aus W ₀ ( k ) durch eine inverse diskrete Fourier-Transformation (DFT) berechnet werden :

${\displaystyle w_{0}(n)={\frac {1}{N+1}}\sum _{k=0}^{N}W_{0}(k)\cdot e^{i2\pi kn/(N+1)},\ -N/2\leq n\leq N/2.}$

Die verzögerte Version des Fensters kann wie folgt abgerufen werden:

${\displaystyle w[n]=w_{0}\left(n-{\frac{N}{2}}\right),\quad 0\leq n\leq N,}$

die für gerade Werte von N wie folgt berechnet werden muss:

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{0}\left(n-{\frac {N}{2}}\right)={\frac {1}{N+1}}\sum _{k= 0}^{N}W_{0}(k)\cdot e^{\frac {i2\pi k(nN/2)}{N+1}}={\frac {1}{N+1}} \sum_{k=0}^{N}\left[\left(-e^{\frac {i\pi}{N+1}}\right)^{k}\cdot W_{0}(k )\right]e^{\frac {i2\pi kn}{N+1}},\end{ausgerichtet}}}$

was eine inverse DFT von ist  ${\displaystyle \left(-e^{\frac {i\pi}{N+1}}\right)^{k}\cdot W_{0}(k).}$

Variationen:

• Aufgrund der Äquiripple-Bedingung weist das Zeitbereichsfenster Unstetigkeiten an den Kanten auf. Eine Näherung, die sie vermeidet, indem die Equiripples an den Kanten abfallen, ist ein Taylor-Fenster .
• Eine Alternative zur inversen DFT-Definition ist ebenfalls verfügbar. [1] .

Ultrasphärisches Fenster

Der µ- Parameter des Ultraspherical-Fensters bestimmt, ob die Amplituden der Nebenkeulen seiner Fourier-Transformation mit der Frequenz abnehmen, gleich sind oder (hier gezeigt) zunehmen.

Das Ultraspherical Window wurde 1984 von Roy Streit eingeführt und findet Anwendung im Design von Antennenarrays, nicht-rekursiven Filterdesigns und Spektralanalysen.

Wie andere einstellbare Fenster hat das Ultraspherical-Fenster Parameter, die verwendet werden können, um seine Fourier-Transformations-Hauptkeulenbreite und die relative Nebenkeulen-Amplitude zu steuern. Im Gegensatz zu anderen Fenstern hat es einen zusätzlichen Parameter, der verwendet werden kann, um die Rate einzustellen, mit der die Nebenkeulen in der Amplitude abnehmen (oder zunehmen).

Das Fenster kann im Zeitbereich wie folgt ausgedrückt werden:

${\displaystyle w[n]={\frac {1}{N+1}}\left[C_{N}^{\mu}(x_{0})+\sum _{k=1}^{\ frac {N}{2}}C_{N}^{\mu}\left(x_{0}\cos {\frac {k\pi}{N+1}}\right)\cos {\frac {2n \pik}{N+1}}\right]}$

wobei das Ultraspherical Polynom vom Grad N, und und die Nebenkeulenmuster steuern. ${\displaystyle C_{N}^{\mu}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle\mu}$

Bestimmte spezifische Werte der Ausbeute anderer bekannter Fenster: und geben die Dolph-Chebyshev- bzw. Saramäki- Fenster an. Siehe hier für die Darstellung von Ultrasphärischen Fenstern mit unterschiedlicher Parametrisierung. ${\displaystyle\mu}$${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \mu=1}$

Exponentielles oder Poisson-Fenster

Exponentielles Fenster, τ  =  N /2

Exponentielles Fenster, τ  = ( N / 2) /( 60/8,69)

Das Poisson-Fenster oder allgemeiner das exponentielle Fenster nimmt zur Mitte des Fensters hin exponentiell zu und nimmt in der zweiten Hälfte exponentiell ab. Da die Exponentialfunktion niemals Null erreicht, sind die Werte des Fensters an seinen Grenzen nicht Null (es kann als Multiplikation einer Exponentialfunktion mit einem rechteckigen Fenster angesehen werden). Es ist definiert durch

${\displaystyle w[n]=e^{-\left|n-{\frac {N}{2}}\right|{\frac {1}{\tau }}},}$

wobei τ die Zeitkonstante der Funktion ist. Die Exponentialfunktion  fällt mit e 2,71828 oder ungefähr 8,69 dB pro Zeitkonstante ab. Dies bedeutet, dass für ein gezieltes Abklingen von D  dB über die halbe Fensterlänge die Zeitkonstante τ gegeben ist durch

${\displaystyle \tau ={\frac {N}{2}}{\frac {8.69}{D}}.}$

Hybridfenster

Fensterfunktionen wurden auch als multiplikative oder additive Kombinationen anderer Fenster konstruiert.

Bartlett–Hann-Fenster

Bartlett–Hann-Fenster

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\left|{\frac {n}{N}}-{\frac {1}{2}}\right|-a_{2}\ cos \left({\frac{2\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0.62;\quad a_{1}=0.48;\quad a_{2}=0.38\,}$

Planck–Bessel-Fenster

Planck-Bessel-Fenster, ε  = 0,1, α  = 4,45

Ein §Planck-Taper-Fenster multipliziert mit einem Kaiser-Fenster, das in Form einer modifizierten Bessel-Funktion definiert ist . Diese hybride Fensterfunktion wurde eingeführt, um das Peak-Nebenkeulen-Niveau des Planck-Taper-Fensters zu verringern und gleichzeitig seinen guten asymptotischen Zerfall auszunutzen. Es verfügt über zwei einstellbare Parameter, ε von der Planck-Kegel und α aus dem Kaiser - Fenster, so dass es angepasst werden kann , um die Anforderungen eines gegebenen Signals zu passen.

Hann-Poisson-Fenster

Hann-Poisson-Fenster, α  = 2

Ein Hann-Fenster multipliziert mit einem Poisson-Fenster , das keine Nebenkeulen hat, in dem Sinne, dass (für ) seine Fourier-Transformation für immer weg von der Hauptkeule abfällt. Es kann daher in Hill Climbing- Algorithmen wie der Newton-Methode verwendet werden . Das Hann-Poisson-Fenster wird definiert durch: ${\displaystyle \alpha\geqslant 2}$

${\displaystyle w[n]={\frac {1}{2}}\left(1-\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)\right)e^{ \frac {-\alpha \left|N-2n\right|}{N}}\,=\operatorname {hav} \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)e^{ \frac{-\alpha\left|N-2n\right|}{N}}\,}$

wobei α ein Parameter ist, der die Steigung der Exponentialfunktion steuert.

Andere Fenster

GAP-Fenster (GAP-optimiertes Nuttall-Fenster)

Verallgemeinertes adaptives Polynom (GAP) Fenster

Das GAP-Fenster ist eine Familie einstellbarer Fensterfunktionen, die auf einer symmetrischen polynomischen Ordnungsentwicklung basieren . Sie ist überall stetig mit stetiger Ableitung. Mit dem geeigneten Satz von Expansionskoeffizienten und der Expansionsordnung kann das GAP-Fenster alle bekannten Fensterfunktionen nachahmen und ihre spektralen Eigenschaften genau wiedergeben. ${\displaystyle K}$

${\displaystyle w_{0}[n]=a_{0}+\sum _{k=1}^{K}a_{2k}\left({\frac {n}{\sigma}}\right)^ {2k},\quad -{\frac{N}{2}}\leq n\leq {\frac{N}{2}},}$  

wo ist die Standardabweichung der Sequenz. ${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \{n\}}$

Zusätzlich kann ausgehend von einem Satz von Expansionskoeffizienten , der eine bestimmte bekannte Fensterfunktion nachahmt, das GAP-Fenster durch Minimierungsverfahren optimiert werden, um einen neuen Satz von Koeffizienten zu erhalten, die eine oder mehrere spektrale Eigenschaften verbessern, wie z Dämpfung und Nebenkeulenabfallrate. Daher kann eine GAP-Fensterfunktion mit entworfenen spektralen Eigenschaften in Abhängigkeit von der spezifischen Anwendung entwickelt werden. ${\displaystyle a_{2k}}$

Sinc- oder Lanczos-Fenster

Lanczos-Fenster

${\displaystyle w[n]=\operatorname {sinc} \left({\frac {2n}{N}}-1\right)}$

• verwendet in Lanczos Resampling
• für das Lanczos-Fenster ist definiert als${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)}$${\displaystyle \sin(\pix)/\pix}$
• auch als Sinc-Fenster bekannt , weil :

${\displaystyle w_{0}(n)=\operatorname {sinc} \left({\frac {2n}{N}}\right)\,}$ist die Hauptkeule einer normierten sinc-Funktion

Fenstervergleich

Fensterfunktionen im Frequenzbereich ("spectral Leakage")

Bei der Auswahl einer geeigneten Fensterfunktion für eine Anwendung kann diese Vergleichsgrafik hilfreich sein. Die Frequenzachse weist Einheiten von FFT-"Bins" auf, wenn das Fenster der Länge N auf Daten angewendet wird und eine Transformation der Länge N berechnet wird. Zum Beispiel ist der Wert bei Frequenz ½ "bin" (dritter Teilstrich) die Reaktion, die in den Bins k und k  + 1 auf ein sinusförmiges Signal bei der Frequenz k  + ½ gemessen würde . Sie ist relativ zur maximal möglichen Reaktion, die auftritt, wenn die Signalfrequenz eine ganzzahlige Anzahl von Bins ist. Der Wert bei der Frequenz 1/2 wird als maximaler Scalloping-Verlust des Fensters bezeichnet, was eine Metrik ist, die zum Vergleichen von Fenstern verwendet wird. Das rechteckige Fenster ist in Bezug auf diese Metrik merklich schlechter als die anderen.

Andere zu sehende Metriken sind die Breite der Hauptkeule und der Spitzenpegel der Nebenkeulen, die jeweils die Fähigkeit bestimmen, Signale vergleichbarer Stärke und Signale unterschiedlicher Stärke aufzulösen. Das rechteckige Fenster (zum Beispiel) ist die beste Wahl für ersteres und die schlechteste Wahl für letzteres. Was aus den Diagrammen nicht ersichtlich ist, ist, dass das rechteckige Fenster die beste Rauschbandbreite hat, was es zu einem guten Kandidaten für die Erkennung von Sinuskurven mit niedrigem Pegel in einer ansonsten weißen Rauschumgebung macht . Interpolationstechniken, wie beispielsweise Zero-Padding und Frequency-Shifting, sind verfügbar, um den potentiellen Scalloping-Verlust zu mindern.

Überlappende Fenster

Wenn die Länge eines zu transformierenden Datensatzes größer als notwendig ist, um die gewünschte Frequenzauflösung bereitzustellen, besteht eine gängige Praxis darin, ihn in kleinere Sätze zu unterteilen und diese einzeln zu fenstern. Um den "Verlust" an den Rändern des Fensters abzumildern, können sich die einzelnen Sätze zeitlich überlappen. Siehe Welch-Methode der Leistungsspektralanalyse und die modifizierte diskrete Kosinustransformation .

Zweidimensionale Fenster

Zweidimensionale Fenster werden üblicherweise bei der Bildverarbeitung verwendet, um unerwünschte Hochfrequenzen in der Bild-Fourier-Transformation zu reduzieren. Sie können aus eindimensionalen Fenstern in einer von zwei Formen konstruiert werden. Die trennbare Form ist trivial zu berechnen. Die radiale Form, die den Radius beinhaltet , ist isotrop , unabhängig von der Orientierung der Koordinatenachsen. Nur die Gaußsche Funktion ist sowohl separierbar als auch isotrop. Die trennbaren Formen aller anderen Fensterfunktionen haben Ecken, die von der Wahl der Koordinatenachsen abhängen. Die Isotropie/ Anisotropie einer zweidimensionalen Fensterfunktion wird von ihrer zweidimensionalen Fourier-Transformation geteilt. Der Unterschied zwischen der trennbaren und der radialen Form entspricht dem Ergebnis der Beugung von rechteckigen vs. kreisförmigen Aperturen, die als Produkt zweier sinc-Funktionen vs. einer Airy-Funktion dargestellt werden können. ${\displaystyle W(m,n)=w(m)w(n)}$${\displaystyle W(m,n)=w(r)}$${\displaystyle r={\sqrt {(mM/2)^{2}+(nN/2)^{2}}}}$

Siehe auch

• Spektrale Leckage
• Multitaper
• Apodisation
• Welch-Methode
• Kurzzeit-Fourier-Transformation
• Fenstergestaltungsmethode
• Kolmogorov–Zubenko-Filter

Anmerkungen

Seitenzitate

Verweise

Weiterlesen

• Harris, Frederic J. (September 1976). "Windows, Harmonic Analysis, and the Discrete Fourier Transform" (PDF) . apps.dtic.mil . Marineunterseezentrum, San Diego . Abgerufen am 08.04.2019 .
• Albrecht, Hans-Helge (2012). Maßgeschneiderte Cosinussummenfenster für minimale Nebenkeulen und minimale Nebenkeulen. Version 1.0 . ISBN 978-3-86918-281-0). Herausgeber: Physikalisch-Technische Bundesanstalt. Physikalisch-Technische Bundesanstalt. doi : 10.7795/110.20121022aa . ISBN 978-3-86918-281-0.
• Bergen, SWA; Antoniou, A. (2005). "Entwurf von nichtrekursiven digitalen Filtern unter Verwendung der Ultrasphärischen Fensterfunktion" . EURASIP Journal für angewandte Signalverarbeitung . 2005 (12): 1910–1922. Bibcode : 2005EJASP2005...44B . doi : 10.1155/ASP.2005.1910 .
• Prabhu, KMM (2014). Fensterfunktionen und ihre Anwendungen in der Signalverarbeitung . Boca Raton, FL: CRC-Presse. ISBN 978-1-4665-1583-3.
• US-Patent 7065150 , Park, Young-Seo, "System und Verfahren zum Erzeugen einer Root-Raised-Cosine-Orthogonal Frequency Division Multiplexing (RRC OFDM) Modulation", veröffentlicht 2003, erteilt 2006 

Externe Links

• Medien im Zusammenhang mit der Fensterfunktion bei Wikimedia Commons
• LabView-Hilfe, Eigenschaften von Glättungsfiltern, http://zone.ni.com/reference/en-XX/help/371361B-01/lvanlsconcepts/char_smoothing_windows/
• Erstellung und Eigenschaften von Cosinussummen-Fensterfunktionen, http://electronicsart.weebly.com/fftwindows.html
• Interaktive Online-FFT-, Fenster-, Auflösungs- und Leckagesimulation | RITEC | Bibliothek & Tools