Zak-Transformation - Zak transform
In der Mathematik ist die Zak-Transformation (auch als Gelfand- Mapping bekannt ) eine bestimmte Operation, die als Eingabe eine Funktion einer Variablen verwendet und als Ausgabe eine Funktion von zwei Variablen erzeugt. Die Ausgabefunktion wird als Zak-Transformation der Eingabefunktion bezeichnet. Die Transformation ist als eine unendliche Reihe definiert, in der jeder Term ein Produkt einer Dilatation einer Translation um eine ganze Zahl der Funktion und einer Exponentialfunktion ist . Bei Anwendungen der Zak-Transformation zur Signalverarbeitung stellt die Eingabefunktion ein Signal dar und die Transformation ist ein gemischtestime – Frequenzdarstellung des Signals. Das Signal kann reellwertig oder komplexwertig sein , definiert auf einer kontinuierlichen Menge (zum Beispiel den reellen Zahlen) oder einer diskreten Menge (zum Beispiel den ganzen Zahlen oder einer endlichen Teilmenge von ganzen Zahlen). Die Zak-Transformation ist eine Verallgemeinerung der diskreten Fourier-Transformation .
Die Zak-Transformation wurde von mehreren Leuten in verschiedenen Bereichen entdeckt und mit unterschiedlichen Namen bezeichnet. Es wurde "Gelfand-Mapping" genannt, weil Israel Gelfand es in seiner Arbeit über Eigenfunktionsentwicklungen eingeführt hat . Die Transformation wurde 1967 von Joshua Zak unabhängig wiederentdeckt, der sie als "kq-Darstellung" bezeichnete. Es scheint eine allgemeine Übereinstimmung unter Experten auf diesem Gebiet zu geben, sie die Zak-Transformation zu nennen, da Zak der erste war, der diese Transformation systematisch in einem allgemeineren Umfeld untersucht und ihre Nützlichkeit erkannt hat.
Zeitkontinuierliche Zak-Transformation: Definition
Beim Definieren der zeitkontinuierlichen Zak-Transformation ist die Eingabefunktion eine Funktion einer reellen Variablen. Sei also f ( t ) eine Funktion einer reellen Variablen t . Die zeitkontinuierliche Zak-Transformation von f ( t ) ist eine Funktion zweier reeller Variablen, von denen eine t ist . Die andere Variable kann mit w bezeichnet werden . Die zeitkontinuierliche Zak-Transformation wurde unterschiedlich definiert.
Definition 1
Sei a eine positive Konstante. Die Zak-Transformation von f ( t ), bezeichnet mit Z a [ f ], ist eine Funktion von t und w definiert durch
- .
={\sqrt {a}}\sum _{{k=-\infty}}^{{\infty}}f(at+ak)e^{{- 2\pikwi}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2716c01afca29abf8e2713e17ad6ebf387863084)
Definition 2
Der Spezialfall von Definition 1, der durch a = 1 erhalten wird, wird manchmal als Definition der Zak-Transformation genommen. In diesem speziellen Fall wird die Zak-Transformation von f ( t ) mit Z [ f ] bezeichnet.
- .
=\sum _{{k=-\infty}}^{{\infty}}f(t+k)e^{{-2\pi kwi}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14c43d62184c3a075028d9c18b74292496c651fe)
Definition 3
Die Notation Z [ f ] wird verwendet, um eine andere Form der Zak-Transformation zu bezeichnen. In dieser Form ist die Zak-Transformation von f ( t ) wie folgt definiert:
- .
=\sum _{{k=-\infty}}^{{\infty}}f(t+k)e^{{-k\nu i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03e958a39d25befa4a6fd445276fc4bb970f7c44)
Definition 4
Sei T eine positive Konstante. Die Zak-Transformation von f ( t ), bezeichnet mit Z T [ f ], ist eine Funktion von t und w definiert durch
- .
={\sqrt {T}}\sum _{{k=-\infty}}^{{\infty}}f(t+kT)e^{{- 2\pikwTi}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a79bff80c299271e777c4b8722027a04f18faade)
Hier t und w werden angenommen , um die Bedingungen erfüllen : 0 ≤ t ≤ T und 0 ≤ w ≤ 1 / T .
Beispiel
Die Zak-Transformation der Funktion
wird gegeben von
=e^{{-2\pi\lceil -t\rceil wi}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ab11bd42c3ec35805b4eec37bc3b4dcef991701)
wobei bezeichnet die kleinste ganze Zahl nicht kleiner als (die ceil-Funktion ).
Eigenschaften der Zak-Transformation
Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass die Zak-Transformation wie in Definition 2 angegeben ist.
1. Linearität
Seien a und b beliebige reelle oder komplexe Zahlen. Dann
=aZ[f](t,w)+bZ[g](t,w)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ac7575e6eeca9669b6834f6797e916830a55e4)
2. Periodizität
=Z[f](t,w)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/364571182e34ac8149fdc4f9694713001cb373c0)
3. Quasi-Periodizität
=e^{{2\pi wi}}Z[f](t,w)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa701c5ded113f55a854751c5404319e66ded1d7)
4. Konjugation
=\overline {Z[f]}(t,-w)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c119a4a1d4013401b61f7081987514013f66d7c)
5. Symmetrie
- Wenn f ( t ) gerade ist, dann
=Z[f](-t,-w)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9340d5d01aceebbb56b1b6a8371bc9c295eb9a7)
- Wenn f ( t ) ungerade ist, dann
=-Z[f](-t,-w)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89e675761f9de84fa1d3d6eb74a3e21c7b1517d0)
6. Faltung
Lassen Sie bezeichnen Faltung in Bezug auf die Variable t .
=Z[f](t,w)\Stern Z[g](t,w)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ea544b7c8197316779bb619506a5cb1f409b92c)
Inversionsformel
Bei gegebener Zak-Transformation einer Funktion kann die Funktion mit der folgenden Formel rekonstruiert werden:
\,dw.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4052cca8190c1fb5fcc884030a68b685dd68f008)
Diskrete Zak-Transformation: Definition
Beim Definieren der diskreten Zak-Transformation ist die Eingabefunktion eine Funktion einer ganzzahligen Variablen. Sei also f ( n ) eine Funktion einer ganzzahligen Variablen n ( n nimmt alle positiven, null und negativen ganzen Zahlen als Werte). Die diskrete Zak-Transformation von f ( n ) ist eine Funktion zweier reeller Variablen, von denen eine die ganzzahlige Variable n ist . Die andere Variable ist eine reelle Variable, die mit w bezeichnet werden kann . Die diskrete Zak-Transformation wurde ebenfalls unterschiedlich definiert. Im Folgenden wird jedoch nur eine der Definitionen angegeben.
Definition
Die diskrete Zak-Transformation der Funktion f ( n ), wobei n eine ganzzahlige Variable ist, die mit Z [ f ] bezeichnet wird, ist definiert durch
=\sum_{{k=-\infty}}^{{\infty}}f(n+k)e^{{-2\pi kwi}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76b8e17b2749a8f92d67b64212b5f07d98c3e7f1)
Inversionsformel
Bei gegebener diskreter Transformation einer Funktion f ( n ) kann die Funktion mit der folgenden Formel rekonstruiert werden:
\,dw.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b88f2f755b0afd39e0a95f0c142fddff20caa30d)
Anwendungen
Die Zak-Transformation wird erfolgreich in der Physik in der Quantenfeldtheorie, in der Elektrotechnik in der Zeit-Frequenz-Darstellung von Signalen und in der digitalen Datenübertragung eingesetzt. Die Zak-Transformation hat auch Anwendungen in der Mathematik. Es wurde beispielsweise im Gabor-Darstellungsproblem verwendet.