Achilleszahl - Achilles number

Demonstration mit Cuisenaire-Ruten , dass die Zahl 72 stark ist

Ein Achilles - Nummer ist eine Zahl, ist mächtig , aber nicht eine perfekte Leistung . Eine positive ganze Zahl n ist eine mächtige Zahl, wenn für jeden Primfaktor p von n auch p ² ein Teiler ist . Mit anderen Worten, jeder Primfaktor erscheint bei der Faktorisierung mindestens zum Quadrat. Alle Achilleszahlen sind mächtig. Allerdings sind nicht alle mächtigen Zahlen Achilleszahlen: nur diejenigen, die nicht als m ^{k dargestellt werden können} , wobei m und k positive ganze Zahlen größer als 1 sind.

Achilleszahlen wurden von Henry Bottomley nach Achilles benannt , einem Helden des Trojanischen Krieges , der ebenfalls mächtig, aber unvollkommen war. Starke Achilleszahlen sind Achilleszahlen, deren Euler-Totients auch Achilleszahlen sind.

Folge der Achilleszahlen

Eine Zahl n = p ₁ ^{a ₁} p ₂ ^{a ₂} … p _k ^{a _k} ist stark, wenn min( a ₁ , a ₂ , …, a _k ) 2 . Wenn zusätzlich gcd( a ₁ , a ₂ , …, a _k ) = 1 ist, ist die Zahl eine Achilleszahl.

Die Achilleszahlen bis 5000 sind:

72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 1125, 1152, 1323, 1352, 1372, 1568, 1800, 1944, 2000, 2312, 2592, 2700, 2888, 3087, 3200, 3267, 3456, 3528, 3872, 3888, 4000, 4232, 4500, 4563, 4608, 5000 (Sequenz A052486 im OEIS ).

Das kleinste Paar aufeinanderfolgender Achilleszahlen ist:

5425069447 = 7 ³ × 41 ² × 97 ²

5425069448 = 2 ³ × 26041 ²

Beispiele

108 ist eine starke Zahl. Seine Primfaktorzerlegung ist 2 ²  · 3 ³ , daher sind seine Primfaktoren 2 und 3. Sowohl 2 ² = 4 als auch 3 ² = 9 sind Teiler von 108. 108 kann jedoch nicht als m ^{k dargestellt werden} , wobei m und k . sind positive ganze Zahlen größer als 1, also ist 108 eine Achilleszahl.

360 ist keine Achilleszahl, weil sie nicht mächtig ist. Einer seiner Primfaktoren ist 5, aber 360 ist nicht durch 5 ² = 25 teilbar .

Schließlich ist 784 keine Achilleszahl. Es ist eine starke Zahl, denn 2 und 7 sind nicht nur ihre einzigen Primfaktoren, sondern auch 2 ² = 4 und 7 ² = 49 sind Teiler davon. Trotzdem ist es eine perfekte Kraft:

${\displaystyle 784=2^{4}\cdot 7^{2}=(2^{2})^{2}\cdot 7^{2}=(2^{2}\cdot 7)^{2 }=28^{2}.\,}$

Es ist also keine Achilleszahl.

500 = 2 ² × 5 ³ ist eine starke Achilleszahl, da ihr Euler-Totient von 200 = 2 ³ × 5 ² ebenfalls eine Achilleszahl ist.

Verweise