Oberfläche des Jungen - Boy's surface

Eine Animation von Boys Oberfläche

In der Geometrie ist Boys Oberfläche ein Eintauchen der realen projektiven Ebene in den 3-dimensionalen Raum, die Werner Boy 1901 gefunden hat. Er entdeckte sie im Auftrag von David Hilbert, um zu beweisen, dass die projektive Ebene nicht in den 3-Raum eintauchen konnte .

Die Oberfläche von Boy wurde erstmals 1978 von Bernard Morin explizit parametrisiert . Eine weitere Parametrisierung wurde von Rob Kusner und Robert Bryant entdeckt . Die Boy'sche Fläche ist eine der beiden möglichen Immersionen der realen projektiven Ebene, die nur einen einzigen Tripelpunkt haben.

Im Gegensatz zur römischen Oberfläche und der Kreuzkappe hat sie keine anderen Singularitäten als Selbstschnittpunkte ( dh sie hat keine Quetschstellen ).

Konstruktion

Papiereinbettung von Boy's Oberfläche

So erstellen Sie eine Jungenoberfläche:

1. Beginnen Sie mit einer Kugel. Entfernen Sie eine Kappe.
2. Befestigen Sie ein Ende von jedem der drei Streifen an abwechselnden Sechsteln der linken Kante, indem Sie die Kappe entfernen.
3. Biegen Sie jeden Streifen und befestigen Sie das andere Ende jedes Streifens am sechsten gegenüber dem ersten Ende, so dass die Innenseite der Kugel an einem Ende mit der Außenseite am anderen Ende verbunden ist. Machen Sie die Streifen um die Mitte herum, anstatt sie zu durchqueren.
4. Verbinden Sie die losen Kanten der Streifen. Die Fugen schneiden die Streifen.

Symmetrie der Oberfläche des Jungen

Die Oberfläche des Jungen hat eine 3-fache Symmetrie . Dies bedeutet, dass es eine Achse mit diskreter Rotationssymmetrie hat: Jede 120°-Drehung um diese Achse lässt die Oberfläche genau gleich aussehen. Die Oberfläche des Jungen kann in drei zueinander deckungsgleiche Teile geschnitten werden .

Model bei Oberwolfach

Modell einer Jungenoberfläche in Oberwolfach

Das Mathematische Forschungsinstitut Oberwolfach besitzt ein großes Modell einer Jungenoberfläche vor dem Eingang, konstruiert und im Januar 1991 von Mercedes-Benz gestiftet . Dieses Modell hat eine 3-fache Rotationssymmetrie und minimiert die Willmore-Energie der Oberfläche. Es besteht aus Stahlbändern, die das Bild eines Polarkoordinatengitters unter einer Parametrisierung von Robert Bryant und Rob Kusner darstellen. Die Meridiane (Strahlen) werden zu gewöhnlichen Möbiusstreifen , dh um 180 Grad verdreht. Alle bis auf einen der Breitenkreise (Radialkreise um den Ursprung) entsprechenden Streifen sind unverdreht, während der der Begrenzung des Einheitskreises entsprechende Streifen ein um dreimal 180 Grad verdrehter Möbiusstreifen ist – ebenso wie das Emblem des Instituts ( Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach 2011 ).

Anwendungen

Boysche Fläche kann verwendet werden , in Kugel Umstülpung , als auf halbem Weg Modell . Ein Half-Way-Modell ist ein Eintauchen der Kugel mit der Eigenschaft, dass eine Drehung innen und außen vertauscht und so verwendet werden kann, um eine Kugel umzustülpen (von innen nach außen zu drehen). Boys (der Fall p = 3) und Morins (der Fall p = 2) beginnen eine Folge von Halbwegmodellen mit höherer Symmetrie, die zuerst von George Francis vorgeschlagen wurde, indiziert durch die geraden ganzen Zahlen 2p (für p ungerade können diese Immersionen sein durch eine projektive Ebene faktorisiert). All dies liefert die Parametrisierung von Kusner.

Parametrierung der Boy's Oberfläche

Ein Blick auf die hier beschriebene Parametrierung

Die Oberfläche des Jungen kann auf verschiedene Weise parametrisiert werden. Eine von Rob Kusner und Robert Bryant entdeckte Parametrisierung ist die folgende: Gegeben eine komplexe Zahl w, deren Betrag kleiner oder gleich eins ist ( ), sei ${\displaystyle \|w\|\leq 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{1}&=-{3 \over 2}\operatorname {Im} \left[{w\left(1-w^{4}\right) \over w^{ 6}+{\sqrt {5}}w^{3}-1}\right]\\[4pt]g_{2}&=-{3 \over 2}\operatorname {Re} \left[{w\ left(1+w^{4}\right) \over w^{6}+{\sqrt {5}}w^{3}-1}\right]\\[4pt]g_{3}&=\ Operatorname {Im} \left[{1+w^{6} \over w^{6}+{\sqrt {5}}w^{3}-1}\right]-{1 \over 2}\\ \end{ausgerichtet}}}$

damit

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\frac {1}{g_{1}^{2}+g_{2}^{2}+g_{ 3}^{2}}}{\begin{pmatrix}g_{1}\\g_{2}\\g_{3}\end{pmatrix}}}$

wobei x , y und z die gewünschten kartesischen Koordinaten eines Punktes auf der Boy'schen Oberfläche sind.

Führt man eine Inversion dieser Parametrisierung zentriert auf den Tripelpunkt durch, erhält man eine vollständige Minimalfläche mit drei Enden (so wurde diese Parametrisierung natürlicherweise entdeckt). Dies impliziert, dass die Bryant-Kusner-Parametrisierung von Boys Flächen "optimal" in dem Sinne ist, dass es das "am wenigsten gebogene" Eintauchen einer projektiven Ebene in den Dreiraum ist .

Eigenschaft der Bryant-Kusner-Parametrisierung

Wird w durch den negativen Kehrwert seiner komplexen Konjugierten ersetzt , bleiben die Funktionen g ₁ , g ₂ und g ₃ von w unverändert. ${\textstyle -{1 \over w^{\star }},}$

Durch Ersetzen von w durch seine Real- und Imaginärteile w = s + it und Erweitern der resultierenden Parametrisierung kann man eine Parametrisierung der Boyschen Fläche im Hinblick auf rationale Funktionen von s und t erhalten . Dies zeigt, dass die Boysche Fläche nicht nur eine algebraische Fläche ist , sondern sogar eine rationale Fläche . Die Bemerkung des vorhergehenden Absatzes zeigt, dass die generische Faser dieser Parametrisierung aus zwei Punkten besteht (das heißt, dass fast jeder Punkt der Boyschen Oberfläche durch zwei Parameterwerte erhalten werden kann).

Die Oberfläche des Jungen mit der realen projektiven Ebene in Beziehung setzen

Sei die Bryant-Kusner-Parametrisierung der Boyschen Fläche. Dann ${\displaystyle P(w)=(x(w),y(w),z(w))}$

${\displaystyle P(w)=P\left(-{1 \over w^{\star }}\right).}$

Dies erklärt die Bedingung des Parameters: wenn dann Etwas komplizierter ist es jedoch für In diesem Fall hat man Das heißt, wenn der Punkt der Boy's-Fläche aus zwei Parameterwerten gewonnen wird: Mit anderen Worten, die Boy's-Fläche hat durch eine Scheibe parametrisiert worden, so dass Paare von diametral gegenüberliegenden Punkten auf dem Umfang der Scheibe äquivalent sind. Dies zeigt, dass die Oberfläche des Jungen das Abbild der realen projektiven Ebene RP ² durch eine glatte Abbildung ist . Das heißt, die Parametrisierung der Boyschen Fläche ist ein Eintauchen der realen projektiven Ebene in den euklidischen Raum . ${\displaystyle \left\|w\right\|\leq 1}$${\displaystyle \left\|w\right\|<1,}$${\textstyle \left\|-{1 \over w^{\star }}\right\|>1.}$${\displaystyle \left\|w\right\|=1.}$${\textstyle -{1 \over w^{\star }}=-w.}$${\displaystyle \left\|w\right\|=1,}$${\displaystyle P(w)=P(-w).}$

Verweise

Zitate

Quellen

Externe Links

• Junge Oberfläche bei MathCurve; enthält verschiedene Visualisierungen, verschiedene Gleichungen, nützliche Links und Referenzen
• Eine flächige Entfaltung der Boy-Oberfläche – Applet aus dem Plus Magazin .
• Boys Oberflächenressourcen , einschließlich des Originalartikels und einer Einbettung eines Topologen in die Oberwolfach Boys Oberfläche .
• Die Oberfläche eines LEGO Boys
• Ein Papiermodell der Oberfläche von Boy – Muster und Anleitung
• Java-basiertes Modell, das frei rotiert werden kann
• Ein Modell der Oberfläche von Boy in Constructive Solid Geometry zusammen mit einer Montageanleitung
• Oberflächenvisualisierungsvideo eines Jungen vom Mathematischen Institut der Serbischen Akademie der Künste und Wissenschaften