Zentrierte Dreieckszahl - Centered triangular number

Eine zentrierte (oder zentrierte ) Dreieckszahl ist eine zentrierte figurale Zahl , die ein Dreieck mit einem Punkt in der Mitte und allen anderen Punkten, die die Mitte in aufeinanderfolgenden Dreiecksschichten umgeben, darstellt. Die zentrierte Dreieckszahl für n ergibt sich aus der Formel

${\displaystyle {\frac {3n^{2}+3n+2}{2}}.}$

Das folgende Bild zeigt den Aufbau der zentrierten Dreieckszahlen mit den zugehörigen Figuren: Bei jedem Schritt wird die vorherige rot dargestellte Figur von einem Dreieck aus neuen Punkten in blau umgeben.

Die ersten paar zentrierten Dreieckszahlen sind:

1 , 4 , 10 , 19 , 31 , 46 , 64 , 85 , 109 , 136 , 166 , 199 , 235 , 274 , 316, 361, 409, 460, 514, 571, 631, 694, 760, 829, 901, 976, 1054, 1135, 1219, 1306, 1396, 1489, 1585, 1684, 1786, 1891, 1999, 2110, 2224, 2341, 2461, 2584, 2710, 2839, 2971, … (Sequenz A005448 im OEIS ).

Jede zentrierte Dreieckszahl ab 10 ist die Summe von drei aufeinanderfolgenden regulären Dreieckszahlen . Außerdem hat jede zentrierte Dreieckszahl einen Rest von 1, wenn sie durch drei geteilt wird, und der Quotient (falls positiv) ist die vorherige reguläre Dreieckszahl.

Die Summe der ersten n zentrierten Dreieckszahlen ist die magische Konstante für ein n mal n normales magisches Quadrat für n > 2.

Gnomon

Der Gnomon der n-ten zentrierten Dreieckszahl ist:${\displaystyle {\frac {3(n+1)^{2}+3(n+1)+2}{2}}-{\frac {3n^{2}+3n+2}{2}} ={\frac {3n^{2}+9n+8-3n^{2}-3n-2}{2}}={\frac {6n+6}{2}}=3n+3.}$

Zentrierte Quadratzahlen

Die zentrierten Dreieckszahlen können durch die zentrierten Quadratzahlen ausgedrückt werden:

${\displaystyle C_{3,n}={\frac {3C_{4,n}+1}{4}}}$

wo

${\displaystyle C_{4,n}=n^{2}+(n-1)^{2}.}$

Die generierende Funktion

Die erzeugende Funktion, die die zentrierten Dreieckszahlen liefert, ist

${\displaystyle {\frac {x^{2}+x+1}{(1-x)^{3}}}=1+4x+10x^{2}+19x^{3}+31x^{4 }+....}$

Verweise

• Lancelot Hogben : Mathematics for the Million . (1936), neu veröffentlicht von WW Norton & Company (September 1993), ISBN  978-0-393-31071-9
• Weisstein, Eric W. "Zentrierte Dreieckszahl" . MathWorld .