Charakterisierungen der Kategorie topologischer Räume - Characterizations of the category of topological spaces

In der Mathematik wird ein topologischer Raum normalerweise durch offene Mengen definiert . Es gibt jedoch viele gleichwertige Charakterisierungen der Kategorie der topologischen Räume . Jede dieser Definitionen bietet eine neue Denkweise über topologische Konzepte, und viele davon haben zu weiteren Untersuchungen und Verallgemeinerungen geführt.

Definitionen

Formal definiert jede der folgenden Definitionen eine konkrete Kategorie , und jedes Paar dieser Kategorien kann als konkret isomorph gezeigt werden . Dies bedeutet, dass es für jedes unten definierte Kategorienpaar einen Isomorphismus von Kategorien gibt , für den entsprechende Objekte die gleiche zugrundeliegende Menge haben und entsprechende Morphismen als Mengenfunktionen identisch sind.

Die konkreten Isomorphismen tatsächlich festzustellen ist mühsamer als erhellend. Der einfachste Ansatz besteht wahrscheinlich darin, Paare von inversen konkreten Isomorphismen zwischen jeder Kategorie und der Kategorie topologischer Räume Top zu konstruieren . Dies würde Folgendes beinhalten:

1. Definieren inverser Objektfunktionen, Überprüfen, ob sie invers sind, und Überprüfen, ob entsprechende Objekte denselben zugrunde liegenden Satz haben.
2. Prüfen, ob eine Mengenfunktion "stetig" (dh ein Morphismus) in der gegebenen Kategorie ist, und nur dann, wenn sie in Top stetig (ein Morphismus) ist .

Definition über offene Mengen

Objekte : alle topologischen Räume , dh alle Paare ( X , T ) der Menge X zusammen mit einer Sammlung T von Teilmengen von X, die erfüllt:

1. Die leere Menge und X sind in T .
2. Die Vereinigung jeder Menge von Mengen in T ist auch in T .
3. Der Schnittpunkt eines beliebigen Paars von Mengen in T ist auch in T .

Die Mengen in T sind die offenen Mengen .

Morphismen : alle gewöhnlichen stetigen Funktionen , dh alle Funktionen, bei denen das inverse Abbild jeder offenen Menge offen ist.

Bemerkungen : Dies ist die gewöhnliche Kategorie topologischer Räume .

Definition über abgeschlossene Mengen

Objekte : alle Paare ( X , T ) der Menge X zusammen mit einer Sammlung T von Teilmengen von X, die erfüllt:

1. Die leere Menge und X sind in T .
2. Der Schnittpunkt einer beliebigen Menge von Mengen in T liegt auch in T .
3. Die Vereinigung eines beliebigen Paars von Mengen in T ist auch in T .

Die Mengen in T sind die abgeschlossenen Mengen .

Morphismen : alle Funktionen, bei denen das inverse Abbild jeder abgeschlossenen Menge abgeschlossen ist.

Bemerkungen : Dies ist die Kategorie, die sich ergibt, wenn jedes Gitter offener Mengen in einem topologischen Raum durch sein ordnungstheoretisches Dual abgeschlossener Mengen, das Gitter der Komplemente offener Mengen, ersetzt wird. Die Beziehung zwischen den beiden Definitionen wird durch die Gesetze von De Morgan gegeben .

Definition über Abschlussoperatoren

Objekte : alle Paare ( X ,cl) der Menge X zusammen mit einem Abschlussoperator cl : P ( X ) → P ( X ) die die Kuratowski-Abschluss-Axiome erfüllen :

1. ${\displaystyle A\subseteq\operatorname {cl} (A)}$ (Ausdehnung)
2. ${\displaystyle \operatorname {cl} (\operatorname {cl} (A))=\operatorname {cl} (A)}$( Idempotenz )
3. ${\displaystyle \operatorname {cl} (A\cup B)=\operatorname {cl} (A)\cup \operatorname {cl} (B)}$ (Erhaltung binärer Vereinigungen)
4. ${\displaystyle \operatorname {cl} (\varnothing )=\varnothing }$ (Erhaltung der nullären Gewerkschaften)

Morphismen : alle abschlusserhaltenden Funktionen , dh alle Funktionen f zwischen zwei Abschlussräumen

${\displaystyle f\colon (X,\operatorname {cl} )\to (X',\operatorname {cl} ')}$

so dass für alle Teilmengen von${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle f(\operatorname {cl} (A))\subseteq \operatorname {cl} '(f(A))}$

Bemerkungen : Die Kuratowski-Abschluss-Axiome abstrahieren die Eigenschaften des Abschlussoperators auf einen topologischen Raum, der jeder Teilmenge seinen topologischen Abschluss zuordnet . Dieser topologische Abschlussoperator wurde in der Kategorientheorie verallgemeinert ; siehe Categorical Closure Operators von G. Castellini in "Categorical Perspectives", auf die unten verwiesen wird.

Definition über eine binäre Beziehung zwischen Punkten und Teilmengen

Ähnlich dem Ansatz der Kuratowski-Abschluss-Axiome kann man auch einen topologischen Raum als Menge zusammen mit einer Beziehung zwischen Punkten und Teilmengen definieren ( drückt intuitiv aus, dass man mit den Elementen von einem beliebig nahe kommen kann ) befriedigend ${\displaystyle X}$${\displaystyle \prec}$${\displaystyle x\prec A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x}$

• Es gibt keinen Punkt , so dass .${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x\prec \emptyset }$
• Wenn , dann .${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle a\prec A}$
• Wenn , dann oder .${\displaystyle x\prec A\cup B}$${\displaystyle x\prec A}$${\displaystyle x\prec B}$
• Wenn jedes Element und erfüllt , dann .${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle a\prec B}$${\displaystyle x\prec A}$${\displaystyle x\prec B}$

Definition über Innenoperatoren

Objekte : alle Paare ( X ,int) der Menge X zusammen mit einem inneren Operator int : P ( X ) → P ( X ), die die folgende Dualisierung der Kuratowski-Abschluss-Axiome erfüllen :

1. ${\displaystyle A\supseteq\operatorname {int} (A)}$
2. ${\displaystyle \operatorname {int} (\operatorname {int} (A))=\operatorname {int} (A)}$( Idempotenz )
3. ${\displaystyle \operatorname {int} (A\cap B)=\operatorname {int} (A)\cap \operatorname {int} (B)}$ (Erhaltung binärer Schnittmengen)
4. ${\displaystyle \operatorname {int} (X)=X}$ (Erhaltung von Nullstellen-Schnittpunkten)

Morphismen : alle innenerhaltenden Funktionen , dh alle Funktionen f zwischen zwei Innenräumen

${\displaystyle f\colon (X,\operatorname {int} )\to (X',\operatorname {int} ')}$

so dass für alle Teilmengen von${\displaystyle A}$${\displaystyle X'}$

${\displaystyle f^{-1}(\operatorname {int} '(A))\subset \operatorname {int} (f^{-1}(A))}$

Anmerkungen : Der Innenoperator weist jeder Teilmenge ihr topologisches Inneres zu , genauso wie der Abschlussoperator jeder Teilmenge ihren topologischen Abschluss zuweist .

Definition über Nachbarschaften

Objekte : alle Paare ( X , N ) der Menge X zusammen mit einer Nachbarschaftsfunktion N  : X → F ( X ), wobei F ( X ) die Menge aller Filter auf X bezeichnet , die für jedes x in X erfüllt :

1. Wenn U in N ( x ) ist, dann ist x in U .
2. Wenn U in N ( x ) ist, dann existiert V in N ( x ), so dass U für alle y in V in N ( y ) ist .

Morphismen : alle nachbarschaftserhaltenden Funktionen , dh alle Funktionen f  : ( X , N ) → ( Y , N' ) so dass, wenn V in N ( f ( x ) ) ist, U in N ( x ) existiert wie dass f ( U ) in V enthalten ist . Dies ist äquivalent zu der Frage, dass immer dann, wenn V in N ( f ( x ) ist) f ⁻¹ ( V ) in N ( x ) ist.

Bemerkungen : Diese Definition axiomatisiert den Begriff der Nachbarschaft . Wir sagen, dass U eine Umgebung von x ist, wenn U in N ( x ) ist. Die offenen Mengen können wiederhergestellt werden, indem eine Menge als offen deklariert wird, wenn sie eine Nachbarschaft jedes ihrer Punkte ist; das letzte Axiom besagt dann, dass jede Umgebung eine offene Menge enthält. Diese Axiome (gekoppelt mit der Hausdorff-Bedingung ) lassen sich auf Felix Hausdorffs ursprüngliche Definition eines topologischen Raums in Grundzüge der Mengenlehre zurückführen .

Definition durch Konvergenz

Die Kategorie der topologischen Räume kann auch über eine Konvergenzbeziehung zwischen Filtern auf X und Punkten von x definiert werden . Diese Definition zeigt, dass die Konvergenz von Filtern als grundlegender topologischer Begriff angesehen werden kann. Eine Topologie im üblichen Sinne kann wiederhergestellt werden, indem man eine Menge A als abgeschlossen deklariert , wenn, wann immer F ein Filter auf A ist , A alle Punkte enthält, gegen die F konvergiert.

In ähnlicher Weise kann die Kategorie der topologischen Räume auch über die Netzkonvergenz beschrieben werden . Was Filter betrifft, so zeigt diese Definition, dass die Konvergenz von Netzen als grundlegender topologischer Begriff angesehen werden kann. Eine Topologie im üblichen Sinne kann man wiedergewinnen, indem man eine Menge A als abgeschlossen deklariert , wenn, wann immer ( x _α ) ein Netz auf A ist , A alle Punkte enthält, gegen die ( x _α ) konvergiert.

Siehe auch

• Cauchy-Raum
• Konvergenzraum  – Verallgemeinerung des Konvergenzbegriffs aus der allgemeinen Topologie
• Filter in der Topologie  – Verwendung von Filtern zur Beschreibung und Charakterisierung aller grundlegenden topologischen Begriffe und Ergebnisse.
• Net (Mathematik)  – Eine Verallgemeinerung einer Folge von Punkten
• Sequentieller Raum  – Ein topologischer Raum , der durch Folgen charakterisiert werden kann
• Topologischer Raum  – Geometrischer Raum, ausgestattet mit einem Begriff der Nähe
• Topologie  – Teilgebiet der Mathematik, das sich mit kontinuierlichen Deformationen befasst

Verweise

• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst & Strecker, George E. (1990). Abstrakte und konkrete Kategorien . Ursprünglich publiz. John Wiley & Söhne. ISBN  0-471-60922-6 . (jetzt kostenlose Online-Ausgabe)
• Joshi, KD, Einführung in die allgemeine Topologie , New Age International, 1983, ISBN  0-85226-444-5
• Koslowsk und Melton, Hrsg., Kategorische Perspektiven , Birkhauser, 2001, ISBN  0-8176-4186-6
• Wyler, Oswald (1996). Konvergenzaxiome für die Topologie. Ann. NY Akad. Wissenschaft 806 , 465-475