Cointegration - Cointegration

Die Kointegration ist eine statistische Eigenschaft einer Sammlung ( X ₁ ,  X ₂ , ...,  X _k ) von Zeitreihenvariablen . Zunächst müssen alle Reihen in der Reihenfolge d integriert werden (siehe Reihenfolge der Integration ). Wenn als nächstes eine lineare Kombination dieser Sammlung in einer Größenordnung von weniger als d integriert wird, wird die Sammlung als mitintegriert bezeichnet. Formell, wenn ( X , Y , Z ) sind jeweils integriert , um d , und es existiert Koeffizienten ein , b , c , so daß aX  +  bY  +  cZ Ordnungs als d weniger integriert ist, dann X , Y und Z sind kointegriert . Die Kointegration ist zu einer wichtigen Eigenschaft in der zeitgenössischen Zeitreihenanalyse geworden. Zeitreihen haben oft Trends - entweder deterministisch oder stochastisch . In einem einflussreichen Artikel lieferten Charles Nelson und Charles Plosser (1982) statistische Belege dafür, dass viele makroökonomische Zeitreihen in den USA (wie BSP, Löhne, Beschäftigung usw.) stochastische Trends aufweisen.

Einführung

Wenn zwei oder mehr Reihen einzeln integriert sind (im Sinne von Zeitreihen), aber eine lineare Kombination von ihnen eine niedrigere Integrationsordnung aufweist , wird die Reihe als kointegriert bezeichnet. Ein häufiges Beispiel ist, wenn die einzelnen Reihen integrierte ( ) erster Ordnung sind, aber ein ( kointegrierender ) Koeffizientenvektor existiert, um eine stationäre lineare Kombination von ihnen zu bilden. Zum Beispiel bewegen sich ein Börsenindex und der Preis des zugehörigen Terminkontrakts im Laufe der Zeit, wobei jeder ungefähr einem zufälligen Spaziergang folgt . Das Testen der Hypothese, dass ein statistisch signifikanter Zusammenhang zwischen dem Futures-Preis und dem Spot-Preis besteht, könnte nun durch Testen auf das Vorhandensein einer kointegrierten Kombination der beiden Serien erfolgen. ${\ displaystyle I (1)}$

Geschichte

Der erste, der das Konzept der falschen - oder unsinnigen - Regression einführte und analysierte, war Udny Yule im Jahr 1926. Vor den 1980er Jahren verwendeten viele Ökonomen lineare Regressionen für instationäre Zeitreihendaten, die Nobelpreisträger Clive Granger und Paul Newbold als a gefährlicher Ansatz, der zu einer falschen Korrelation führen kann , da Standard-Detrending-Techniken zu Daten führen können, die noch nicht stationär sind. Grangers Arbeit von 1987 mit Robert Engle formalisierte den Ansatz des integrierenden Vektors und prägte den Begriff.

Bei integrierten Prozessen haben Granger und Newbold gezeigt, dass De-Trending das Problem der falschen Korrelation nicht beseitigt und dass die überlegene Alternative darin besteht, die Ko-Integration zu überprüfen. Zwei Serien mit Trends können nur dann gemeinsam integriert werden, wenn eine echte Beziehung zwischen beiden besteht. Daher besteht die derzeitige Standardmethode für Zeitreihenregressionen darin, alle beteiligten Zeitreihen auf Integration zu überprüfen. Wenn es auf beiden Seiten der Regressionsbeziehung Reihen gibt , können Regressionen zu irreführenden Ergebnissen führen. ${\ displaystyle I (1)}$${\ displaystyle I (1)}$${\ displaystyle I (1)}$

Das mögliche Vorhandensein einer Kointegration muss bei der Auswahl einer Technik zum Testen von Hypothesen bezüglich der Beziehung zwischen zwei Variablen mit Einheitswurzeln (dh integriert von mindestens einer Ordnung) berücksichtigt werden . Das übliche Verfahren zum Testen von Hypothesen bezüglich der Beziehung zwischen instationären Variablen bestand darin, gewöhnliche Regressionen der kleinsten Quadrate (OLS) für differenzierte Daten durchzuführen . Diese Methode ist verzerrt, wenn die instationären Variablen zusammengeführt werden.

Zum Beispiel könnte die Regression der Verbrauchsreihen für ein Land (z. B. Fidschi) gegen das BSP für ein zufällig ausgewähltes unähnliches Land (z. B. Afghanistan) eine Beziehung mit einem hohen R-Quadrat ergeben (was auf eine hohe Erklärungskraft für den Verbrauch Fidschis aus dem afghanischen BSP hindeutet ). Dies wird als falsche Regression bezeichnet : Zwei integrierte Reihen, die nicht direkt kausal zusammenhängen, können dennoch eine signifikante Korrelation aufweisen. Dieses Phänomen wird als Störkorrelation bezeichnet. ${\ displaystyle I (1)}$

Tests

Die drei Hauptmethoden zum Testen der Kointegration sind:

Engle-Granger-Zwei-Schritt-Methode

Wenn und nicht stationär sind und die Integrationsreihenfolge d = 1 ist, muss eine lineare Kombination von ihnen für einen Wert von und stationär sein . Mit anderen Worten: ${\ displaystyle x_ {t}}$${\ displaystyle y_ {t}}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle u_ {t}}$

${\ displaystyle y_ {t} - \ beta x_ {t} = u_ {t} \,}$

wo ist stationär. ${\ displaystyle u_ {t}}$

Wenn wir das wüssten , könnten wir es einfach mit so etwas wie einem Dickey-Fuller-Test , einem Phillips-Perron-Test auf Stationarität testen und fertig sein. Aber weil wir es nicht wissen , müssen wir dies zuerst schätzen, im Allgemeinen unter Verwendung gewöhnlicher kleinster Quadrate , und dann unseren Stationaritätstest für die geschätzte Reihe durchführen, die oft angegeben wird . ${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle u_ {t}}$${\ displaystyle {\ hat {u}} _ {t}}$

Eine zweite Regression wird dann für die ersten differenzierten Variablen der ersten Regression ausgeführt, und die verzögerten Residuen werden als Regressor eingeschlossen. ${\ displaystyle {\ hat {u}} _ {t-1}}$

Johansen-Test

Der Johansen-Test ist ein Test für die Kointegration, der im Gegensatz zur Engle-Granger-Methode mehr als eine Kointegrationsbeziehung zulässt. Dieser Test unterliegt jedoch asymptotischen Eigenschaften, dh großen Proben. Wenn die Stichprobengröße zu klein ist, sind die Ergebnisse nicht zuverlässig und es sollte ARDL (Auto Regressive Distributed Lags) verwendet werden.

Phillips-Ouliaris-Kointegrationstest

Peter CB Phillips und Sam Ouliaris (1990) zeigen, dass auf Residuen basierende Einheitswurzeltests, die auf die geschätzten kointegrierenden Residuen angewendet werden, unter der Nullhypothese der Nichtkointegration nicht die üblichen Dickey-Fuller-Verteilungen aufweisen. Aufgrund des Störregressionsphänomens unter der Nullhypothese weist die Verteilung dieser Tests asymptotische Verteilungen auf, die von (1) der Anzahl der deterministischen Trendterme und (2) der Anzahl der Variablen abhängen, mit denen die Co-Integration getestet wird. Diese Verteilungen sind als Phillips-Ouliaris-Verteilungen bekannt, und kritische Werte wurden tabellarisch aufgeführt. In endlichen Proben besteht eine überlegene Alternative zur Verwendung dieser asymptotischen kritischen Werte darin, kritische Werte aus Simulationen zu generieren.

Multikointegration

In der Praxis wird die Kointegration häufig für zwei Reihen verwendet, ist jedoch allgemeiner anwendbar und kann für Variablen höherer Ordnung verwendet werden (um korrelierte Beschleunigungen oder andere Effekte der zweiten Differenz zu erfassen). Die Multikointegration erweitert die Kointegrationstechnik über zwei Variablen hinaus und gelegentlich auf Variablen, die in unterschiedlichen Reihenfolgen integriert sind. ${\ displaystyle I (1)}$

Variable Verschiebungen in langen Zeitreihen

Tests für die Kointegration gehen davon aus, dass der Kointegrationsvektor während des Untersuchungszeitraums konstant ist. In der Realität ist es möglich, dass sich die langfristige Beziehung zwischen den zugrunde liegenden Variablen ändert (Verschiebungen im Kointegrationsvektor können auftreten). Der Grund dafür könnte technologischer Fortschritt, Wirtschaftskrisen, Änderungen der Präferenzen und des Verhaltens der Menschen entsprechend, Änderungen der Politik oder des Regimes sowie organisatorische oder institutionelle Entwicklungen sein. Dies ist besonders wahrscheinlich, wenn der Stichprobenzeitraum lang ist. Um dieses Problem zu berücksichtigen, wurden Tests für die Kointegration mit einem unbekannten Strukturbruch eingeführt , und es sind auch Tests für die Kointegration mit zwei unbekannten Brüchen verfügbar.

Bayesianische Folgerung

Es wurden verschiedene Bayes'sche Methoden vorgeschlagen, um die posteriore Verteilung der Anzahl der Kointegrationsbeziehungen und der Kointegrationslinearkombinationen zu berechnen.

Siehe auch

• Fehlerkorrekturmodell
• Granger-Kausalität
• Stationäre Subraumanalyse

Verweise

Weiterführende Literatur

• Enders, Walter (2004). "Cointegrations- und Fehlerkorrekturmodelle" . Applied Econometrics Time Series (2. Aufl.). New York: Wiley. S.  319–386 . ISBN   978-0-471-23065-6 .
• Hayashi, Fumio (2000). Ökonometrie . Princeton University Press. pp.  623 -669. ISBN   978-0-691-01018-2 .
• Maddala, GS ; Kim, In-Moo (1998). Einheitswurzeln, Cointegration und Strukturwandel . Cambridge University Press. S. 155–248. ISBN   978-0-521-58782-2 .
• Murray, Michael P. (1994). "Eine Betrunkene und ihr Hund: Ein Beispiel für Cointegration und Fehlerkorrektur" (PDF) . Der amerikanische Statistiker . 48 (1): 37–39. doi : 10.1080 / 00031305.1994.10476017 . Eine intuitive Einführung in die Integration.