Descartes-Nummer - Descartes number

In der Zahlentheorie ist eine Descartes-Zahl eine ungerade Zahl, die eine ungerade perfekte Zahl gewesen wäre , wenn einer ihrer zusammengesetzten Faktoren eine Primzahl wäre . Sie sind nach René Descartes benannt, der beobachtete, dass die Zahl D = 3 ² ⋅7 ² ⋅11 ² ⋅13 ² ⋅22021 = (3⋅1001) ²  ⋅ (22⋅1001 − 1) = 198585576189 eine ungerade perfekte Zahl wäre, wenn nur 22021 waren eine Primzahl , da die Teilersummenfunktion für D erfüllen würde, wenn 22021 eine Primzahl wäre,

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\sigma (D)&=(3^{2}+3+1)\cdot (7^{2}+7+1)\cdot (11^{2}+11 +1)\cdot (13^{2}+13+1)\cdot (22021+1)=(13)\cdot (3\cdot 19)\cdot (7\cdot 19)\cdot (3\cdot 61 )\cdot (22\cdot 1001)\\&=3^{2}\cdot 7\cdot 13\cdot 19^{2}\cdot 61\cdot (22\cdot 7\cdot 11\cdot 13)=2 \cdot (3^{2}\cdot 7^{2}\cdot 11^{2}\cdot 13^{2})\cdot (19^{2}\cdot 61)=2\cdot (3^{ 2}\cdot 7^{2}\cdot 11^{2}\cdot 13^{2})\cdot 22021=2D,\end{ausgerichtet}}}$

wobei wir die Tatsache ignorieren, dass 22021 zusammengesetzt ist ( 22021 = 19 ²  ⋅ 61 ).

A Descartes - Nummer wird als eine ungerade Zahl festgelegt n = m  ⋅  p wobei m und p sind coprime und 2 n = σ ( m ) ⋅ ( p + 1) , von wo aus p als 'Täuschungs' Prime genommen wird. Das angegebene Beispiel ist das einzige derzeit bekannte.

Wenn m eine ungerade fast perfekte Zahl ist , d. h. σ( m ) = 2 m − 1 und 2 m − 1 als 'Spoof'-Primzahl genommen wird, dann ist n = m  ⋅ (2 m − 1) eine Descartes-Zahl , da σ( n ) = σ( m  ⋅ (2 m − 1)) = σ( m ) ⋅ 2 m = (2 m − 1) ⋅ 2 m = 2 n . Wäre 2 m − 1 eine Primzahl, wäre n eine ungerade vollkommene Zahl.

Eigenschaften

Bankenet al. im Jahr 2008 hat gezeigt , dass , wenn n a Würfel -freien Descartes Zahl nicht teilbar durch , dann n eine Million verschiedene Primteiler hat über. ${\displaystyle 3}$

Verallgemeinerungen

John Voight verallgemeinerte Descartes-Zahlen, um negative Exponenten zuzulassen. Er hat das Beispiel gefunden . Nachfolgende Arbeiten einer Gruppe an der Brigham-Young-Universität fanden weitere Beispiele ähnlich dem Beispiel von Voight. ${\displaystyle 3^{4}7^{2}11^{2}19^{2}(-127)^{1}}$

Siehe auch

• Erdős-Nicolas-Zahl , eine andere Art der fast perfekten Zahl

Anmerkungen

Verweise

• Banken, William D.; Güloglu, Ahmet M.; Nevans, C. Wesley; Saidak, Filip (2008). "Descartes-Zahlen". In De Koninck, Jean-Marie ; Granville, Andrew ; Luca, Florian (Hrsg.). Anatomie der ganzen Zahlen. Basierend auf dem CRM-Workshop, Montreal, Kanada, 13.-17. März 2006 . CRM-Proceedings und Vorlesungsnotizen. 46 . Providence, RI: Amerikanische Mathematische Gesellschaft . S. 167–173. ISBN 978-0-8218-4406-9. Zbl  1186.11004 .
• Klee, Viktor ; Wagen, Stan (1991). Alte und neue ungelöste Probleme der ebenen Geometrie und Zahlentheorie . Die Dolciani Mathematische Expositionen. 11 . Washington, DC: Mathematische Vereinigung Amerikas . ISBN 0-88385-315-9. Zbl  0784.51002 .

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