Dunford - Pettis Eigentum - Dunford–Pettis property

In der Funktionsanalyse ist die Dunford-Pettis-Eigenschaft , benannt nach Nelson Dunford und BJ Pettis , eine Eigenschaft eines Banach-Raums, die besagt, dass alle schwach kompakten Operatoren von diesem Raum in einen anderen Banach-Raum vollständig kontinuierlich sind. Viele Standard-Banach-Räume haben diese Eigenschaft, insbesondere den Raum C ( K ) kontinuierlicher Funktionen auf einem kompakten Raum und den Raum L ¹ ( μ ) der integrierbaren Lebesgue-Funktionen auf einem Messraum . Alexander Grothendieck führte das Konzept in den frühen 1950er Jahren ein ( Grothendieck 1953 ), nach der Arbeit von Dunford und Pettis, die frühere Ergebnisse von Shizuo Kakutani , Kōsaku Yosida und mehreren anderen entwickelten. Wichtige Ergebnisse wurden kürzlich von Jean Bourgain erzielt . Trotzdem ist die Liegenschaft Dunford-Pettis nicht vollständig verstanden.

Definition

Ein Banachraum X hat die Dunford-Pettis-Eigenschaft, wenn jeder stetige schwach kompakte Operator T : X → Y von X in einen anderen Banachraum Y schwach kompakte Mengen in X in normkompakte Mengen in Y umwandelt (solche Operatoren werden als vollständig stetig bezeichnet ). Eine wichtige äquivalente Definition ist, dass für alle schwach konvergenten Sequenzen ( x _n ) von X und ( f _n ) des Doppelraums X ^∗ , die (schwach) zu x und f konvergieren , die Sequenz f _n ( x _n ) zu f ( konvergiert) x) .

Gegenbeispiele

• Die zweite Definition kann nicht eingängig erscheint auf dem ersten, sondern eine Orthonormalbasis betrachten e _n einen unendlichdimensionale, trennbaren Hilbertraum H . Dann ist e _n → 0 schwach, aber für alle n ,

${\ displaystyle \ langle e_ {n}, e_ {n} \ rangle = 1.}$

Daher können trennbare unendlich dimensionale Hilbert-Räume nicht die Dunford-Pettis-Eigenschaft haben.

• Betrachten Sie als weiteres Beispiel den Raum L ^p (−π, π), in dem 1 < p <∞ ist. Die Sequenzen x _n = e ^inx in L ^p und f _n = e ^inx in L ^q = ( L ^p ) * konvergieren beide schwach gegen Null. Aber

${\ displaystyle \ langle f_ {n}, x_ {n} \ rangle = \ int \ begrenzt _ {- \ pi} ^ {\ pi} 1 \, {\ rm {d}} x = 2 \ pi.}$

• Im Allgemeinen darf kein unendlich-dimensionaler reflexiver Banach-Raum die Dunford-Pettis-Eigenschaft haben. Insbesondere ein unendlichdimensionaler Hilbert-Raum und allgemeiner Lp-Räume mit 1 <p <∞ besitzen diese Eigenschaft nicht.

Beispiele

• Wenn X ein kompakter Hausdorff-Raum ist , hat der Banach-Raum C ( X ) stetiger Funktionen mit der einheitlichen Norm die Dunford-Pettis-Eigenschaft.

Verweise

• Bourgain, Jean (1981), "Auf dem Grundstück Dunford-Pettis", Proceedings of the American Mathematical Society , 81 (2): 265–272, doi : 10.2307 / 2044207 , JSTOR   2044207 CS1-Wartung: entmutigter Parameter ( Link )
• Grothendieck, Alexander (1953), Canadian Journal of Mathematics , 5 : 129–173, doi : 10.4153 / CJM-1953-017-4 CS1-Wartung: entmutigter Parameter ( Link )
• JMF Castillo, SY Shaw (2001) [1994], "Dunford-Pettis-Eigenschaft" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Lin, Pei-Kee (2004), Köthe-Bochner-Funktionsräume , Birkhäuser, ISBN   0-8176-3521-1 , OCLC   226084233
• Randrianantoanina, Narcisse (1997), "Einige Anmerkungen zur Dunford-Pettis-Liegenschaft" (PDF) , Rocky Mountain Journal of Mathematics , 27 (4): 1199–1213, doi : 10.1216 / rmjm / 1181071869 , S2CID   15539667