Nichtagon - Nonagon

Reguläres Enneagon (Nonagon)
Ein normales Enneagon (Nonagon)
Typ	Regelmäßiges Vieleck
Kanten und Scheitelpunkte	9
Schläfli-Symbol	{9}
Coxeter-Diagramm
Symmetriegruppe	Dieder (D 9 ), Ordnung 2×9
Innenwinkel ( Grad )	140°
Doppelpolygon	Selbst
Eigenschaften	Konvex , zyklisch , gleichseitig , isogonal , isotoxal

In Geometrie , ein Neuneck ( / n ɒ n ə ɡ ɒ n / ) oder enneagon ( / ɛ n i ə ɡ ɒ n / ) ist ein neunseitiger Polygon oder 9-Ecks.

Der Name Neuneck ist eine Präfix Hybridbildung , aus Latein ( Nonus „neunte“ + Gonon ), verwendete in äquivalenter Weise , bezeugt schon im 16. Jahrhundert in Französisch nonogone und in englischer Sprache aus dem 17. Jahrhundert. Der Name enneagon kommt vom griechischen enneagonon (εννεα, „neun“ + γωνον (von γωνία = „Ecke“)) und ist wohl korrekter, wenn auch weniger verbreitet als „nonagon“.

Regelmäßiges Nonagon

Ein regelmäßiges Neueck wird durch das Schläfli-Symbol {9} dargestellt und hat Innenwinkel von 140°. Die Fläche eines regulären Nichtagons der Seitenlänge a ist gegeben durch

${\displaystyle A={\frac {9}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi}{9}}=(9/2)ar=9r^{2}\tan(\ pi /9)}$

${\displaystyle =(9/2)R^{2}\sin(2\pi/9)\simeq 6.18182\,a^{2},}$

wobei der Radius r des eingeschriebenen Kreises des regelmäßigen Neunecks ist

${\displaystyle r=(a/2)\cot(\pi/9)}$

und wobei R der Radius seines umschriebenen Kreises ist :

${\displaystyle R={\sqrt {(a/2)^{2}+r^{2}}}=r\sec(\pi /9).}$

Konstruktion

Obwohl ein regelmäßiges Neueck mit Zirkel und Lineal nicht konstruierbar ist (wie 9 = 3 ² , das kein Produkt verschiedener Fermat-Primzahlen ist ), gibt es sehr alte Konstruktionsmethoden, die sehr enge Näherungen ergeben.

Es kann auch mit Neusis konstruiert werden oder durch die Verwendung eines Winkel-Trisektors .

Nonagon, eine Animation aus einer Neusis-Konstruktion basierend auf der Winkeldreiektion 120° mittels Tomahawk , am Ende 10 s Pause

Nonagon, eine Neusis-Konstruktion, Basis ist ein Sechseck mit Dreiteilung des Winkels nach Archimedes , Animation, am Ende 10 s Pause

Näherungen

Näherung I

Genauigkeit (linear): 10 ^-6

Das Folgende ist eine ungefähre Konstruktion eines nonagon unter Verwendung eines Lineals und Kompass .

Beispiel zur Verdeutlichung des Fehlers, wenn der konstruierte Zentriwinkel 39,99906° beträgt:
Bei einem umschriebenen Kreisradius r = 100 m würde der absolute Fehler der 1. Seite ca. 1,6 mm betragen .

Näherung II

Genauigkeit (linear): 10 ^-10

• Verkleinerung des Winkels JMK (auch 60 °) mit vier Zweiteilungen von Winkel- und machen ein Drittel des Kreisbogens MON mit einer ungefähren Lösung zwischen Halbierungen der Winkel w ₃ und w ₄ .
• Gerade Hilfslinie g zielt über den Punkt O auf den Punkt N (praktisch ein Lineal an den Punkten O und N angelegt), zwischen O und N, also keine Hilfslinie.

Damit ist der Kreisbogen MON für den späteren Schnittpunkt R frei zugänglich.

${\displaystyle \scriptstyle \angle {}}$ RMK = 40.0000000052441...°

360° ÷ 9 = 40°

${\displaystyle \scriptstyle \angle {}}$ RMK - 40° = 5,2...E-9°

Beispiel zur Veranschaulichung des Fehlers :

Bei einem umschriebenen Kreisradius

r = 100.000 km, würde der absolute Fehler der 1. Seite ca. 8,6 mm betragen.

Siehe auch die Berechnung (Berechnung) .

• 

  Nonagon an einem bestimmten umschriebenen Kreis , Animation

• 

  Nonagon bei gegebener Seitenlänge, Animation

Symmetrie

Symmetrien eines regelmäßigen Enneagons. Scheitelpunkte werden durch ihre Symmetriepositionen gefärbt. Blaue Spiegel werden durch Scheitelpunkte und violette Spiegel durch Kanten gezeichnet. Drehbefehle werden in der Mitte gegeben.

Das reguläre Enneagon hat Dih ₉ -Symmetrie , Ordnung 18. Es gibt 2 Untergruppen-Diedersymmetrien: Dih ₃ und Dih ₁ , und 3 zyklische Gruppensymmetrien : Z ₉ , Z ₃ und Z ₁ .

Diese 6 Symmetrien können in 6 verschiedenen Symmetrien auf dem Enneagon gesehen werden. John Conway beschriftet diese durch eine Buchstaben- und Gruppenreihenfolge. Die volle Symmetrie der regulären Form ist r18 und keine Symmetrie ist mit a1 bezeichnet . Die Diedersymmetrien werden unterteilt, je nachdem, ob sie durch Ecken ( d für Diagonalen) oder Kanten ( p für Senkrechte) verlaufen, und i wenn Reflexionslinien sowohl durch Kanten als auch durch Ecken verlaufen. Zyklische Symmetrien in der mittleren Spalte sind mit g für ihre zentralen Gyrationsordnungen gekennzeichnet.

Jede Untergruppensymmetrie erlaubt einen oder mehrere Freiheitsgrade für unregelmäßige Formen. Nur die Untergruppe g9 hat keine Freiheitsgrade, sondern kann als gerichtete Kanten angesehen werden .

Fliesen

Das regelmäßige Enneagon kann die euklidische Kachelung mit Lücken tesselieren. Diese Lücken können mit regelmäßigen Sechsecken und gleichschenkligen Dreiecken gefüllt werden. In der Notation des Symmetroheders wird diese Kachelung als H(*;3;*;[2]) bezeichnet, wobei H für *632 hexagonale Symmetrie in der Ebene steht.

Grafiken

Der vollständige Graph von K ₉ wird oft als regelmäßiges Enneagon gezeichnet, bei dem alle 36 Kanten verbunden sind. Dieser Graph stellt auch eine orthographische Projektion der 9 Scheitelpunkte und 36 Kanten des 8-Simplex dar .

8-simplex (8D)

Referenzen zur Popkultur

• They Might Be Giants haben auf ihrem Kinderalbum Here Come the 123s einen Song mit dem Titel "Nonagon" . Es bezieht sich sowohl auf einen Teilnehmer einer Party, bei der "jeder in der Party ein vielseitiges Polygon ist", als auch auf einen Tanz, den sie auf dieser Party aufführen.
• Das Logo von Slipknot ist auch eine Version eines Nonagons, ein neunzackiger Stern aus drei Dreiecken, der sich auf die neun Mitglieder bezieht.
• King Gizzard & the Lizard Wizard haben ein Album mit dem Titel ' Nonagon Infinity ', das Albumcover mit einer nichtagonalen vollständigen Grafik. Das Album besteht aus neun Songs und wiederholt sich zyklisch.

Die Architektur

Tempel des Baháʼí-Glaubens , genannt Baháʼí-Häuser der Anbetung , müssen nichteckig sein.

Der US Steel Tower ist ein unregelmäßiges Neuneck.

Siehe auch

• Enneagramm (Nonagramm)
• Dreiteilung des Winkels 60°, Näherungskonstruktion

Verweise

Externe Links

• Eigenschaften eines Nonagons (mit interaktiver Animation)