Coxeter-Dynkin-Diagramm - Coxeter–Dynkin diagram
In der Geometrie ist ein Coxeter-Dynkin-Diagramm (oder Coxeter-Diagramm , Coxeter-Graph ) ein Graph mit numerisch beschrifteten Kanten (als Zweige bezeichnet ), die die räumlichen Beziehungen zwischen einer Sammlung von Spiegeln (oder reflektierenden Hyperebenen ) darstellen. Sie beschreibt eine kaleidoskopischen Konstruktion: Jeder Graph „node“ repräsentiert einen Spiegel (Domain Facette ) und der kodiert befestigt Etikett an einem Zweig der Diederwinkel um zwischen zwei Spiegeln (auf einem Domänen ridge ), dh, den Betrag, um den der Winkel zwischen die reflektierenden Ebenen können multipliziert werden, um 180 Grad zu erhalten. Eine unbeschriftete Verzweigung repräsentiert implizit die Ordnung-3 (60 Grad).
Jedes Diagramm stellt eine Coxeter-Gruppe dar , und Coxeter-Gruppen werden nach ihren zugehörigen Diagrammen klassifiziert.
Dynkin-Diagramme sind eng verwandte Objekte, die sich in zweierlei Hinsicht von Coxeter-Diagrammen unterscheiden: Erstens sind Zweige mit der Bezeichnung "4" oder höher gerichtet , während Coxeter-Diagramme ungerichtet sind ; zweitens müssen Dynkin-Diagramme eine zusätzliche ( kristallographische ) Einschränkung erfüllen , nämlich dass die einzigen erlaubten Verzweigungslabels 2, 3, 4 und 6 sind. Dynkin-Diagramme entsprechen und werden verwendet, um Wurzelsysteme und damit halbeinfache Lie-Algebren zu klassifizieren .
Beschreibung
Zweige eines Coxeter-Dynkin-Diagramms sind mit einer rationalen Zahl p gekennzeichnet , die einen Diederwinkel von 180°/ p repräsentiert . Bei p = 2 beträgt der Winkel 90° und die Spiegel haben keine Wechselwirkung, so dass der Zweig aus dem Diagramm weggelassen werden kann. Wenn eine Verzweigung unbeschriftet ist, wird angenommen, dass sie p = 3 hat , was einem Winkel von 60° entspricht. Zwei parallele Spiegel haben einen mit "∞" gekennzeichneten Zweig. Prinzipiell lassen sich n Spiegel durch einen vollständigen Graphen darstellen, in dem alle n ( n − 1) / 2 Zweige eingezeichnet sind. In der Praxis enthalten fast alle interessanten Spiegelkonfigurationen mehrere rechte Winkel, so dass die entsprechenden Zweige weggelassen werden.
Diagramme können nach ihrer Diagrammstruktur beschriftet werden. Die ersten von Ludwig Schläfli untersuchten Formen sind die Orthoschemen mit linearen Graphen, die regelmäßige Polytope und regelmäßige Waben erzeugen . Plagioschemen sind Simplizes, die durch verzweigte Graphen dargestellt werden, und Cycloschemes sind Simplizes, die durch zyklische Graphen dargestellt werden.
Schläfli-Matrix
Jedes Coxeter-Diagramm hat eine entsprechende Schläfli-Matrix (so benannt nach Ludwig Schläfli ), mit Matrixelementen a i,j = a j,i = −2cos ( π / p ) wobei p die Verzweigungsordnung zwischen den Spiegelpaaren ist. Als Matrix der Kosinus ist es auch eine gerufene Gramian Matrix nach Jørgen Pedersen Gram . Alle Schläfli-Matrizen der Coxeter-Gruppe sind symmetrisch, weil ihre Wurzelvektoren normalisiert sind. Es ist eng mit der Cartan-Matrix verwandt , die in den ähnlichen, aber gerichteten Graphen- Dynkin-Diagrammen in den begrenzten Fällen von p = 2,3,4 und 6 verwendet wird, die im Allgemeinen NICHT symmetrisch sind.
Die Determinante der Matrix Schläfli, die angerufene Schläflian und sein Vorzeichen bestimmt , ob die Gruppe endlich ist (positiv), affiner (Null), indefinites (negativ). Diese Regel wird als Schläfli-Kriterium bezeichnet .
Die Eigenwerte der Schläfli-Matrix bestimmen, ob eine Coxeter-Gruppe vom endlichen Typ (alle positiv), vom affinen Typ (alle nicht-negativ, mindestens einer ist null) oder vom unbestimmten Typ (sonst) ist. Der unbestimmte Typ wird manchmal weiter unterteilt, zB in hyperbolische und andere Coxeter-Gruppen. Es gibt jedoch mehrere nicht äquivalente Definitionen für hyperbolische Coxeter-Gruppen. Wir verwenden die folgende Definition: Eine Coxeter-Gruppe mit verbundenem Diagramm ist hyperbolisch, wenn sie weder vom endlichen noch vom affinen Typ ist, aber jedes richtige verbundene Unterdiagramm vom endlichen oder affinen Typ ist. Eine hyperbolische Coxeter-Gruppe ist kompakt, wenn alle Untergruppen endlich sind (dh positive Determinanten haben), und parakompakt, wenn alle ihre Untergruppen endlich oder affin sind (dh nicht negative Determinanten haben).
Endliche und affine Gruppen werden auch als elliptisch bzw. parabolisch bezeichnet. Hyperbolische Gruppen werden auch Lannér genannt, nach F. Lannér, der 1950 die kompakten hyperbolischen Gruppen aufzählte, und Koszul (oder Quasi-Lannér) für die parakompakten Gruppen.
Rang 2 Coxeter-Gruppen
Für Rang 2 wird der Typ einer Coxeter-Gruppe vollständig durch die Determinante der Schläfli-Matrix bestimmt, da sie einfach das Produkt der Eigenwerte ist: endlicher Typ (positive Determinante), affiner Typ (Null-Determinante) oder hyperbolisch (negative Determinante) . Coxeter verwendet eine äquivalente Klammernotation, die Sequenzen von Verzweigungsreihenfolgen als Ersatz für die grafischen Knoten-Zweig-Diagramme auflistet. Rationale Lösungen [p/q],, existieren ebenfalls mit gcd (p,q)=1, die überlappende Fundamentalbereiche definieren. Zum Beispiel 3/2, 4/3, 5/2, 5/3, 5/4. und 6/5.
Typ | Endlich | Affin | Hyperbolisch | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Geometrie | ... | |||||||
Coxeter |
[ ] |
[2] |
[3] |
[4] |
[P] |
[∞] |
[∞] |
[iπ/λ] |
Befehl | 2 | 4 | 6 | 8 | 2 p | ∞ | ||
Spiegellinien sind entsprechend den Coxeter-Diagrammknoten eingefärbt. Fundamentale Domänen sind abwechselnd eingefärbt. |
Rang 2 Coxeter-Gruppendiagramme | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Bestellung p |
Gruppe | Coxeter-Diagramm | Schläfli-Matrix | ||||
Determinante (4-a 21 *a 12 ) |
|||||||
Endlich (Determinante>0) | |||||||
2 | I 2 (2) = A 1 x A 1 | [2] | 4 | ||||
3 | Ich 2 (3) = A 2 | [3] | 3 | ||||
3/2 | [3/2] | ||||||
4 | I 2 (4) = B 2 | [4] | 2 | ||||
4/3 | [4/3] | ||||||
5 | I 2 (5) = H 2 | [5] |
~1.38196601125 |
||||
5/4 | [5/4] | ||||||
5/2 | [5/2] |
~3.61803398875 |
|||||
5/3 | [5/3] | ||||||
6 | Ich 2 (6) = G 2 | [6] | 1 | ||||
6/5 | [6/5] | ||||||
8 | ich 2 (8) | [8] |
~0.58578643763 |
||||
10 | ich 2 (10) | [10] |
~0.38196601125 |
||||
12 | Ich 2 (12) | [12] |
~0.26794919243 |
||||
P | ich 2 (p) | [P] | |||||
Affin (Determinante=0) | |||||||
∞ | Ich 2 (∞) = = | [∞] | 0 | ||||
Hyperbolisch (Determinante≤0) | |||||||
∞ | [∞] | 0 | |||||
∞ | [iπ/λ] |
Geometrische Visualisierungen
Das Coxeter-Dynkin-Diagramm kann als grafische Beschreibung des Fundamentalbereichs von Spiegeln angesehen werden. Ein Spiegel repräsentiert eine Hyperebene innerhalb eines gegebenen dimensionalen sphärischen oder euklidischen oder hyperbolischen Raums. (In 2D-Räumen ist ein Spiegel eine Linie und in 3D ist ein Spiegel eine Ebene).
Diese Visualisierungen zeigen die fundamentalen Domänen für 2D- und 3D-Euklidische Gruppen und 2D-Kugelgruppen. Für jedes kann das Coxeter-Diagramm abgeleitet werden, indem die Hyperebenenspiegel identifiziert und ihre Konnektivität beschriftet werden, wobei die 90-Grad-Diederwinkel (Ordnung 2) ignoriert werden.
Coxeter-Gruppen in der euklidischen Ebene mit äquivalenten Diagrammen. Reflexionen werden als Graphknoten R 1, R 2 usw. bezeichnet und nach ihrer Reflexionsreihenfolge eingefärbt. Spiegelungen bei 90 Grad sind inaktiv und werden daher aus dem Diagramm ausgeblendet. Parallele Spiegel sind durch einen mit gekennzeichneten Zweig verbunden. Die prismatische Gruppe x ist als Verdopplung der dargestellt , kann aber auch als rechtwinklige Domänen aus der Verdopplung der Dreiecke erzeugt werden. Das ist eine Verdopplung des Dreiecks. |
|
Viele Coxeter-Gruppen in der hyperbolischen Ebene können aus den euklidischen Fällen als eine Reihe hyperbolischer Lösungen erweitert werden. |
|
Coxeter-Gruppen im 3-Raum mit Diagrammen. Spiegel (Dreiecksflächen) werden durch den gegenüberliegenden Scheitelpunkt 0..3 gekennzeichnet. Zweige werden nach ihrer Reflexionsreihenfolge gefärbt. füllt 1/48 des Würfels. füllt 1/24 des Würfels. füllt 1/12 des Würfels aus. |
Coxeter-Gruppen in der Kugel mit äquivalenten Diagrammen. Ein fundamentaler Bereich ist gelb umrandet. Domänenscheitelpunkte (und Graphzweige) werden durch ihre Reflexionsreihenfolge gefärbt. |
Finite Coxeter-Gruppen
- Siehe auch Polytopfamilien für eine Tabelle einheitlicher Endknotenpolytope, die diesen Gruppen zugeordnet sind.
- Für die gleichen Gruppen werden drei verschiedene Symbole angegeben – als Buchstabe/Zahl, als Zahlenreihe in Klammern und als Coxeter-Diagramm.
- Die gegabelten D n -Gruppen sind eine halbe oder alternierende Version der regulären C n -Gruppen.
- Die gegabelten D n - und E n -Gruppen werden auch durch eine hochgestellte Form [3 a , b , c ] gekennzeichnet, wobei a , b , c die Anzahl der Segmente in jedem der drei Zweige sind.
Rang | Einfache Lügengruppen | Außergewöhnliche Lügengruppen | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | A 1 = [] |
|||||||
2 | A 2 = [3] |
B 2 = [4] |
D 2 = A 1 A 1 |
G 2 = [6] |
H 2 = [5] |
ich 2 [p] |
||
3 | A 3 = [3 2 ] |
B 3 = [3,4] |
D 3 = A 3 |
E 3 = A 2 A 1 |
F 3 = B 3 |
H 3 |
||
4 | A 4 =[3 3 ] |
B 4 = [3 2 , 4] |
D 4 = [3 1,1,1 ] |
E 4 = A 4 |
F 4 |
H 4 |
||
5 | A 5 =[3 4 ] |
B 5 = [3 3 , 4] |
D 5 =[3 2,1,1 ] |
E 5 = D 5 |
||||
6 | A 6 = [3 5 ] |
B 6 = [3 4 , 4] |
D 6 = [3 3,1,1 ] |
E 6 = [3 2,2,1 ] |
||||
7 | A 7 = [3 6 ] |
B 7 = [3 5 , 4] |
D 7 = [3 4,1,1 ] |
E 7 = [3 3,2,1 ] |
||||
8 | A 8 = [3 7 ] |
B 8 = [3 6 , 4] |
D 8 = [3 5,1,1 ] |
E 8 = [3 4,2,1 ] |
||||
9 | A 9 = [3 8 ] |
B 9 = [3 7 , 4] |
D 9 = [3 6,1,1 ] |
|||||
10+ | .. | .. | .. | .. |
Anwendung mit einheitlichen Polytopen
Beim Konstruieren einheitlicher Polytope werden Knoten durch einen Ring als aktiv markiert, wenn ein Generatorpunkt außerhalb des Spiegels liegt, wodurch eine neue Kante zwischen einem Generatorpunkt und seinem Spiegelbild erzeugt wird. Ein Knoten ohne Ring stellt einen inaktiven Spiegel dar, der keine neuen Punkte generiert. Ein Ring ohne Knoten heißt Loch . |
Zwei orthogonale Spiegel können verwendet werden, um ein Quadrat zu erzeugen, , hier mit rotem Generatorpunkt und 3 virtuellen Kopien über den Spiegeln zu sehen. Der Generator muss in diesem orthogonalen Fall von beiden Spiegeln entfernt sein, um einen Innenraum zu erzeugen. Das Ring-Markup geht davon aus, dass aktive Ringe Generatoren gleichen Abstands von allen Spiegeln haben, während ein Rechteck auch eine ungleichmäßige Lösung darstellen kann. |
Coxeter-Dynkin-Diagramme können fast alle Klassen einheitlicher Polytope und einheitlicher Tessellationen explizit aufzählen . Jedes einheitliche Polytop mit reiner Reflexionssymmetrie (alle bis auf wenige Spezialfälle haben reine Reflexionssymmetrie) kann durch ein Coxeter-Dynkin-Diagramm mit Permutationen von Markups dargestellt werden . Jede einheitliche Polytop kann derartigen Spiegel und einen einzigen Generator Punkt erzeugt wird unter Verwendung von : Spiegelbilder neue Punkte erzeugen , wie Spiegelungen, dann Polytop Kanten können zwischen den Punkten und einem Spiegelbildpunkt definiert werden. Flächen werden durch die wiederholte Reflexion einer Kante erzeugt, die sich schließlich um den ursprünglichen Generator dreht; die endgültige Form sowie alle höherdimensionalen Facetten werden ebenfalls durch das Spiegeln des Gesichtes erzeugt, um einen Bereich zu umschließen.
Um den erzeugenden Scheitelpunkt anzugeben, werden ein oder mehrere Knoten mit Ringen markiert, was bedeutet, dass der Scheitelpunkt nicht auf dem/den Spiegel(n) liegt, der/die durch den/die Ringknoten repräsentiert wird. (Wenn zwei oder mehr Spiegel markiert sind, ist der Scheitelpunkt von ihnen gleich weit entfernt.) Ein Spiegel ist nur in Bezug auf Punkte aktiv (erzeugt Spiegelungen), die nicht darauf liegen. Ein Diagramm benötigt mindestens einen aktiven Knoten, um ein Polytop darzustellen. Ein nicht verbundenes Diagramm (Untergruppen, die durch Zweige der Ordnung 2 getrennt sind, oder orthogonale Spiegel) erfordert mindestens einen aktiven Knoten in jedem Untergraphen.
Alle regulären Polytope , dargestellt durch das Schläfli-Symbol { p , q , r , ... }, können ihre Fundamentalbereiche durch eine Menge von n Spiegeln mit einem zugehörigen Coxeter-Dynkin-Diagramm einer Linie von Knoten und Zweigen, die mit p gekennzeichnet sind , dargestellt haben, q , r , ..., wobei der erste Knoten beringt ist.
Einheitliche Polytope mit einem Ring entsprechen Generatorpunkten an den Ecken des Fundamentalbereichs-Simplex. Zwei Ringe entsprechen den Kanten von Simplex und haben einen Freiheitsgrad, wobei nur der Mittelpunkt die einheitliche Lösung für gleiche Kantenlängen ist. Im Allgemeinen liegen k- Ring-Generatorpunkte auf (k-1) -Flächen des Simplex, und wenn alle Knoten beringt sind, liegt der Generatorpunkt im Inneren des Simplex.
Der Sonderfall einheitlicher Polytope mit nicht-reflexionssymmetrischer Symmetrie wird durch ein sekundäres Markup dargestellt, bei dem der zentrale Punkt eines Ringknotens entfernt wird (als Loch bezeichnet ). Diese Formen sind Wechsel von Polytopen mit reflektierender Symmetrie, was bedeutet, dass jeder andere Scheitelpunkt gelöscht wird. Das resultierende Polytop hat eine Subsymmetrie der ursprünglichen Coxeter-Gruppe . Ein abgeschnittener Wechsel wird als Snub bezeichnet .
- Ein einzelner Knoten repräsentiert einen einzelnen Spiegel. Dies wird Gruppe A 1 genannt . Wenn es beringt ist, erzeugt dies ein Liniensegment senkrecht zum Spiegel, dargestellt als {}.
- Zwei nicht verbundene Knoten repräsentieren zwei senkrechte Spiegel. Wenn beide Knoten beringt sind, kann ein Rechteck erstellt werden, oder ein Quadrat, wenn der Punkt den gleichen Abstand von beiden Spiegeln hat.
- Zwei Knoten, die durch einen Zweig der Ordnung n verbunden sind, können ein n -Eck erzeugen, wenn der Punkt auf einem Spiegel liegt, und ein 2 n -Eck, wenn der Punkt von beiden Spiegeln entfernt ist. Dies bildet die Gruppe I 1 (n).
- Zwei parallele Spiegel können eine unendliche Polygongruppe I 1 (∞) darstellen, auch 1 genannt .
- Drei Spiegel in einem Dreieck bilden Bilder, die in einem traditionellen Kaleidoskop zu sehen sind, und können durch drei in einem Dreieck verbundene Knoten dargestellt werden. Wiederholte Beispiele haben Zweige mit der Bezeichnung (3 3 3), (2 4 4), (2 3 6), obwohl die letzten beiden als Linie gezeichnet werden können (wobei die 2 Zweige ignoriert werden). Diese erzeugen einheitliche Kacheln .
- Drei Spiegel können gleichförmige Polyeder erzeugen ; einschließlich rationaler Zahlen ergibt die Menge der Schwarz-Dreiecke .
- Drei Spiegel, von denen einer senkrecht zu den anderen beiden steht, können die gleichförmigen Prismen bilden .
Es gibt 7 reflektierende gleichförmige Konstruktionen innerhalb eines allgemeinen Dreiecks, basierend auf 7 topologischen Generatorpositionen innerhalb des Fundamentalbereichs. Jeder aktive Spiegel erzeugt eine Kante, wobei zwei aktive Spiegel Generatoren auf den Domänenseiten haben und drei aktive Spiegel den Generator im Inneren haben. Ein oder zwei Freiheitsgrade können für eine eindeutige Position für gleiche Kantenlängen des resultierenden Polyeders oder der Kachelung aufgelöst werden. |
Beispiel 7 Generatoren auf Oktaedersymmetrie , Grundbereichsdreieck (4 3 2), mit 8. Snub-Generation im Wechsel |
Die Dualen der einheitlichen Polytope werden manchmal mit einem senkrechten Schrägstrich markiert, der die Ringknoten ersetzt, und einem Schrägstrich für die Lochknoten der Stups. Zum Beispiel,stellt ein Rechteck dar (als zwei aktive orthogonale Spiegel), undrepräsentiert sein Doppelpolygon , die Raute .
Beispielpolyeder und Kacheln
Zum Beispiel hat die B 3 Coxeter-Gruppe ein Diagramm:. Dies wird auch als Oktaedersymmetrie bezeichnet .
Es gibt 7 konvexe einheitliche Polyeder , die aus dieser Symmetriegruppe und 3 aus ihren alternierenden Subsymmetrien konstruiert werden können, jedes mit einem eindeutig gekennzeichneten Coxeter-Dynkin-Diagramm. Das Wythoff-Symbol stellt einen Sonderfall des Coxeter-Diagramms für Rang-3-Graphen dar, bei dem alle 3 Zweigordnungen benannt sind, anstatt die Zweige der Ordnung 2 zu unterdrücken. Das Wythoff-Symbol kann die Snub- Form verarbeiten, aber keine allgemeinen Änderungen, ohne dass alle Knoten beringt sind.
Einheitliche oktaedrische Polyeder | ||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Symmetrie : [4,3], (*432) | [4,3] + (432) |
[1 + ,4,3] = [3,3] (*332) |
[3 + ,4] (3*2) |
|||||||
{4,3} | t{4,3} |
r{4,3} r{3 1,1 } |
t{3,4} t{3 1,1 } |
{3,4} {3 1,1 } |
rr{4,3} s 2 {3,4} |
tr{4,3} | sr{4,3} |
h{4,3} {3,3} |
h 2 {4,3} t{3,3} |
s{3,4} s{3 1,1 } |
= |
= |
= |
= oder |
= oder |
= |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
Duale zu einheitlichen Polyedern | ||||||||||
V4 3 | V3.8 2 | V(3.4) 2 | V4.6 2 | V3 4 | V3.4 3 | V4.6.8 | V3 4 .4 | V3 3 | V3.6 2 | V3 5 |
Dieselben Konstruktionen können auf disjunkten (orthogonalen) Coxeter-Gruppen wie den einheitlichen Prismen gemacht werden und können deutlicher als Kacheln von Diedern und Hosoedern auf der Kugel gesehen werden, wie diese [6]×[] oder [6,2] Familie:
Einheitliche hexagonale Dieder-Kugelpolyeder | ||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Symmetrie : [6,2] , (*622) | [6,2] + , (622) | [6,2 + ], (2*3) | ||||||||||||
{6,2} | t{6,2} | r{6,2} | t{2,6} | {2,6} | rr{6,2} | tr{6,2} | sr{6,2} | s{2,6} | ||||||
Duals zu Uniformen | ||||||||||||||
V6 2 | V12 2 | V6 2 | V4.4.6 | V2 6 | V4.4.6 | V4.4.12 | V3.3.3.6 | V3.3.3.3 |
Im Vergleich dazu sind die [6,3], Familie erzeugt einen parallelen Satz von 7 gleichförmigen Kacheln der euklidischen Ebene und deren dualen Kacheln. Es gibt wieder 3 Wechsel und einige halbsymmetrische Versionen.
Gleichmäßige sechseckige/dreieckige Fliesen | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Symmetrie : [6,3], (*632) | [6,3] + (632) |
[6,3 + ] (3*3) |
|||||||||
{6,3} | t{6,3} | r{6,3} | t{3,6} | {3,6} | rr{6,3} | tr{6,3} | sr{6,3} | s{3,6} | |||
6 3 | 3.12 2 | (3.6) 2 | 6.6.6 | 3 6 | 3.4.6.4 | 4.6.12 | 3.3.3.3.6 | 3.3.3.3.3.3 | |||
Einheitliche Duals | |||||||||||
V6 3 | V3.12 2 | V(3.6) 2 | V6 3 | V3 6 | V3.4.6.4 | V.4.6.12 | V3 4 .6 | V3 6 |
In der hyperbolischen Ebene [7,3], Familie erzeugt einen parallelen Satz von einheitlichen Kacheln und deren dualen Kacheln. Es gibt nur 1 Abwechselung ( Snub ), da alle Verzweigungsbefehle ungerade sind. Viele andere hyperbolische Familien gleichförmiger Kacheln können bei gleichförmigen Kacheln in der hyperbolischen Ebene gesehen werden .
Gleichmäßige siebeneckige/dreieckige Kacheln | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Symmetrie: [7,3], (*732) | [7,3] + , (732) | ||||||||||
{7,3} | t{7,3} | r{7,3} | t{3,7} | {3,7} | rr{7,3} | tr{7,3} | sr{7,3} | ||||
Einheitliche Duals | |||||||||||
V7 3 | V3.14.14 | V3.7.3.7 | V6.6.7 | V3 7 | V3.4.7.4 | V4.6.14 | V3.3.3.3.7 |
Affine Coxeter-Gruppen
Familien von konvexen einheitlichen euklidischen Tessellationen werden durch die affinen Coxeter-Gruppen definiert . Diese Gruppen sind mit den endlichen Gruppen mit der Einbeziehung eines hinzugefügten Knotens identisch. In Buchstabennamen erhalten sie denselben Buchstaben mit einem "~" über dem Buchstaben. Der Index bezieht sich auf die endliche Gruppe, so dass der Rang der Index plus 1. (ist Ernst Witt Symbole für die affinen Gruppen sind gegeben als auch )
- : Diagramme dieses Typs sind Zyklen. (Auch P n )
- ist mit der Hypercube Regular Tessellation { 4, 3, ...., 4 }-Familie verbunden. (Auch R n )
- bezogen auf C durch einen entfernten Spiegel. (Auch S n )
- bezogen auf C durch zwei entfernte Spiegel. (Auch Q n )
- , , . (Auch T 7 , T 8 , T 9 )
- bildet die reguläre {3,4,3,3}-Tessellation. (Auch U 5 )
- bildet 30-60-90 Dreiecksgrundbereiche. (Auch V 3 )
- sind zwei parallele Spiegel. ( = = ) (Auch W 2 )
Zusammengesetzte Gruppen können auch als orthogonale Projekte definiert werden. Die häufigste Verwendung , wie z .repräsentiert quadratische oder rechteckige Schachbrettdomänen in der euklidischen Ebene. Und repräsentiert Dreiecksprisma- Fundamentalbereiche im euklidischen 3-Raum.
Rang | (P2 + ) | (S4 + ) | (R2 + ) | (Q 5+ ) | (T n+1 ) / (U 5 ) / (V 3 ) |
---|---|---|---|---|---|
2 |
=[∞] |
=[∞] |
|||
3 |
=[3 [3] ] * |
=[4,4] * |
=[6,3] * |
||
4 |
=[3 [4] ] * |
=[4,3 1,1 ] * |
=[4,3,4] * |
=[3 1,1 ,3 −1 ,3 1,1 ] = |
|
5 |
=[3 [5] ] * |
=[4,3,3 1,1 ] * |
=[4,3 2 ,4] * |
=[3 1,1,1,1 ] * |
=[3,4,3,3] * |
6 |
=[3 [6] ] * |
=[4,3 2 ,3 1,1 ] * |
=[4,3 3 ,4] * |
=[3 1,1 ,3,3 1,1 ] * |
|
7 |
=[3 [7] ] * |
=[4,3 3 ,3 1,1 ] |
=[4,3 4 ,4] |
=[3 1,1 ,3 2 ,3 1,1 ] |
=[3 2,2,2 ] |
8 |
=[3 [8] ] * |
=[4,3 4 ,3 1,1 ] * |
=[4,3 5 ,4] |
=[3 1,1 ,3 3 ,3 1,1 ] * |
=[3 3,3,1 ] * |
9 |
=[3 [9] ] * |
=[4,3 5 ,3 1,1 ] |
=[4,3 6 ,4] |
=[3 1,1 ,3 4 ,3 1,1 ] |
=[3 5,2,1 ] * |
10 |
=[3 [10] ] * |
=[4,3 6 ,3 1,1 ] |
=[4,3 7 ,4] |
=[3 1,1 ,3 5 ,3 1,1 ] |
|
11 | ... | ... | ... | ... |
Hyperbolische Coxeter-Gruppen
Es gibt viele unendliche hyperbolische Coxeter-Gruppen . Hyperbolische Gruppen werden als kompakt oder nicht kategorisiert, wobei kompakte Gruppen begrenzte Fundamentalbereiche haben. Kompakte hyperbolische Simplex-Gruppen ( Lannér-Simplices ) existieren als Rang 3 bis 5. Parakompakte Simplex-Gruppen ( Koszul-Simplices ) existieren bis Rang 10. Hyperkompakte ( Vinberg-Polytope ) Gruppen wurden erforscht, aber nicht vollständig bestimmt. Im Jahr 2006 bewies Allcock, dass es unendlich viele kompakte Vinberg-Polytope für Dimensionen bis 6 und unendlich viele endliche Vinberg-Polytope für Dimensionen bis 19 gibt, sodass eine vollständige Aufzählung nicht möglich ist. Alle diese fundamentalen reflektierenden Domänen, sowohl Simplizes als auch Nichtsimplices, werden oft Coxeter- Polytope oder manchmal weniger genau Coxeter- Polyeder genannt .
Hyperbolische Gruppen in H 2
Beispiel für rechtwinklige Dreiecke [p,q] | ||||
---|---|---|---|---|
[3,7] |
[3,8] |
[3,9] |
[3,∞] |
|
[4,5] |
[4,6] |
[4,7] |
[4,8] |
[∞,4] |
[5,5] |
[5,6] |
[5,7] |
[6.6] |
[∞,∞] |
Beispiele für allgemeine Dreiecke [(p,q,r)] | ||||
[(3,3,4)] |
[(3,3,5)] |
[(3,3,6)] |
[(3,3,7)] |
[(3,3,∞)] |
[(3,4,4)] |
[(3,6,6)] |
[(3,∞,∞)] |
[(6,6,6)] |
[(∞,∞,∞)] |
Zweidimensionale hyperbolische Dreiecksgruppen existieren als Rang-3-Coxeter-Diagramme, definiert durch Dreieck (pqr) für:
Es gibt unendlich viele kompakte dreieckige hyperbolische Coxeter-Gruppen, einschließlich linearer und Dreiecksgraphen. Die linearen Graphen existieren für rechtwinklige Dreiecke (mit r=2).
Linear | Zyklisch | ||||
---|---|---|---|---|---|
∞ [p,q],: 2(p+q)<pq
|
∞ [(p,q,r)], : p+q+r>9
|
Paracompact Coxeter-Gruppen vom Rang 3 existieren als Grenze zu den Kompakten.
Lineare Grafiken | Zyklische Grafiken |
---|---|
|
|
Arithmetische Dreiecksgruppe
Die hyperbolischen Dreiecksgruppen , die auch arithmetische Gruppen sind, bilden eine endliche Teilmenge. Durch Computersuche wurde die vollständige Liste von Kisao Takeuchi in seinem 1977 erschienenen Aufsatz Arithmetische Dreiecksgruppen ermittelt . Es gibt 85 total, 76 kompakte und 9 paracompact.
Rechtwinklige Dreiecke (pq 2) | Allgemeine Dreiecke (pqr) |
---|---|
Kompaktgruppen: (76)
Parakompakte rechtwinklige Dreiecke: (4)
|
Allgemeine Dreiecke: (39)
Parakompakte allgemeine Dreiecke: (5)
|
|
|
Hyperbolische Coxeter-Polygone über Dreiecken
Andere hyperbolische H 2 -Kaleidoskope können aus Polygonen höherer Ordnung konstruiert werden. Wie Dreiecksgruppen können diese Kaleidoskope durch eine zyklische Folge von Spiegelschnittordnungen um den Fundamentalbereich als (abcd ...) oder äquivalent in Orbifold-Notation als * abcd ... identifiziert werden . Coxeter-Dynkin-Diagramme für diese polygonalen Kaleidoskope können als entartete (n-1)- Simplex- Fundamentalbereiche angesehen werden, mit einem zyklischen von Zweigen der Ordnung a,b,c... und die verbleibenden n*(n-3)/2 Zweige sind als unendlich (∞) bezeichnet und repräsentieren die sich nicht schneidenden Spiegel. Das einzige nichthyperbolische Beispiel ist die euklidische Symmetrie vier Spiegel in einem Quadrat oder Rechteck als, [∞,2,∞] (Orbifold *2222). Eine andere Verzweigungsdarstellung für sich nicht schneidende Spiegel von Vinberg liefert unendliche Verzweigungen als gepunktete oder gestrichelte Linien, so dass dieses Diagramm dargestellt werden kann als, wobei die vier Zweige der Ordnung 2 um den Umfang herum unterdrückt werden.
Zum Beispiel hat eine vierseitige Domäne (abcd) zwei Zweige unendlicher Ordnung, die ultraparallele Spiegel verbinden. Das kleinste hyperbolische Beispiel ist, [∞,3,∞] oder [iπ/λ 1 ,3,iπ/λ 2 ] (Orbifold *3222), wobei (λ 1 ,λ 2 ) der Abstand zwischen den ultraparallelen Spiegeln ist. Der alternative Ausdruck ist, wobei drei Zweige der Ordnung 2 um den Umfang herum unterdrückt werden. In ähnlicher Weise kann (2 3 2 3) (Orbifold *3232) dargestellt werden als und (3 3 3 3), (Orbifold *3333) kann als vollständiger Graph dargestellt werden .
Die höchste Vierecksdomäne (∞ ∞ ∞ ∞) ist ein unendliches Quadrat, dargestellt durch einen vollständigen tetraedrischen Graphen mit 4 Umfangszweigen als ideale Eckpunkte und zwei diagonalen Zweigen als Unendlich (dargestellt als gepunktete Linien) für ultraparallele Spiegel:.
Kompakt (Lannér Simplex-Gruppen)
Kompakte hyperbolische Gruppen werden nach Folke Lannér, der sie 1950 zum ersten Mal untersuchte, Lannér-Gruppen genannt . Sie existieren nur als Graphen der Rang 4 und 5. Coxeter untersuchte die linearen hyperbolischen Coxeter-Gruppen in seiner 1954 erschienenen Arbeit Regular Honeycombs in hyperbolic space , die zwei rationale Lösungen im hyperbolischen 4-Raum enthielt : [5/2,5,3,3] = und [5,5/2,5,3] = .
Ränge 4–5
Der Fundamentalbereich einer der beiden sich verzweigenden Gruppen [5,3 1,1 ] und [5,3,3 1,1 ] ist doppelt so groß wie der einer entsprechenden linearen Gruppe, [5,3,4] und [5 ,3,3,4] bzw. Buchstabennamen werden von Johnson als erweiterte Witt-Symbole angegeben .
Maß H d |
Rang | Komplette Anzahl | Linear | Gabelung | Zyklisch |
---|---|---|---|---|---|
H 3 | 4 | 9 |
= [4,3,5]: |
= [5,3 1,1 ]: |
= [(3 3 ,4)]: |
H 4 | 5 | 5 |
= [3 3 ,5]: |
= [5,3,3 1,1 ]: |
= [(3 4 , 4)]: |
Parakompakt (Koszul Simplex-Gruppen)
Parakompakte (auch nicht kompakte) hyperbolische Coxeter-Gruppen enthalten affine Untergruppen und haben asymptotische Simplex-Grundbereiche. Die höchste parakompakte hyperbolische Coxeter-Gruppe ist Rang 10. Diese Gruppen sind nach dem französischen Mathematiker Jean-Louis Koszul benannt . Sie werden auch Quasi-Lannér-Gruppen genannt, die die kompakten Lannér-Gruppen erweitern. Die Liste wurde durch Computersuche von M. Chein vollständig ermittelt und 1969 veröffentlicht.
Von Vinberg sind alle bis auf acht dieser 72 kompakten und parakompakten Simplizes arithmetisch. Zwei der nichtarithmetischen Gruppen sind kompakt: und . Die anderen sechs nichtarithmetischen Gruppen sind alle parakompakt, mit fünf dreidimensionalen Gruppen, , , , und , und eine 5-dimensionale Gruppe .
Ideale Einfachheit
Es gibt 5 hyperbolische Coxeter-Gruppen, die ideale Simplizes ausdrücken , Graphen, bei denen das Entfernen eines beliebigen Knotens zu einer affinen Coxeter-Gruppe führt. Somit liegen alle Ecken dieses idealen Simplex im Unendlichen.
Rang | Ideale Gruppe | Affine Untergruppen | ||
---|---|---|---|---|
3 | [(∞,∞,∞)] | [∞] | ||
4 | [4 [4] ] | [4,4] | ||
4 | [3 [3,3] ] | [3 [3] ] | ||
4 | [(3,6) [2] ] | [3,6] | ||
6 | [(3,3,4) [2] ] | [4,3,3,4], [3,4,3,3] | , |
Ränge 4–10
Es gibt insgesamt 58 parakompakte hyperbolische Coxeter-Gruppen von Rang 4 bis 10. Alle 58 sind unten in fünf Kategorien gruppiert. Buchstabensymbole werden von Johnson als Extended Witt-Symbole angegeben , wobei PQRSTWUV aus den affinen Witt-Symbolen verwendet wird und LMNOXYZ hinzugefügt wird. Diese hyperbolischen Gruppen werden für Cycloschemen mit einem Überstrich oder einem Hut versehen. Die Klammernotation von Coxeter ist eine linearisierte Darstellung der Coxeter-Gruppe.
Rang | Komplette Anzahl | Gruppen | |||
---|---|---|---|---|---|
4 | 23 |
= [(3,3,4,4)]: |
= [3,3 [3] ]: |
= [3,4,4]: |
= [3 []x[] ]: |
5 | 9 |
= [3,3 [4] ]: |
= [4,3,((4,2,3))]: |
= [(3,4) 2 ]: |
= [4,3 1,1,1 ]: |
6 | 12 |
= [3,3 [5] ]: |
= [4,3,3 2,1 ]: |
= [3 3 , 4,3]: |
= [3 2,1,1,1 ]: = [4,3,3 1,1,1 ]: |
7 | 3 |
= [3,3 [6] ]: |
= [3 1,1 ,3,3 2,1 ]: |
= [4,3 2 ,3 2,1 ]: |
|
8 | 4 |
= [3,3 [7] ]: |
= [3 1,1 ,3 2 ,3 2,1 ]: |
= [4,3 3 ,3 2,1 ]: |
= [3 3,2,2 ]: |
9 | 4 |
= [3,3 [8] ]: |
= [3 1,1 ,3 3 ,3 2,1 ]: |
= [4,3 4 ,3 2,1 ]: |
= [3 4,3,1 ]: |
10 | 4 |
= [3,3 [9] ]: |
= [3 1,1 ,3 4 ,3 2,1 ]: |
= [4,3 5 ,3 2,1 ]: |
= [3 6,2,1 ]: |
Untergruppenbeziehungen parakompakter hyperbolischer Gruppen
Diese Bäume repräsentieren Untergruppenbeziehungen von parakompakten hyperbolischen Gruppen. Untergruppenindizes für jede Verbindung sind in Rot dargestellt. Untergruppen von Index 2 repräsentieren eine Spiegelentfernung und eine fundamentale Domänenverdopplung. Andere können aus der Kommensurabilität (ganzes Verhältnis der Volumina) für die tetraedrischen Domänen abgeleitet werden.
Untergruppenbäume | |||
---|---|---|---|
H 3 | |||
H 4 | |||
H 5 |
Hyperkompakte Coxeter-Gruppen (Vinberg-Polytope)
Genauso wie die hyperbolische Ebene H 2 nicht- dreieckige polygonale Domänen hat, gibt es auch höherdimensionale reflektierende hyperbolische Domänen. Diese Nicht-Simplex-Domänen können als entartete Simplizes mit sich nicht schneidenden Spiegeln mit unendlicher Ordnung angesehen werden, oder in einem Coxeter-Diagramm sind solche Verzweigungen gepunktete oder gestrichelte Linien gegeben. Diese Nicht-Simplex- Domänen werden Vinberg-Polytope genannt , nach Ernest Vinberg für seinen Vinberg-Algorithmus zum Finden von Nicht-Simplex-Fundamentaldomänen einer hyperbolischen Reflexionsgruppe. Geometrisch können diese Fundamentalbereiche als vierseitige Pyramiden oder Prismen oder andere Polytope mit Kanten als Schnittpunkt zweier Spiegel mit Diederwinkeln /n für n=2,3,4...
In einer Simplex-basierten Domäne gibt es n +1 Spiegel für den n-dimensionalen Raum. In Nicht-Simplex-Domänen gibt es mehr als n +1 Spiegel. Die Liste ist endlich, aber nicht vollständig bekannt. Stattdessen wurden Teillisten als n + k Spiegel für k als 2,3 und 4 aufgezählt .
Hyperkompakte Coxeter-Gruppen im dreidimensionalen Raum oder höher unterscheiden sich von zweidimensionalen Gruppen in einem wesentlichen Aspekt. Zwei hyperbolische n-Ecke mit gleichen Winkeln in der gleichen zyklischen Ordnung können unterschiedliche Kantenlängen haben und sind im Allgemeinen nicht deckungsgleich . Im Gegensatz dazu werden Vinberg-Polytope in 3 Dimensionen oder höher vollständig durch die Diederwinkel bestimmt. Diese Tatsache basiert auf dem Mostow-Steifigkeitssatz , dass zwei isomorphe Gruppen, die durch Reflexionen in H n für n>=3 erzeugt werden, kongruente Fundamentalbereiche (Vinberg-Polytope) definieren.
Vinberg-Polytope mit Rang n+2 für n-dimensionalen Raum
Die vollständige Liste kompakter hyperbolischer Vinberg-Polytope mit Spiegeln des Rangs n+2 für n-Dimensionen wurde 1996 von F. Esselmann aufgezählt. Eine unvollständige Liste wurde 1974 von IM Kaplinskaya veröffentlicht.
Die vollständige Liste der parakompakten Lösungen wurde 2003 von P. Tumarkin mit den Dimensionen 3 bis 17 veröffentlicht.
Die kleinste parakompakte Form in H 3 lässt sich darstellen durch, oder [∞,3,3,∞], das durch Spiegelentfernung der parakompakten hyperbolischen Gruppe [3,4,4] als [3,4,1 + ,4] konstruiert werden kann. Die verdoppelte Fundamentaldomäne geht von einem Tetraeder in eine vierseitige Pyramide über. Andere Pyramiden sind [4,4,1 + ,4] = [∞,4,4,∞], = . Das Entfernen eines Spiegels aus einigen der zyklisch hyperbolischen Coxeter-Graphen wird zu Bow-Tie-Graphen: [(3,3,4,1 + ,4)] = [((3,∞,3)),((3,∞,3 ))] oder, [(3,4,4,1 + ,4)] = [((4,∞,3)),((3,∞,4))] oder, [(4,4,4,1 + ,4)] = [((4,∞,4)),((4,∞,4))] oder.
Andere gültige parakompakte Graphen mit vierseitigen Pyramiden-Fundamentalbereichen sind:
Abmessungen | Rang | Grafiken |
---|---|---|
H 3 | 5 |
|
Eine weitere Untergruppe [1 + ,4 1,1,1 ] = [∞,4,1 + ,4,∞] = [∞ [6] ]. = = .
Vinberg-Polytope mit Rang n+3 für n-dimensionalen Raum
Es gibt eine endliche Anzahl von entarteten fundamentalen Simplizes bis zu 8-Dimensionen. Die vollständige Liste der kompakten Vinberg-Polytope mit Spiegeln des Rangs n+3 für n-Dimensionen wurde von P. Tumarkin im Jahr 2004 aufgezählt. Diese Gruppen sind durch gepunktete/gestrichelte Linien für ultraparallele Zweige gekennzeichnet. Die vollständige Liste der nicht-kompakten Vinberg-Polytope mit Spiegeln des Rangs n+3 und mit einem nicht einfachen Scheitelpunkt für n-Dimensionen wurde von Mike Roberts aufgezählt.
Für 4 bis 8 Dimensionen werden Rang 7 bis 11 Coxeter-Gruppen als 44, 16, 3, 1 bzw. 1 gezählt. Die höchste wurde 1984 von Bugaenko in Dimension 8, Rang 11 entdeckt:
Maße | Rang | Fälle | Grafiken | ||
---|---|---|---|---|---|
H 4 | 7 | 44 | ... | ||
H 5 | 8 | 16 | .. | ||
H 6 | 9 | 3 | |||
H 7 | 10 | 1 | |||
H 8 | 11 | 1 |
Vinberg-Polytope mit Rang n+4 für n-dimensionalen Raum
Es gibt eine endliche Anzahl von entarteten fundamentalen Simplizes bis zu 8-Dimensionen. Kompakte Vinberg-Polytope mit Spiegeln des Rangs n+4 für n-Dimensionen wurden 2005 von A. Felikson und P. Tumarkin erforscht.
Lorentzsche Gruppen
{3,3,7} außerhalb des Poincare-Ball-Modells angezeigt |
{7,3,3} außerhalb des Poincare-Ball-Modells angezeigt |
Lorentzsche Gruppen für Simplexbereiche können als Graphen jenseits der parakompakten hyperbolischen Formen definiert werden. Diese werden manchmal als superideale Simplizes bezeichnet und beziehen sich auch auf eine Lorentzsche Geometrie , benannt nach Hendrik Lorentz auf dem Gebiet der speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie , die eine (oder mehrere) zeitähnliche dimensionale Komponenten enthält, deren Selbstpunktprodukte negativ sind . Danny Calegari nennt diese konvexen kokompakten Coxeter-Gruppen im n-dimensionalen hyperbolischen Raum.
Level 2
Ein 1982 erschienenes Papier von George Maxwell, Sphere Packings and Hyperbolic Reflection Groups , zählt die endliche Liste der Lorentzian von Rang 5 bis 11 auf. Er nennt sie Level 2 , was bedeutet, dass das Entfernen jeder Permutation von 2 Knoten einen endlichen oder euklidischen Graphen hinterlässt.
Alle Coxeter-Gruppen höherer Ordnung vom Rang 4 sind lorentzsch und enden im Limes als vollständiger Graph 3- Simplex- Coxeter-Dynkin-Diagramm mit 6 Verzweigungen unendlicher Ordnung, was als [∞ [3,3] ] ausgedrückt werden kann . Rang 5-11 haben eine endliche Anzahl von Gruppen 186, 66, 36, 13, 10, 8 bzw. 4 Lorentzsche Gruppen.
Ein Papier aus dem Jahr 2013 von H. Chen und J.-P. Labbé, Lorentzian Coxeter-Gruppen und Boyd--Maxwell-Kugelpackungen haben die vollständige Liste neu berechnet und veröffentlicht und 3 neue Gruppen mit Rang 5 hinzugefügt, insgesamt 189.
Dies ist die vollständige Liste, einschließlich Grafiken für die Ränge 5 bis 7.
Sehr erweiterte Coxeter-Diagramme
Eine Verwendung umfasst eine sehr erweiterte Definition aus der direkten Verwendung von Dynkin-Diagrammen, die affine Gruppen als erweiterte , hyperbolische Gruppen überdehnt und einen dritten Knoten als sehr erweiterte einfache Gruppen betrachtet. Diese Erweiterungen werden normalerweise durch einen Exponenten von 1,2 oder 3 + Symbolen für die Anzahl der erweiterten Knoten gekennzeichnet. Diese Verlängerungsreihe kann rückwärts verlängert werden, indem die Knoten sequentiell von derselben Position im Graphen entfernt werden, obwohl der Prozess nach dem Entfernen des Verzweigungsknotens stoppt. Die erweiterte Familie E 8 ist das am häufigsten gezeigte Beispiel, das sich von E 3 rückwärts und vorwärts zu E 11 erstreckt .
Der Erweiterungsprozess kann eine begrenzte Reihe von Coxeter-Graphen definieren, die von endlich zu affin zu hyperbolisch zu Lorentzian fortschreiten. Die Determinante der Cartan-Matrizen bestimmt, wo sich die Reihe von endlich (positiv) zu affin (null) zu hyperbolisch (negativ) ändert und als Lorentzsche Gruppe endet, die mindestens eine hyperbolische Untergruppe enthält. Die nichtkristallographischen H n -Gruppen bilden eine erweiterte Reihe, in der H 4 als kompakte Hyperbel erweitert und zu einer Lorentzschen Gruppe überdehnt wird.
Die Determinante der Schläfli-Matrix nach dem Rang sind:
- det(A 1 n =[2 n-1 ]) = 2 n (Endlich für alle n)
- det(A n =[3 n-1 ]) = n+1 (Endlich für alle n)
- det(B n =[4,3 n-2 ]) = 2 (Endlich für alle n)
- det(D n =[3 n-3,1,1 ]) = 4 (Endlich für alle n)
Determinanten der Schläfli-Matrix in Ausnahmereihen sind:
- det( E n =[3 n-3,2,1 ]) = 9-n (Endlich für E 3 (=A 2 A 1 ), E 4 (=A 4 ), E 5 (=D 5 ), E 6 , E 7 und E 8 , affin bei E 9 ( ), hyperbolisch bei E 10 )
- det([3 n-4,3,1 ]) = 2(8-n) (Endlich für n=4 bis 7, affin ( ) und hyperbolisch bei n=8.)
- det([3 n-4,2,2 ]) = 3(7-n) (Endlich für n=4 bis 6, affin ( ) und hyperbolisch bei n=7.)
- det(F n =[3,4,3 n-3 ]) = 5-n (Endlich für F 3 (=B 3 ) bis F 4 , affin bei F 5 ( ), hyperbolisch bei F 6 )
- det(G n =[6,3 n-2 ]) = 3-n (Endlich für G 2 , affin bei G 3 ( ), hyperbolisch bei G 4 )
Endlich | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Rang Nr | [3 [7] ,3 n-7 ] | [4,3 3 ,3 n-6,1 ] | [3 1,1 ,3,3,3 n-6,1 ] | [3 n-5,2,2 ] | [3 [8] ,3 n-8 ] | [4,3 4 ,3 n-7,1 ] | [3 1,1 ,3,3,3,3 n-7,1 ] | [3 n-5,3,1 ] | E n =[3 n-4,2,1 ] |
3 | [3 −1,2,1 ] E 3 =A 2 A 1 |
||||||||
4 | [3 -1,2,2 ] A 2 2 |
[3 −1,3,1 ] A 3 A 1 |
[3 0,2,1 ] E 4 =A 4 |
||||||
5 | [4,3,3,3,3 −1,1 ] B 4 A 1 |
[3 1,1 ,3,3,3 −1,1 ] D 4 A 1 |
[3 0,2,2 ] A 5 |
[3 0,3,1 ] A 5 |
[3 1,2,1 ] E 5 =D 5 |
||||
6 | [3 5 ] A 6 |
[4,3 4 ] B 6 |
[3 - 1,1 , 3,3,3] D 6 |
[3 1,2,2 ] E 6 |
[4,3,3,3,3,3 −1,1 ] B 5 A 1 |
[3 1,1 ,3,3,3,3 −1,1 ] D 5 A 1 |
[3 1,3,1 ] D 6 |
[3 2,2,1 ] E 6 * |
|
7 | [3 [7] ] A 6 + = |
[4,3 3 ,3 1,1 ] B 6 + = |
[3 - 1,1 , 3,3,3 1,1 ] D 6 + = |
[3 2,2,2 ] E 6 + = |
[3 6 ] A 7 |
[4,3 5 ] B 7 |
[3 - 1,1 , 3,3,3,3 0,1 ] D 7 |
[3 2,3,1 ] E 7 * |
[3 3,2,1 ] E 7 * |
8 | [3 [7] ,3] A 6 ++ = |
[4,3 3 ,3 2,1 ] B 6 ++ = |
[3 - 1,1 , 3,3,3 2,1 ] D 6 ++ = |
[3 3,2,2 ] E 6 ++ = |
[3 [8] ] A 7 + = * |
[4,3 4 , 3 1,1 ] B 7 + = * |
[3 - 1,1 , 3,3,3,3 1,1 ] D 7 + = * |
[3 3,3,1 ] E 7 + = * |
[3 4,2,1 ] E 8 * |
9 | [3 [7] ,3,3] A 6 +++ |
[4,3 3 ,3 3,1 ] B 6 +++ |
[3 1,1 ,3,3,3 3,1 ] D 6 +++ |
[3 4,2,2 ] E 6 +++ |
[3 [8] ,3] A 7 ++ = * |
[4,3 4 , 3 2,1 ] B 7 ++ = * |
[3 1,1 ,3,3,3,3 2,1 ] D 7 ++ = * |
[3 4,3,1 ] E 7 ++ = * |
[3 5,2,1 ] E 9 =E 8 + = * |
10 | [3 [8] ,3,3] A 7 +++ * |
[4,3 4 , 3 3,1 ] B 7 +++ * |
[3 1,1 ,3,3,3,3 3,1 ] D 7 +++ * |
[3 5,3,1 ] E 7 +++ * |
[3 6,2,1 ] E 10 =E 8 ++ = * |
||||
11 | [3 7,2,1 ] E 11 =E 8 +++ * |
||||||||
Det(M n ) | 7(7- n ) | 2(7- n ) | 4(7- n ) | 3(7- n ) | 8(8- n ) | 2(8- n ) | 4(8- n ) | 2(8- n ) | 9- nein |
Geometrische Faltung
φ A : A Γ --> A Γ' für endliche Typen | |||
---|---|---|---|
Γ | ' | Beschreibung zum Falten | Coxeter-Dynkin-Diagramme |
ich 2 ( h ) | (h) | Diederfaltung | |
B nein | A 2n | (ich, s n ) | |
D n + 1 , A 2 N-1 | (A 3 ,+/-ε) | ||
F 4 | E 6 | (A 3 ,±ε) | |
H 4 | E 8 | (A 4 ,±ε) | |
H 3 | D 6 | ||
H 2 | Ein 4 | ||
G 2 | A 5 | (A 5 ,±ε) | |
D 4 | (D 4 ,±ε) | ||
φ: A Γ + --> A Γ' + für affine Typen | |||
Lokal trivial | |||
(ich, s n ) | |||
, | (A 3 ,±ε) | ||
, | (A 3 ,±ε) | ||
(ich, s n ) | |||
(I,s n ) & (I,s 0 ) | |||
(A 3 ,ε) & (I,s 0 ) | |||
(A 3 ,ε) & (A 3 ,ε') | |||
(A 3 ,-ε) & (A 3 ,-ε') | |||
(ich,s 1 ) | |||
, | (A 3 ,±ε) | ||
, | (A 5 ,±ε) | ||
, | (B 3 ,±ε) | ||
, | (D 4 ,±ε) |
Ein (einfach geschnürtes) Coxeter-Dynkin-Diagramm (endlich, affin oder hyperbolisch), das eine Symmetrie hat (die eine Bedingung unten erfüllt) kann durch die Symmetrie quotiert werden, was ein neues, im Allgemeinen mehrfach geschnürtes Diagramm mit dem Prozess namens " falten".
Zum Beispiel zeigt in D 4 Faltung zu G 2 die Kante in G 2 von der Klasse der 3 äußeren Knoten (Wertigkeit 1) auf die Klasse des zentralen Knotens (Wertigkeit 3). Und E 8 faltet sich in 2 Kopien von H 4 , die zweite Kopie skaliert um τ .
Geometrisch Dies entspricht orthogonale Projektionen von einheitlichem polytopes und tessellations. Bemerkenswert ist, dass jedes endliche einfach geschnürte Coxeter-Dynkin-Diagramm auf I 2 ( h ) gefaltet werden kann , wobei h die Coxeter-Zahl ist , die geometrisch einer Projektion auf die Coxeter-Ebene entspricht .
Ein paar hyperbolische Faltungen |
Komplexe Reflexionen
Coxeter-Dynkin-Diagramme wurden auf den komplexen Raum C n erweitert, wobei Knoten unitäre Reflexionen mit einer Periode größer als 2 sind. Coxeter schreibt die komplexe Gruppe p[q]r als Diagramm.
Ein eindimensionales regelmäßiges komplexes Polytop in wird dargestellt als, mit p- Scheitelpunkten. Seine reelle Darstellung ist ein regelmäßiges Vieleck , { p }. Seine Symmetrie ist p [] oder, bestellen p . Ein einheitlicher Operator- Generator fürwird als Drehung in um 2π/ p Radiant entgegen dem Uhrzeigersinn gesehen , und aKante wird durch sequentielle Anwendungen einer einzigen einheitlichen Reflexion erzeugt. Ein unitärer Reflexionsgenerator für ein 1-Polytop mit p Ecken ist e 2π i / p = cos(2π/ p ) + i sin(2π/ p ) . Bei p = 2 ist der Generator e π i = –1, genau wie eine Punktreflexion in der reellen Ebene.
In einem höheren Polytop p {} orstellt ein p- Kantenelement dar, mit einer 2-Kante, {} oder, die eine gewöhnliche reelle Kante zwischen zwei Scheitelpunkten darstellt.
Komplexe 1-Polytope, , dargestellt in der Argand-Ebene als regelmäßige Polygone für p = 2, 3, 4, 5 und 6, mit schwarzen Ecken. Der Schwerpunkt der p- Scheitelpunkte ist rot dargestellt. Die Seiten der Polygone stellen eine Anwendung des Symmetriegenerators dar, der jeden Scheitelpunkt auf die nächste Kopie gegen den Uhrzeigersinn abbildet. Diese polygonalen Seiten Kante nicht Elemente des Polytops als ein komplexer 1-Polytop keine Kanten aufweisen kann (es oft ist eine komplexe Flanke) und enthält nur Vertexelemente. |
Aa regelmäßige komplexe Polygone in , hat die Form p { q } r oder Coxeter-Diagramm. Die Symmetriegruppe eines regelmäßigen komplexen Vieleckswird nicht als Coxeter-Gruppe bezeichnet , sondern als Shephard-Gruppe , eine Art Komplexe Reflexionsgruppe . Die Ordnung von p [ q ] r ist .
Die Rang-2-Shephard-Gruppen sind: 2 [ q ] 2 , p [4] 2 , 3 [3] 3 , 3 [6] 2 , 3 [4] 3 , 4 [3] 4 , 3 [8] 2 , 4 [6] 2 , 4 [4] 3 , 3 [5] 3 , 5 [3] 5 , 3 [10] 2 , 5 [6] 2 und 5 [4] 3 oder, , , , , , , , , , , , , der Ordnung 2 q , 2 p 2 , 24, 48, 72, 96, 144, 192, 288, 360, 600, 1200 bzw. 1800.
Die Symmetriegruppe p 1 [ q ] p 2 wird durch 2 Generatoren R 1 , R 2 dargestellt , wobei: R 1 p 1 = R 2 p 2 = I. Wenn q gerade ist, (R 2 R 1 ) q /2 = (R 1 R 2 ) q /2 . Wenn q ungerade ist, (R 2 R 1 ) (q – 1)/2 R 2 = (R 1 R 2 ) ( q –1)/2 R 1 . Wenn q ungerade ist, p 1 = p 2 .
Die Gruppeoder [1 1 1] p ist definiert durch 3 Einheitsreflexionen der Periode 2 {R 1 , R 2 , R 3 }: R 1 2 = R 1 2 = R 3 2 = (R 1 R 2 ) 3 = (R 2 R 3 ) 3 = (R 3 R 1 ) 3 = (R 1 R 2 R 3 R 1 ) p = 1. Die Periode p kann als doppelte Drehung in reellen gesehen werden .
Eine ähnliche Gruppeoder [1 1 1] (p) ist definiert durch 3 Einheitsreflexionen der Periode 2 {R 1 , R 2 , R 3 }: R 1 2 = R 1 2 = R 3 2 = (R 1 R 2 ) 3 = (R 2 R 3 ) 3 = (R 3 R 1 ) 3 = (R 1 R 2 R 3 R 2 ) p = 1.
Siehe auch
- Coxeter-Gruppe
- Schwarzes Dreieck
- Goursat-Tetraeder
- Dynkin-Diagramm
- Einheitliches Polytop
- Wythoff-Konstruktion und Wythoff-Symbol
Verweise
Weiterlesen
- James E. Humphreys, Reflection Groups and Coxeter Groups , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 29 (1990)
-
Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , herausgegeben von F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [8] , Googlebooks [ 9]
- (Papier 17) Coxeter , The Evolution of Coxeter-Dynkin-Diagramme , [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233-248]
- Coxeter , The Beauty of Geometry: Twelve Essays , Dover Publications, 1999, ISBN 978-0-486-40919-1 (Kapitel 3: Wythoffs Konstruktion für einheitliche Polytope)
-
Coxeter , Regular Polytopes (1963), Macmillan Company
- Regular Polytopes , Third Edition, (1973), Dover Edition, ISBN 0-486-61480-8 (Kapitel 5: Das Kaleidoskop und Abschnitt 11.3 Darstellung durch Graphen)
- HSM Coxeter und WOJ Moser. Generatoren und Beziehungen für diskrete Gruppen 4. Aufl., Springer-Verlag. New York. 1980
- Norman Johnson , Geometries and Transformations , Kapitel 11,12,13, Preprint 2011
- NW Johnson , R. Kellerhals , JG Ratcliffe, ST Tschantz, The size of a hyperbolic Coxeter simplex , Transformation Groups 1999, Volume 4, Issue 4, S. 329–353 [10] [11]
- Norman W. Johnson und Asia Ivic Weiss Quadratische Integer- und Coxeter-Gruppen PDF Can. J.Math. vol. 51 (6), 1999 S. 1307–1336
Externe Links
- Weisstein, Eric W. "Coxeter-Dynkin-Diagramm" . MathWorld .
- Oktober 1978 Diskussion über die Geschichte der Coxeter-Diagramme von Coxeter und Dynkin in Toronto , Kanada ; Eugene Dynkin Sammlung mathematischer Interviews, Cornell University Library .