Esquisse d'un Programm - Esquisse d'un Programme

"Esquisse d'un Program" (Skizze eines Programms) ist ein berühmter Vorschlag des in Deutschland geborenen französischen Mathematikers Alexander Grothendieck aus dem Jahr 1984 für die langfristige mathematische Forschung. In seinem wichtigen Projektvorschlag verfolgte er die Abfolge logisch verknüpfter Ideen von 1984 bis 1988, aber seine vorgeschlagene Forschung ist bis heute in mehreren Bereichen der fortgeschrittenen Mathematik von großem Interesse. Grothendiecks Vision liefert heute Inspiration für verschiedene Entwicklungen in der Mathematik, wie die Erweiterung und Verallgemeinerung der Galois-Theorie , die derzeit auf der Grundlage seines ursprünglichen Vorschlags erweitert wird.

Kurze Geschichte

Das 1984 eingereichte Esquisse d'un-Programm war ein Vorschlag von Alexander Grothendieck für eine Stelle am Centre National de la Recherche Scientifique . Der Vorschlag war nicht erfolgreich, aber Grothendieck erhielt eine Sonderstellung, in der er während seiner Zugehörigkeit zur Universität Montpellier vom CNRS bezahlt und von seinen Lehrverpflichtungen entbunden wurde. Grothendieck hatte diese Position von 1984 bis 1988 inne. Dieser Vorschlag wurde erst 1997 offiziell veröffentlicht, da der Autor "nicht gefunden werden konnte, geschweige denn um seine Erlaubnis gebeten". Die in diesem Manuskript enthaltenen Umrisse von Dessins d'enfants oder "Kinderzeichnungen" und " Anabelsche Geometrie " inspirieren weiterhin die Forschung; " Anabelsche Geometrie ist eine in der Mathematik vorgeschlagene Theorie , die beschreibt, wie die algebraische Grundgruppe G einer algebraischen Sorte V oder eines verwandten geometrischen Objekts bestimmt, wie V unter der Annahme, dass G ist, auf ein anderes geometrisches Objekt W abgebildet werden kann nicht eine abelsche Gruppe , im Sinne von stark sein nichtkommutative . das Wort anabelsche (ein alpha privative an- vor abelian ) wurde eingeführt Esquisse d'un Programm . Während die Arbeit von Grothen für war viele Jahre nicht veröffentlichten und nicht erreichbar durch die traditionelle formale wissenschaftliche Kanäle, die Formulierung und Vorhersagen der vorgeschlagenen Theorie erhielten viel Aufmerksamkeit und einige Änderungen durch eine Reihe von Mathematikern. Diejenigen, die auf diesem Gebiet geforscht haben, haben einige erwartete und verwandte Ergebnisse erzielt, und im 21. Jahrhundert die Anfänge einer solchen Theorie wurden verfügbar. "

Auszug aus Grothendiecks Programm

(" Sommaire ")

Vorgeschlagene weitere Informationen für den interessierten mathematischen Leser finden Sie im Abschnitt Referenzen .

Erweiterungen von Galois 'Theorie für Gruppen: Galois-Groupoide, Kategorien und Funktoren

Galois entwickelte eine leistungsfähige, grundlegende algebraische Theorie in der Mathematik, die sehr effiziente Berechnungen für bestimmte algebraische Probleme liefert, indem das algebraische Konzept von Gruppen verwendet wird , das heute als Theorie der Galois-Gruppen bekannt ist . Solche Berechnungen waren vorher nicht möglich und sind in vielen Fällen auch viel effektiver als die "direkten" Berechnungen ohne Verwendung von Gruppen. Zunächst erklärte Alexander Grothendieck in seinem Vorschlag: "So wird die Gruppe von Galois als Automorphismusgruppe einer konkreten, pro-endlichen Gruppe verwirklicht , die bestimmte Strukturen respektiert, die für diese Gruppe wesentlich sind." Diese grundlegende Galois-Gruppentheorie in der Mathematik wurde erheblich erweitert, zunächst auf Gruppoide - wie in Alexander Grothendiecks Esquisse d'un-Programm ( EdP ) vorgeschlagen - und jetzt bereits teilweise für Gruppoide durchgeführt; Letztere werden nun von mehreren Gruppen von Mathematikern über Gruppoide hinaus zu Kategorien weiterentwickelt. Wir werden uns hier nur auf die etablierten und vollständig validierten Erweiterungen der Galois-Theorie konzentrieren. So schlug EdP neben früheren IHÉS- Seminaren von Alexander Grothendieck ( SGA1 bis SGA4 ) in den 1960er Jahren auch die Entwicklung noch leistungsfähigerer Erweiterungen der ursprünglichen Galois-Theorie für Gruppen vor und nahm diese vorweg, indem Kategorien, Funktoren und natürliche Transformationen verwendet wurden weitere Erweiterung der Ideenvielfalt in Alexander Grothendiecks Abstammungstheorie . Der Motivbegriff wurde ebenfalls aktiv verfolgt. Dies wurde in die motivische Galois-Gruppe , Grothendieck-Topologie und Grothendieck-Kategorie entwickelt. Solche Entwicklungen wurden kürzlich in der algebraischen Topologie über darstellbare Funktoren und den grundlegenden gruppenförmigen Funktor erweitert .

Siehe auch

Verweise

Verwandte Werke von Alexander Grothendieck

Andere verwandte Veröffentlichungen

  • Schneps, Leila (1994), Die Grothendieck-Theorie von Dessins d'Enfants , Lecture Note Series der London Mathematical Society, Cambridge University Press .
  • Schneps, Leila; Lochak, Pierre, Hrsg. (1997), Geometric Galois Actions I: Rund um Grothendiecks Esquisse D'un-Programm , Lecture Note Series der London Mathematical Society, 242 , Cambridge University Press, ISBN   978-0-521-59642-8
  • Schneps, Leila; Lochak, Pierre, Hrsg. (1997), Geometric Galois Actions II: Das inverse Galois-Problem, Modulräume und Kartierungsklassengruppen , Lecture Note Series der London Mathematical Society, 243 , Cambridge University Press, ISBN   978-0-521-59641-1
  • Harbater, David; Schneps, Leila (2000), "Grundgruppen von Modulen und die Grothendieck-Teichmüller-Gruppe", Trans. Amer. Mathematik. Soc. , 352 (7): 3117-3148, doi : 10,1090 / S0002-9947-00-02347-3 .

Externe Links