Esquisse d'un Programm - Esquisse d'un Programme
"Esquisse d'un Program" (Skizze eines Programms) ist ein berühmter Vorschlag des in Deutschland geborenen französischen Mathematikers Alexander Grothendieck aus dem Jahr 1984 für die langfristige mathematische Forschung. In seinem wichtigen Projektvorschlag verfolgte er die Abfolge logisch verknüpfter Ideen von 1984 bis 1988, aber seine vorgeschlagene Forschung ist bis heute in mehreren Bereichen der fortgeschrittenen Mathematik von großem Interesse. Grothendiecks Vision liefert heute Inspiration für verschiedene Entwicklungen in der Mathematik, wie die Erweiterung und Verallgemeinerung der Galois-Theorie , die derzeit auf der Grundlage seines ursprünglichen Vorschlags erweitert wird.
Kurze Geschichte
Das 1984 eingereichte Esquisse d'un-Programm war ein Vorschlag von Alexander Grothendieck für eine Stelle am Centre National de la Recherche Scientifique . Der Vorschlag war nicht erfolgreich, aber Grothendieck erhielt eine Sonderstellung, in der er während seiner Zugehörigkeit zur Universität Montpellier vom CNRS bezahlt und von seinen Lehrverpflichtungen entbunden wurde. Grothendieck hatte diese Position von 1984 bis 1988 inne. Dieser Vorschlag wurde erst 1997 offiziell veröffentlicht, da der Autor "nicht gefunden werden konnte, geschweige denn um seine Erlaubnis gebeten". Die in diesem Manuskript enthaltenen Umrisse von Dessins d'enfants oder "Kinderzeichnungen" und " Anabelsche Geometrie " inspirieren weiterhin die Forschung; " Anabelsche Geometrie ist eine in der Mathematik vorgeschlagene Theorie , die beschreibt, wie die algebraische Grundgruppe G einer algebraischen Sorte V oder eines verwandten geometrischen Objekts bestimmt, wie V unter der Annahme, dass G ist, auf ein anderes geometrisches Objekt W abgebildet werden kann nicht eine abelsche Gruppe , im Sinne von stark sein nichtkommutative . das Wort anabelsche (ein alpha privative an- vor abelian ) wurde eingeführt Esquisse d'un Programm . Während die Arbeit von Grothen für war viele Jahre nicht veröffentlichten und nicht erreichbar durch die traditionelle formale wissenschaftliche Kanäle, die Formulierung und Vorhersagen der vorgeschlagenen Theorie erhielten viel Aufmerksamkeit und einige Änderungen durch eine Reihe von Mathematikern. Diejenigen, die auf diesem Gebiet geforscht haben, haben einige erwartete und verwandte Ergebnisse erzielt, und im 21. Jahrhundert die Anfänge einer solchen Theorie wurden verfügbar. "
Auszug aus Grothendiecks Programm
(" Sommaire ")
- 1. Der Vorschlag und das Unternehmen ("Envoi").
- 2. " Teichmüllers Lego-Spiel und die Galois-Gruppe von Q über Q" ("Un jeu de" Lego-Teichmüller " und die Gruppe von Galois de Q sur Q").
- 3. Zahlenfelder für Dessins d'enfant "(" Corps de nombres Associés à un Dessin d'enfant ").
- 4. Regelmäßige Polyeder über endlichen Feldern ("Polyèdres réguliers sur les corps finis").
- 5. Allgemeine Topologie oder eine " moderierte Topologie " ("Haro sur la topologie dite 'générale', et réflexions heuristiques vers une topologie dite 'modérée").
- 6. Differenzierbare Theorien und moderierte Theorien ("Théories différentiables" (à la Nash) und "théories modérées").
- 7. Verfolgung von Stapeln ("À la Poursuite des Champs").
- 8. Zweidimensionale Geometrie ("Digressions de géométrie bidimensionnelle").
- 9. Zusammenfassung der vorgeschlagenen Studien ("Bilan d'une activité enseignante").
- 10. Nachwort.
- Anmerkungen
Vorgeschlagene weitere Informationen für den interessierten mathematischen Leser finden Sie im Abschnitt Referenzen .
Erweiterungen von Galois 'Theorie für Gruppen: Galois-Groupoide, Kategorien und Funktoren
Galois entwickelte eine leistungsfähige, grundlegende algebraische Theorie in der Mathematik, die sehr effiziente Berechnungen für bestimmte algebraische Probleme liefert, indem das algebraische Konzept von Gruppen verwendet wird , das heute als Theorie der Galois-Gruppen bekannt ist . Solche Berechnungen waren vorher nicht möglich und sind in vielen Fällen auch viel effektiver als die "direkten" Berechnungen ohne Verwendung von Gruppen. Zunächst erklärte Alexander Grothendieck in seinem Vorschlag: "So wird die Gruppe von Galois als Automorphismusgruppe einer konkreten, pro-endlichen Gruppe verwirklicht , die bestimmte Strukturen respektiert, die für diese Gruppe wesentlich sind." Diese grundlegende Galois-Gruppentheorie in der Mathematik wurde erheblich erweitert, zunächst auf Gruppoide - wie in Alexander Grothendiecks Esquisse d'un-Programm ( EdP ) vorgeschlagen - und jetzt bereits teilweise für Gruppoide durchgeführt; Letztere werden nun von mehreren Gruppen von Mathematikern über Gruppoide hinaus zu Kategorien weiterentwickelt. Wir werden uns hier nur auf die etablierten und vollständig validierten Erweiterungen der Galois-Theorie konzentrieren. So schlug EdP neben früheren IHÉS- Seminaren von Alexander Grothendieck ( SGA1 bis SGA4 ) in den 1960er Jahren auch die Entwicklung noch leistungsfähigerer Erweiterungen der ursprünglichen Galois-Theorie für Gruppen vor und nahm diese vorweg, indem Kategorien, Funktoren und natürliche Transformationen verwendet wurden weitere Erweiterung der Ideenvielfalt in Alexander Grothendiecks Abstammungstheorie . Der Motivbegriff wurde ebenfalls aktiv verfolgt. Dies wurde in die motivische Galois-Gruppe , Grothendieck-Topologie und Grothendieck-Kategorie entwickelt. Solche Entwicklungen wurden kürzlich in der algebraischen Topologie über darstellbare Funktoren und den grundlegenden gruppenförmigen Funktor erweitert .
Siehe auch
Verweise
Verwandte Werke von Alexander Grothendieck
- Alexander Grothendieck . 1971, Revêtements Étales et Groupe Fondamental ( SGA1 ), Kapitel VI: Catégories fibrées et descente , Lecture Notes in Math. 224, Springer-Verlag: Berlin.
- Alexander Grothendieck. 1957, Sur quelques points d'algèbre homologique, Tohoku Mathematics Journal , 9 , 119-221.
- Alexander Grothendieck und Jean Dieudonné .: 1960, Éléments de géométrie algébrique ., Publ. No. Inst. des Hautes Études Scientifiques , ( IHÉS ) , 4 .
- Alexander Grothendieck et al., 1971. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie . 1-7, Berlin: Springer-Verlag.
- Alexander Grothendieck. 1962. Séminaires en Géométrie Algébrique du Bois-Marie . 2 - Cohomologie Locale des Faisceaux Cohèrents und Théorèmes de Lefschetz Locaux und Globaux ., S. 287. ( mit einem zusätzlichen Exposé von Frau Michele Raynaud ). (Schreibmaschinengeschriebenes Manuskript in französischer Sprache; siehe auch eine kurze Zusammenfassung in englischer Sprache. Zitierte Referenzen:
- Jean-Pierre Serre . 1964. Cohomologie Galoisienne , Springer-Verlag: Berlin.
- JL Verdier . 1965. Algèbre homologiques et Catégories derivées . North Holland Publ. Cie ).
- Alexander Grothendieck et al. Séminaires en Géometrie Algèbrique- 4, Band 1, Exposé 1 (oder der Anhang zu Exposée 1 von N. Bourbaki ) für weitere Einzelheiten und eine große Anzahl von Ergebnissen. AG4 ist in Französisch frei verfügbar; Ebenfalls erhältlich ist ein umfangreiches Abstract in englischer Sprache.
- Alexander Grothendieck, 1984. "Esquisse d'un Program" (Manuskript von 1984), schließlich veröffentlicht in " Geometric Galois Actions ", L. Schneps, P. Lochak, Hrsg., London Math. Soc. Lecture Notes 242 , Cambridge University Press , 1997, S. 5-48; Englische Übersetzung ibid., S. 243-283. MR 1483107 .
- Alexander Grothendieck, " La longue marche in à travers la théorie de Galois ". = "Der lange Marsch in Richtung / über die Theorie von Galois ", Manuskript 1981, Preprint-Reihe 1996 der Universität Montpellier , herausgegeben von J. Malgoire.
- Schneps, Leila (1994), Die Grothendieck-Theorie von Dessins d'Enfants , Lecture Note Series der London Mathematical Society, Cambridge University Press .
- Schneps, Leila; Lochak, Pierre, Hrsg. (1997), Geometric Galois Actions I: Rund um Grothendiecks Esquisse D'un-Programm , Lecture Note Series der London Mathematical Society, 242 , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59642-8
- Schneps, Leila; Lochak, Pierre, Hrsg. (1997), Geometric Galois Actions II: Das inverse Galois-Problem, Modulräume und Kartierungsklassengruppen , Lecture Note Series der London Mathematical Society, 243 , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59641-1
- Harbater, David; Schneps, Leila (2000), "Grundgruppen von Modulen und die Grothendieck-Teichmüller-Gruppe", Trans. Amer. Mathematik. Soc. , 352 (7): 3117-3148, doi : 10,1090 / S0002-9947-00-02347-3 .
Externe Links
- Grundlegende Groupoid-Funktoren , Planetenphysik.
- Der beste abgelehnte Vorschlag aller Zeiten , Never Ending Books, Lieven le Bruyn
- Anmerkungen Anabéliennes , A. Grothendieck.