Satz von Hirzebruch–Riemann–Roch - Hirzebruch–Riemann–Roch theorem

In der Mathematik ist das Hirzebruch-Riemann-Roch-Theorem , benannt nach Friedrich Hirzebruch , Bernhard Riemann und Gustav Roch , Hirzebruchs Ergebnis von 1954, das den klassischen Riemann-Roch-Satz über Riemann-Flächen auf alle komplexen algebraischen Varietäten höherer Dimensionen verallgemeinert . Das Ergebnis ebnete den Weg für den etwa drei Jahre später bewiesenen Satz von Grothendieck–Hirzebruch–Riemann–Roch .

Aussage des Satzes von Hirzebruch–Riemann–Roch

Der Satz von Hirzebruch-Riemann-Roch gilt für jedes holomorphe Vektorbündel E auf einer kompakten komplexen Mannigfaltigkeit X , um die holomorphe Euler-Charakteristik von E in der Garbenkohomologie zu berechnen , nämlich die alternierende Summe

${\displaystyle \chi(X,E)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{i}\dim _{\mathbb{C}}H^{i}(X,E )}$

der Dimensionen als komplexe Vektorräume, wobei n die komplexe Dimension von X ist .

Der Satz von Hirzebruch besagt, dass χ( X , E ) berechenbar ist in Bezug auf die Chern-Klassen c _k ( E ) von E und die Todd-Klassen des holomorphen Tangensbündels von X . Diese liegen alle im Kohomologiering von X ; unter Verwendung der Fundamentalklasse (oder mit anderen Worten Integration über X ) können wir Zahlen aus Klassen in der Hirzebruch-Formel erhalten: ${\displaystyle \operatorname {td} _{j}(X)}$${\displaystyle H^{2n}(X).}$

${\displaystyle \chi(X,E)=\sum \operatorname {ch} _{nj}(E)\operatorname {td} _{j}(X),}$

wobei die Summe über alle relevanten j (also 0 ≤ j ≤ n ) unter Verwendung des Chern-Zeichens ch( E ) in der Kohomologie genommen wird. Mit anderen Worten, die Produkte werden im Kohomologiering aller 'übereinstimmenden' Grade gebildet, die sich zu 2 n addieren . Anders formuliert ergibt es die Gleichheit

${\displaystyle \chi (X,E)=\int _{X}\operatorname {ch} (E)\operatorname {td} (X)}$

wo ist die Todd-Klasse des Tangentenbündels von X . ${\displaystyle \operatorname {td} (X)}$

Bedeutende Sonderfälle sind, wenn E ein komplexes Linienbündel ist und wenn X eine algebraische Fläche ist ( Noether-Formel ). Der Riemann-Roch-Satz von Weil für Vektorbündel auf Kurven und der Riemann-Roch-Satz für algebraische Flächen (siehe unten) sind in seinem Geltungsbereich enthalten. Die Formel drückt auch auf präzise Weise die vage Vorstellung aus, dass die Todd-Klassen in gewissem Sinne Kehrwerte charakteristischer Klassen sind .

Riemann-Roch-Satz für Kurven

Für Kurven ist der Satz von Hirzebruch-Riemann-Roch im Wesentlichen der klassische Satz von Riemann-Roch . Um dies zu sehen, erinnern Sie sich daran, dass es für jeden Teiler D auf einer Kurve eine invertierbare Garbe O( D ) gibt (die einem Linienbündel entspricht), so dass das lineare System von D mehr oder weniger der Raum der Abschnitte von O( D ) ist . Für Kurven ist die Todd-Klasse und der Chern-Charakter einer Garbe O( D ) ist nur 1+ c ₁ (O( D )), also besagt der Satz von Hirzebruch-Riemann-Roch, dass ${\displaystyle 1+c_{1}(T(X))/2,}$

${\displaystyle h^{0}({\mathcal {O}}(D))-h^{1}({\mathcal {O}}(D))=c_{1}({\mathcal {O} }(D))+c_{1}(T(X))/2\ \ \ }$(über X integriert ).

Aber h ⁰ (O( D )) ist gerade l ( D ), die Dimension des linearen Systems von D , und nach Serre-Dualität h ¹ (O( D )) = h ⁰ (O( K  −  D )) = l ( K  −  D ) wobei K der kanonische Teiler ist . Außerdem ist c ₁ (O( D )) integriert über X der Grad von D , und c ₁ ( T ( X )) integriert über X ist die Euler-Klasse 2 − 2 g der Kurve X , wobei g die Gattung ist. Wir erhalten also den klassischen Riemann-Roch-Satz

${\displaystyle \ell (D)-\ell (KD)={\text{deg}}(D)+1-g.}$

Für Vektorbündel V ist der Chern-Charakter rank( V ) + c ₁ ( V ), also erhalten wir den Riemann-Roch-Satz von Weil für Vektorbündel über Kurven:

${\displaystyle h^{0}(V)-h^{1}(V)=c_{1}(V)+\operatorname {Rang} (V)(1-g).}$

Riemann-Roch-Satz für Flächen

Für Flächen ist der Satz von Hirzebruch–Riemann–Roch im Wesentlichen der Satz von Riemann–Roch für Flächen

${\displaystyle \chi(D)=\chi({\mathcal{O}})+((DD)-(DK))/2.}$

kombiniert mit der Noether-Formel.

Wenn wir wollen, können wir mit der Serre-Dualität h ² (O( D )) als h ⁰ (O( K  −  D )) ausdrücken , aber anders als bei Kurven gibt es im Allgemeinen keine einfache Möglichkeit, h ¹ ( O( D ))-Term in einer Form, die keine Garben-Kohomologie beinhaltet (obwohl er in der Praxis oft verschwindet).

Asymptotische Riemann-Roch

Sei D ein reichlicher Cartier-Teiler auf einer irreduziblen projektiven Varietät X der Dimension n . Dann

${\displaystyle h^{0}\left(X,{\mathcal {O}}_{X}(mD)\right)={\frac {(D^{n})}{n!}}.m ^{n}+O(m^{n-1}).}$

Allgemeiner gesagt, wenn eine kohärente Garbe auf X ist, dann ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle h^{0}\left(X,{\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(mD)\right)=\operatorname {Rang} ({\mathcal { F}}){\frac {(D^{n})}{n!}}.m^{n}+O(m^{n-1}).}$

Siehe auch

• Satz von Grothendieck–Riemann–Roch – enthält viele Berechnungen und Beispiele
• Hilbert-Polynom - HRR kann verwendet werden, um Hilbert-Polynome zu berechnen

Verweise

• Friedrich Hirzebruch , Topologische Methoden der algebraischen Geometrie ISBN  3-540-58663-6

Externe Links

• Der Satz von Hirzebruch-Riemann-Roch