Satz von Grothendieck - Riemann - Roch - Grothendieck–Riemann–Roch theorem

Satz von Grothendieck-Riemann-Roch

Grothendiecks Kommentar zum Satz von Grothendieck-Riemann-Roch
Feld	Algebraische Geometrie
Erster Beweis von	Alexander Grothendieck
Erster Beweis in	1957
Verallgemeinerungen	Atiyah-Singer-Indexsatz
Folgen	Hirzebruch-Riemann-Roch-Theorem Riemann-Roch-Theorem für Oberflächen Riemann-Roch-Theorem

In der Mathematik , insbesondere in der algebraischen Geometrie , ist das Grothendieck-Riemann-Roch-Theorem ein weitreichendes Ergebnis der kohärenten Kohomologie . Es ist eine Verallgemeinerung des Hirzebruch-Riemann-Roch-Theorems über komplexe Mannigfaltigkeiten , die selbst eine Verallgemeinerung des klassischen Riemann-Roch-Theorems für Linienbündel auf kompakten Riemann-Oberflächen ist .

Theoreme vom Riemann-Roch-Typ beziehen Euler-Merkmale der Kohomologie eines Vektorbündels auf ihre topologischen Grade oder allgemeiner auf ihre charakteristischen Klassen in (Co) Homologie oder algebraischen Analoga davon. Das klassische Riemann-Roch-Theorem tut dies für Kurven und Linienbündel, während das Hirzebruch-Riemann-Roch-Theorem dies auf Vektorbündel über Mannigfaltigkeiten verallgemeinert. Das Grothendieck-Riemann-Roch-Theorem setzt beide Theoreme in eine relative Situation eines Morphismus zwischen zwei Mannigfaltigkeiten (oder allgemeineren Schemata ) und ändert das Theorem von einer Aussage über ein einzelnes Bündel zu einer Aussage, die für Kettenkomplexe von Garben gilt .

Der Satz war sehr einflussreich, nicht zuletzt für die Entwicklung des Atiyah-Singer-Indexsatzes . Umgekehrt können komplexe analytische Analoga des Grothendieck-Riemann-Roch-Theorems mit dem Indexsatz für Familien bewiesen werden. Alexander Grothendieck gab einen ersten Beweis in einem Manuskript von 1957, das später veröffentlicht wurde. Armand Borel und Jean-Pierre Serre schrieben und veröffentlichten 1958 Grothendiecks Beweis. Später vereinfachten und verallgemeinerten Grothendieck und seine Mitarbeiter den Beweis.

Formulierung

Sei X ein glattes quasi-projektives Schema über einem Feld . Unter diesen Annahmen, die Grothen Gruppe von beschränkten Komplexen von kohärenten Seilscheiben ist kanonisch isomorph zur Gruppe der Grothen begrenzt Komplexe von finite-rank Vektorbündel. Betrachten Sie unter Verwendung dieses Isomorphismus den Chern-Charakter (eine rationale Kombination von Chern-Klassen ) als eine funktionale Transformation: ${\ displaystyle K_ {0} (X)}$

${\ displaystyle \ mathrm {ch} \ Doppelpunkt K_ {0} (X) \ bis A (X, \ mathbb {Q}),}$

Wo ist die Chow-Gruppe von Zyklen auf X der Dimension d modulo rationale Äquivalenz , gespannt mit den rationalen Zahlen . Wenn X über die komplexen Zahlen definiert ist , wird die letztere Gruppe der topologischen Kohomologiegruppe zugeordnet : ${\ displaystyle A_ {d} (X, \ mathbb {Q})}$

${\ displaystyle H ^ {2 \ dim (X) -2d} (X, \ mathbb {Q}).}$

Nun betrachtet eine ordnungsgemäße morphism zwischen glatten quasi-projektive Schemata und einem begrenzten Komplex von Scheiben auf ${\ displaystyle f \ Doppelpunkt X \ bis Y}$${\ displaystyle {{\ mathcal {F}} ^ {\ bullet}}}$${\ displaystyle X.}$

Das Grothendieck-Riemann-Roch-Theorem bezieht sich auf die Pushforward-Karte

${\ displaystyle f _ {!} = \ sum (-1) ^ {i} R ^ {i} f _ {*} \ Doppelpunkt K_ {0} (X) \ bis K_ {0} (Y)}$

(abwechselnde Summe höherer direkter Bilder ) und Pushforward

${\ displaystyle f _ {*} \ Doppelpunkt A (X) \ bis A (Y),}$

nach der Formel

${\ displaystyle \ mathrm {ch} (f _ {!} {\ mathcal {F}} ^ {\ bullet}) \ mathrm {td} (Y) = f _ {*} (\ mathrm {ch} ({\ mathcal { F}} ^ {\ bullet}) \ mathrm {td} (X)).}$

Hier ist die Todd Gattung der ( Tangentialbündel of) X . Somit gibt der Satz ein genaues Maß für die mangelnde Kommutativität des Vorwärtsschubs in den oben genannten Sinnen und des Chern-Charakters und zeigt, dass die erforderlichen Korrekturfaktoren nur von X und Y abhängen . Da die Todd-Gattung in exakten Sequenzen funktoriell und multiplikativ ist , können wir die Grothendieck-Riemann-Roch-Formel als umschreiben ${\ displaystyle \ mathrm {td} (X)}$

${\ displaystyle \ mathrm {ch} (f _ {!} {\ mathcal {F}} ^ {\ kugel}) = f _ {*} (\ mathrm {ch} ({\ mathcal {F}} ^ {\ kugel} ) \ mathrm {td} (T_ {f})),}$

wo ist die relative Tangentengarbe von f , definiert als das Element in . Wenn zum Beispiel f ein glatter Morphismus ist , ist es einfach ein Vektorbündel, das als Tangentenbündel entlang der Fasern von f bekannt ist . ${\ displaystyle T_ {f}}$${\ displaystyle TX-f ^ {*} (TY)}$${\ displaystyle K_ {0} (X)}$${\ displaystyle T_ {f}}$

Unter Verwendung einer ^1- Homotopietheorie wurde das Grothendieck-Riemann-Roch-Theorem von Navarro & Navarro (2017) auf die Situation erweitert, in der f eine geeignete Abbildung zwischen zwei glatten Schemata ist.

Verallgemeinern und spezialisieren

Verallgemeinerungen des Theorems können auf den nicht glatten Fall vorgenommen werden, indem eine geeignete Verallgemeinerung der Kombination in Betracht gezogen wird, und auf den nicht ordnungsgemäßen Fall, indem die Kohomologie mit kompakter Unterstützung betrachtet wird . ${\ displaystyle \ mathrm {ch} (-) \ mathrm {td} (X)}$

Das arithmetische Riemann-Roch-Theorem erweitert das Grothendieck-Riemann-Roch-Theorem auf arithmetische Schemata .

Das Hirzebruch-Riemann-Roch-Theorem ist (im Wesentlichen) der Sonderfall, in dem Y ein Punkt und das Feld das Feld komplexer Zahlen ist.

Die Version des Riemann-Roch-Theorems für orientierte Kohomologietheorien wurde von Ivan Panin und Alexander Smirnov bewiesen. Es befasst sich mit multiplikativen Operationen zwischen algebraisch orientierten Kohomologietheorien (wie dem algebraischen Cobordismus ). Der Grothendieck-Riemann-Roch ist ein besonderer Fall, und der Chern-Charakter kommt in dieser Umgebung natürlich zur Geltung.

Beispiele

Vektorbündel auf einer Kurve

Ein Vektorbündel von Rang und Grad (definiert als Grad seiner Determinante oder äquivalent als Grad seiner ersten Chern-Klasse) auf einer glatten projektiven Kurve über einem Feld hat eine ähnliche Formel wie Riemann-Roch für Linienbündel. Wenn wir und ein Punkt kann die Grothendieck-Riemann-Roch Formel gelesen werden ${\ displaystyle E \ to C}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle X = C}$${\ displaystyle Y = \ {* \}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathrm {ch} (f _ {!} {\ mathcal {F}} ^ {\ bullet}) & = h ^ {0} (C, E) -h ^ {1} (C, E) \\ f _ {*} (\ mathrm {ch} (E) \ mathrm {td} (X)) & = f _ {*} ((n + c_ {1} (E)) (1+) (1/2) c_ {1} (T_ {C})) \\ & = f _ {*} (n + c_ {1} (E) + (n / 2) c_ {1} (T_ {C} )) \\ & = f _ {*} (c_ {1} (E) + (n / 2) c_ {1} (T_ {C})) \\ & = d + n (1-g) \ end { ausgerichtet}}}$

daher

${\ displaystyle \ chi (C, E) = d + n (1-g).}$

Diese Formel gilt auch für zusammenhängende Garben von Rang und Grad . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle d}$

Reibungslose Karten

Einer der Vorteile der Grothendieck-Riemann-Roch-Formel besteht darin, dass sie als relative Version der Hirzebruch-Riemann-Roch-Formel interpretiert werden kann. Zum Beispiel hat ein glatter Morphismus Fasern, die alle gleichdimensional sind (und als topologische Räume isomorph sind, wenn sich die Basis ändert ). Diese Tatsache ist in der Modultheorie nützlich, wenn ein Modulraum betrachtet wird , der glatte Eigenräume parametrisiert. Zum Beispiel verwendete David Mumford diese Formel, um Beziehungen des Chow-Rings zum Modulraum algebraischer Kurven abzuleiten . ${\ displaystyle f \ Doppelpunkt X \ bis Y}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$

Kurvenmodule

Für den Modulstapel von Gattungskurven (und keine markierten Punkte) gibt es eine universelle Kurve, wobei (der Modulstapel von Gattungskurven und einem markierten Punkt ist. Dann definiert er die tautologischen Klassen${\ displaystyle g}$${\ displaystyle {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g}}$${\ displaystyle \ pi \ Doppelpunkt {\ overline {\ mathcal {C}}} _ {g} \ bis {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g}}$${\ displaystyle {\ overline {\ mathcal {C}}} _ {g} = {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g, 1}}$${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle {\ begin {align} K _ {{\ overline {\ mathcal {C}}} _ {g} / {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g}} & = c_ {1} ( \ omega _ {{\ overline {\ mathcal {C}}} _ {g} / {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g}}) \\\ kappa _ {l} & = \ pi _ {*} (K _ {{\ overline {\ mathcal {C}}} _ {g} / {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g}} ^ {l + 1}) \\\ mathbb { E} & = \ pi _ {*} (\ omega _ {{\ overline {\ mathcal {C}}} _ {g} / {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g}}) \\ \ lambda _ {l} & = c_ {l} (\ mathbb {E}) \ end {align}}}$

wo und ist die relative dualisierende Garbe. Beachten Sie die Faser von über einem Punkt, dies ist die Dualisierungsgarbe . Mit Grothendieck-Riemann-Roch konnte er Beziehungen zwischen dem und der Beschreibung in Form einer Summe von (Folgerung 6.2) am Futterring des glatten Ortes finden. Da es sich um einen glatten Deligne-Mumford-Stapel handelt , betrachtete er eine Abdeckung durch ein Schema, das für eine endliche Gruppe gilt . Er nutzt Grothendieck-Riemann-Roch , um zu bekommen ${\ displaystyle 1 \ leq l \ leq g}$${\ displaystyle \ omega _ {{\ overline {\ mathcal {C}}} _ {g} / {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g}}}$${\ displaystyle \ omega _ {{\ overline {\ mathcal {C}}} _ {g} / {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g}}}$${\ displaystyle [C] \ in {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g}}$${\ displaystyle \ omega _ {C}}$${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$${\ displaystyle \ kappa _ {i}}$${\ displaystyle \ lambda _ {i}}$${\ displaystyle \ kappa _ {i}}$${\ displaystyle A ^ {*} ({\ mathcal {M}} _ {g})}$${\ displaystyle {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g}}$${\ displaystyle {\ tilde {\ mathcal {M}}} _ {g} \ to {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g}}$${\ displaystyle {\ overline {\ mathcal {M}}} _ {g} = [{\ tilde {\ mathcal {M}}} _ {g} / G]}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ omega _ {{\ tilde {\ mathcal {C}}} _ {g} / {\ tilde {\ mathcal {M}}} _ {g}}}$

${\ displaystyle \ mathrm {ch} (\ pi _ {!} (\ omega _ {{\ tilde {\ mathcal {C}}} / {\ tilde {\ mathcal {M}}})) = \ pi _ {*} (\ mathrm {ch} (\ omega _ {{\ tilde {\ mathcal {C}}} / {\ tilde {\ mathcal {M}}}) \ mathrm {Td} ^ {\ vee} ( \ Omega _ {{\ tilde {\ mathcal {C}}} / {\ tilde {\ mathcal {M}}}} ^ {1}))}$

weil

${\ displaystyle \ mathbf {R} ^ {1} \ pi _ {!} ({\ omega _ {{\ tilde {\ mathcal {C}}} _ {g} / {\ tilde {\ mathcal {M}} } _ {g}}}) \ cong {\ mathcal {O}} _ {\ tilde {M}},}$

das gibt die Formel

${\ displaystyle \ mathrm {ch} (\ mathbb {E}) = 1 + \ pi _ {*} ({\ text {ch}} (\ omega _ {{\ tilde {\ mathcal {C}}} / { \ tilde {\ mathcal {M}}}}) {\ text {Td}} ^ {\ vee} (\ Omega _ {{\ tilde {\ mathcal {C}}} / {\ tilde {\ mathcal {M} }}} ^ {1})).}$

Die Berechnung von kann dann noch weiter reduziert werden. In gleichmäßigen Dimensionen , ${\ displaystyle \ mathrm {ch} (\ mathbb {E})}$${\ displaystyle 2k}$

${\ displaystyle {\ text {ch}} (\ mathbb {E}) _ {2k} = 0.}$

Auch auf Dimension 1,

${\ displaystyle \ lambda _ {1} = c_ {1} (\ mathbb {E}) = {\ frac {1} {12}} (\ kappa _ {1} + \ delta),}$

Wo ist eine Klasse an der Grenze. In dem Fall und auf dem glatten Ort gibt es die Beziehungen ${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle g = 2}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {g}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ lambda _ {1} & = {\ frac {1} {12}} \ kappa _ {1} \\\ lambda _ {2} & = {\ frac {\ lambda _ {1} ^ {2}} {2}} = {\ frac {\ kappa _ {1} ^ {2}} {288}} \ end {align}}}$

was durch Analyse des Chern-Charakters von abgeleitet werden kann . ${\ displaystyle \ mathbb {E}}$

Geschlossene Einbettung

Geschlossene Einbettungen haben eine Beschreibung, die auch die Grothendieck-Riemann-Roch-Formel verwendet und einen anderen nicht trivialen Fall zeigt, in dem die Formel gilt. Für eine glatte Vielfalt von Dimensionen und eine Subvielfalt von Codimensionen gibt es die Formel ${\ displaystyle f \ Doppelpunkt Y \ bis X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle c_ {k} ({\ mathcal {O}} _ {Y}) = (- 1) ^ {k-1} (k-1)! [Y]}$

Verwenden Sie die kurze genaue Reihenfolge

${\ displaystyle 0 \ bis {\ mathcal {I}} _ {Y} \ bis {\ mathcal {O}} _ {X} \ bis {\ mathcal {O}} _ {Y} \ bis 0}$ ,

da ist die Formel

${\ displaystyle c_ {k} ({\ mathcal {I}} _ {Y}) = (- 1) ^ {k} (k-1)! [Y]}$

für die ideale Garbe seit . ${\ displaystyle 1 = c ({\ mathcal {O}} _ {X}) = c ({\ mathcal {O}} _ {Y}) c ({\ mathcal {I}} _ {Y})}$

Anwendungen

Quasi-Projektivität von Modulräumen

Mit Grothendieck-Riemann-Roch kann nachgewiesen werden, dass ein grober Modulraum , wie der Modulraum spitzer algebraischer Kurven , eine Einbettung in einen projektiven Raum zulässt und daher eine quasi-projektive Variante darstellt . Dies kann erreicht werden, indem kanonisch assoziierte Seilscheiben betrachtet und der Grad der assoziierten Linienbündel untersucht werden. Hat zum Beispiel die Familie der Kurven ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle M_ {g, n}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M_ {g, n}}$

${\ displaystyle \ pi \ Doppelpunkt C_ {g, n} \ bis M_ {g, n}}$

mit Abschnitten

${\ displaystyle s_ {i} \ Doppelpunkt M_ {g, n} \ bis C_ {g, n}}$

entsprechend den markierten Punkten. Da jede Faser das kanonische Bündel hat , gibt es die zugehörigen Linienbündel ${\ displaystyle \ omega _ {C}}$

und Es stellt sich heraus, dass

${\ displaystyle \ Lambda _ {g, n} (\ pi) \ otimes \ left (\ bigotimes _ {i = 1} ^ {n} \ chi _ {g, n} ^ {(i)} \ right)}$

ist ein reichliches Linienbündel ^{S. 209} , daher ist der Grobmodulraum quasi projektiv. ${\ displaystyle M_ {g, n}}$

Geschichte

Alexander Grothendiecks Version des Riemann-Roch-Theorems wurde ursprünglich in einem Brief an Jean-Pierre Serre zwischen 1956 und 1957 übermittelt . Es wurde 1957 auf der ersten Bonner Arbeitstagung veröffentlicht. Serre und Armand Borel organisierten anschließend ein Seminar an der Princeton University , um es zu verstehen. Das endgültig veröffentlichte Papier war in der Tat die Borel-Serre-Ausstellung.

Die Bedeutung von Grothendiecks Ansatz beruht auf mehreren Punkten. Zunächst änderte Grothendieck die Aussage selbst: Der Satz wurde damals als Satz über eine Sorte verstanden , während Grothendieck ihn als Satz über einen Morphismus zwischen Sorten betrachtete. Durch das Finden der richtigen Verallgemeinerung wurde der Beweis einfacher, während die Schlussfolgerung allgemeiner wurde. Kurz gesagt, Grothendieck wendete einen starken kategorischen Ansatz auf eine harte Analyse an . Darüber hinaus führte Grothendieck K-Gruppen ein , wie oben diskutiert, was den Weg für die algebraische K-Theorie ebnete .

Siehe auch

• Kawasakis Riemann-Roch-Formel

Anmerkungen

Verweise

• Berthelot, Pierre (1971). Alexandre Grothendieck ; Luc Illusie (Hrsg.). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Die Geschichte der Kreuzungen und die Geschichte von Riemann-Roch - (SGA 6) (Vorlesungsunterlagen in Mathematik 225 ) . Vorlesungsunterlagen in Mathematik (auf Französisch). 225 . Berlin; New York: Springer-Verlag . xii + 700. doi : 10.1007 / BFb0066283 . ISBN   978-3-540-05647-8 .
• Borel, Armand ; Serre, Jean-Pierre (1958), "Le théorème de Riemann-Roch", Bulletin de la Société Mathématique de France (auf Französisch), 86 : 97–136, doi : 10.24033 / bsmf.1500 , ISSN   0037-9484 , MR   0116022
• Fulton, William (1998), Schnittpunkttheorie , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., 2 (2. Aufl.), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN   3-540-62046-X , MR   1644323 , Zbl   0.885,14002
• Navarro, Alberto; Navarro, José (2017), Zur Riemann-Roch-Formel ohne projektive Hypothese , arXiv : 1705.10769 , Bibcode : 2017arXiv170510769N
• Panin, Ivan; Smirnov, Alexander (2000). "Vorwärtsbewegung in orientierten kohomologischen Theorien algebraischer Varietäten" .

Externe Links

• Der Satz von Grothendieck-Riemann-Roch
• Der Thread "Anwendungen von Grothendieck-Riemann-Roch?" auf MathOverflow .
• Der Thread "Wie versteht man GRR? (Grothendieck Riemann Roch)" auf MathOverflow .
• Der Thread "Chern Klasse der idealen Garbe" auf Stack Exchange .