Isotroper Verteiler - Isotropic manifold

In der Mathematik ist eine isotrope Mannigfaltigkeit eine Mannigfaltigkeit, bei der die Geometrie nicht von Richtungen abhängt. Formal sagen wir, dass eine Riemannsche Mannigfaltigkeit isotrop ist, wenn für irgendeinen Punkt- und Einheitsvektor eine Isometrie von mit und vorliegt . Jede verbunden isotrope Mannigfaltigkeit ist homogen , dh für jede gibt es eine Isometrie von mit Diesem kann durch die Berücksichtigung eines geodätischen zu sehen aus zu und nehmen die Isometrie , welche Korrekturen und Karten zu${\ displaystyle (M, g)}$${\ displaystyle p \ in M}$${\ displaystyle v, w \ in T_ {p} M}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ varphi (p) = p}$${\ displaystyle \ varphi _ {\ ast} (v) = w}$${\ displaystyle p, q \ in M}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ varphi (p) = q.}$${\ displaystyle \ gamma: [0,2] \ to M}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle \ gamma (1)}$${\ displaystyle \ gamma '(1)}$${\ displaystyle - \ gamma '(1).}$

Beispiele

Die einfach verbundenen Raumformen (die n-Kugel , der hyperbolische Raum und ) sind isotrop. Es ist im Allgemeinen nicht wahr, dass ein Verteiler mit konstanter Krümmung isotrop ist; Beispielsweise ist der flache Torus nicht isotrop. Dies kann gesehen werden, indem festgestellt wird, dass jede Isometrie, die einen Punkt fixiert , zu einer Isometrie angehoben werden muss, die einen Punkt fixiert und bewahrt ; somit ist die Gruppe von Isometrien, deren Fixierung diskret ist. Darüber hinaus ist in gleicher Weise zu erkennen, dass keine orientierte Oberfläche mit konstanter Krümmung und negativer Eulerkennlinie isotrop ist. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle T = \ mathbb {R} ^ {2} / \ mathbb {Z} ^ {2}}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle p \ in T}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {2}}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle p}$

Darüber hinaus gibt es isotrope Mannigfaltigkeiten, die keine konstante Krümmung aufweisen, wie beispielsweise den komplexen Projektionsraum ( ), der mit der Fubini-Study-Metrik ausgestattet ist. Tatsächlich haben alle konstante Krümmung Verteiler ihre universelle Abdeckung entweder eine sein , Kugel oder ein hyperbolischer Raum , oder aber einfach verbunden , aber nicht eine Kugel (für ), wie beispielsweise aus langer exakter Sequenz von Homotopiegruppe Berechnungen gesehen der Fibration . ${\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {n}}$${\ displaystyle n> 1}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {n}}$${\ displaystyle n> 1}$${\ displaystyle U (1) \ bis S ^ {2n + 1} \ bis \ mathbb {CP} ^ {n}}$

Weitere Beispiele für isotrope Verteiler sind durch den Rang einer symmetrischen Räumen gegeben, einschließlich der projektive Räume , , , und sowie ihre nichtkompakten hyperbolischen Analoga. ${\ displaystyle \ mathbb {RP} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {CP} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {HP} ^ {n}}$${\ displaystyle \ mathbb {OP} ^ {2}}$

Ein Verteiler kann homogen, aber nicht isotrop sein, wie der flache Torus oder die Produktmetrik. ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ mathbb {R} \ times S ^ {2}}$

Siehe auch

• Kosmologisches Prinzip
• Isotrope Mannigfaltigkeit auf Math.StackExchange (Juli 2013)

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