Kakeya-Set - Kakeya set

Die gezeigte Nadel dreht sich in einem Deltamuskel . In jeder Phase ihrer Drehung (außer wenn sich ein Endpunkt an einer Spitze des Deltamuskels befindet) berührt die Nadel den Deltamuskel an drei Punkten: zwei Endpunkten (blau) und einem Tangentenpunkt (schwarz). Der Mittelpunkt der Nadel (rot) beschreibt einen Kreis mit einem Durchmesser gleich der halben Nadellänge.

In der Mathematik ist ein Kakeya Satz oder Besicovitch Satz ist ein Satz von Punkten im euklidischen Raum , das eine Einheit enthält Liniensegment in jede Richtung. Zum Beispiel bildet eine Scheibe mit Radius 1/2 in der euklidischen Ebene oder eine Kugel mit Radius 1/2 im dreidimensionalen Raum eine Kakeya-Menge. Ein Großteil der Forschung auf diesem Gebiet hat das Problem untersucht, wie klein solche Sätze sein können. Besicovitch zeigte, dass es Besicovitch-Mengen mit Maß Null gibt .

Ein Kakeya-Nadelset (manchmal auch als Kakeya-Set bekannt) ist ein (Besicovitch-)Set in der Ebene mit der stärkeren Eigenschaft, dass ein Einheitsliniensegment darin kontinuierlich um 180 Grad gedreht werden kann und mit umgekehrter Ausrichtung in seine ursprüngliche Position zurückkehrt . Auch hier ist die Scheibe mit Radius 1/2 ein Beispiel für einen Kakeya-Nadelsatz.

Probleme mit der Kakeya-Nadel

Das Kakeya-Nadelproblem fragt, ob es eine minimale Fläche einer Region D in der Ebene gibt, in der eine Nadel der Einheitslänge um 360° gedreht werden kann. Diese Frage wurde erstmals für konvexe Regionen von Sōichi Kakeya  ( 1917 ) gestellt. Die minimale Fläche für konvexe Mengen wird durch ein gleichseitiges Dreieck der Höhe 1 und Fläche 1/ √ 3 erreicht , wie Pál gezeigt hat.

Kakeya scheint vorgeschlagen zu haben, dass die Kakeya-Menge D mit minimaler Fläche ohne die Einschränkung der Konvexität eine dreizackige Delta- Form wäre. Dies ist jedoch falsch; es gibt kleinere nicht-konvexe Kakeya-Mengen.

Besicovich-Sets

Eine "sprießende" Methode zum Konstruieren eines Kakeya-Sets mit kleinen Maßen. Hier sind zwei Möglichkeiten, unser Dreieck zu teilen und die Teile zu überlappen, um ein kleineres Set zu erhalten, die erste, wenn wir nur zwei Dreiecke verwenden, und die zweite, wenn wir acht verwenden. Beachten Sie, wie klein die Größen der endgültigen Figuren im Vergleich zur ursprünglichen Ausgangsfigur sind.

Besicovich konnte zeigen, dass es keine untere Schranke > 0 für die Fläche einer solchen Region D gibt , in der eine Nadel von Einheitslänge umgedreht werden kann. Dies baute auf früheren Arbeiten von ihm auf, auf Ebenensets, die in jeder Ausrichtung ein Einheitssegment enthalten. Eine solche Menge wird jetzt als Besicovitch-Menge bezeichnet . Besicovitchs Arbeit, die zeigt, dass eine solche Menge beliebig klein sein könnte , stammt aus dem Jahr 1919. Das Problem wurde möglicherweise schon früher von Analytikern betrachtet.

Eine Methode zur Konstruktion eines Besicovitch-Sets (siehe Abbildung für entsprechende Illustrationen) ist als "Perron-Baum" bekannt, nach Oskar Perron, der die ursprüngliche Konstruktion von Besicovitch vereinfachen konnte: Nehmen Sie ein Dreieck mit der Höhe 1, teilen Sie es in zwei Teile und übersetzen Sie beide Teile übereinander, so dass sich ihre Basen in einem kleinen Intervall überlappen. Dann hat diese neue Figur eine reduzierte Gesamtfläche.

Nehmen wir nun an, wir teilen unser Dreieck in acht Unterdreiecke auf. Führen Sie für jedes aufeinanderfolgende Dreieckspaar die gleiche überlappende Operation aus, die wir zuvor beschrieben haben, um vier neue Formen zu erhalten, die jeweils aus zwei überlappenden Dreiecken bestehen. Als nächstes überlappen Sie aufeinanderfolgende Paare dieser neuen Formen, indem Sie ihre Basen teilweise übereinander verschieben, sodass wir zwei Formen haben, und überlappen Sie diese beiden schließlich auf die gleiche Weise. Am Ende erhalten wir eine Form, die einem Baum ähnelt, jedoch mit einer viel kleineren Fläche als unser ursprüngliches Dreieck.

Um eine noch kleinere Menge zu konstruieren, unterteilen Sie Ihr Dreieck beispielsweise in 2 ⁿ Dreiecke mit jeweils der Basislänge 2 ^{− n} und führen Sie die gleichen Operationen wie zuvor durch, als wir unser Dreieck zweimal und achtmal teilten. Wenn sowohl der Überlappungsbetrag, den wir bei jedem Dreieck vornehmen, als auch die Zahl n der Unterteilung unseres Dreiecks groß genug sind, können wir einen beliebig kleinen Flächenbaum bilden. Ein Besicovitch-Set kann erstellt werden, indem drei Drehungen eines Perron-Baums kombiniert werden, der aus einem gleichseitigen Dreieck erstellt wurde.

Wenn wir dieses Verfahren weiter anpassen, können wir eine Folge von Mengen konstruieren, deren Schnittmenge eine Besicovich-Menge mit Maß Null ist. Eine Möglichkeit, dies zu tun, besteht darin, zu beobachten, dass wir, wenn wir ein Parallelogramm haben, von dem zwei Seiten auf den Geraden x = 0 und x = 1 liegen, eine Vereinigung von Parallelogrammen auch mit Seiten auf diesen Geraden finden können, deren Gesamtfläche beliebig klein ist und die Übersetzungen aller Linien enthalten, die einen Punkt auf x = 0 mit einem Punkt auf x = 1 verbinden, die sich im ursprünglichen Parallelogramm befinden. Dies folgt aus einer leichten Variation der obigen Konstruktion von Besicovich. Indem wir dies wiederholen, können wir eine Folge von Mengen finden

${\displaystyle K_{0}\supseteq K_{1}\supseteq K_{2}\cdots}$

jeweils eine endliche Vereinigung von Parallelogrammen zwischen den Linien x = 0 und x = 1, deren Flächen gegen Null gehen und die jeweils Translationen aller Linien enthalten, die x = 0 und x = 1 in einem Einheitsquadrat verbinden. Die Schnittmenge dieser Mengen ist dann eine Menge von Maß 0, die Übersetzungen all dieser Linien enthält, so dass eine Vereinigung von zwei Kopien dieser Schnittmenge eine Besicovich-Menge von Maß 0 ist.

Es gibt andere Methoden, um Besicovich-Mengen von Maß Null zu konstruieren, abgesehen von der 'sprießenden' Methode. Zum Beispiel Kahane verwendet Cantor-Menge eine Besicovitch Nullmenge in der zweidimensionalen Ebene zu konstruieren.

Ein Kakeya-Nadelset aus Perron-Bäumen.

Kakeya Nadelsets

Durch einen Trick von Pál , bekannt als Pál-Verknüpfungen (bei zwei parallelen Linien kann jedes Einheitsliniensegment kontinuierlich auf einem Satz beliebiger kleiner Maße von einem zum anderen verschoben werden), einem Satz, in dem ein Einheitsliniensegment gedreht werden kann stufenlos um 180 Grad kann aus einem Besicovitch-Set bestehend aus Perron-Bäumen erstellt werden.

1941 zeigte HJ Van Alphen, dass es innerhalb eines Kreises mit Radius 2 + ε beliebige kleine Kakeya-Nadelsätze gibt (beliebiges ε > 0). Einfach verbundene Kakeya-Nadelsets mit einer kleineren Fläche als der Deltamuskel wurden 1965 gefunden. Melvin Bloom und IJ Schönberg präsentierten unabhängig voneinander Kakeya-Nadelsets mit Flächen von annähernd , der Bloom-Schoenberg-Nummer . Schönberg vermutete, dass diese Zahl die untere Schranke für die Fläche einfach zusammenhängender Kakeya-Nadelsätze ist. 1971 zeigte F. Cunningham jedoch, dass für > 0 ein einfach zusammenhängender Kakeya-Nadelsatz mit einer Fläche kleiner als ε in einem Kreis mit Radius 1 enthalten ist. ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{24}}(5-2{\sqrt {2}})}$

Obwohl es Kakeya-Nadelsätze mit beliebig kleinem positivem Maß und Besicovich-Sätze mit Maß 0 gibt, gibt es keine Kakeya-Nadelsätze mit Maß 0.

Kakeya-Vermutung

Stellungnahme

Dieselbe Frage, wie klein diese Besicovitch-Mengen sein könnten, wurde dann in höheren Dimensionen gestellt, was zu einer Reihe von Vermutungen führte, die zusammen als Kakeya-Vermutungen bekannt sind und dazu beigetragen haben, das als geometrische Maßtheorie bekannte Gebiet der Mathematik zu initiieren . Wenn es insbesondere Besicovich-Mengen mit Maß Null gibt, könnten sie dann auch ein s-dimensionales Hausdorff-Maß Null für eine Dimension s haben, die kleiner ist als die Dimension des Raums, in dem sie liegen? Aus dieser Frage ergibt sich folgende Vermutung:

Kakeya-Mengenvermutung : Definiere eine Besicovich-Menge in R ⁿ als eine Menge, die in jeder Richtung ein Einheitsliniensegment enthält. Stimmt es, dass solche Mengen notwendigerweise eine Hausdorff-Dimension und eine Minkowski-Dimension gleich n haben ?

Dies gilt bekanntlich für n = 1, 2, aber in höheren Dimensionen sind nur Teilergebnisse bekannt.

Kakeya maximale Funktion

Eine moderne Herangehensweise an dieses Problem besteht darin, eine bestimmte Art von Maximalfunktion zu betrachten , die wir wie folgt konstruieren: Man bezeichne S ^{n −1} ⊂ R ⁿ als Einheitskugel im n- dimensionalen Raum. Definiere als Zylinder der Länge 1, Radius δ > 0, zentriert im Punkt a ∈ R ⁿ , und dessen lange Seite parallel zur Richtung des Einheitsvektors e ∈ S ^{n −1 ist} . Dann definieren wir für eine lokal integrierbare Funktion f die Kakeya-Maximalfunktion von f als ${\displaystyle T_{e}^{\delta }(a)}$

${\displaystyle f_{*}^{\delta}(e)=\sup_{a\in\mathbf{R}^{n}}{\frac{1}{m(T_{e}^{\delta .) }(a))}}\int_{T_{e}^{\delta }(a)}|f(y)|dm(y)}$

wobei m das n- dimensionale Lebesgue-Maß bezeichnet . Beachten Sie, dass für Vektoren e in der Sphäre S ^{n −1 definiert ist} . ${\displaystyle f_{*}^{\delta }}$

Dann gibt es eine Vermutung für diese Funktionen, die, wenn sie wahr ist, die Kakeya-Mengenvermutung für höhere Dimensionen impliziert:

Kakeya-Maximalfunktionsvermutung : Für alle ε > 0 existiert eine Konstante C _ε > 0 so dass für jede Funktion f und alle δ > 0 ( Notation siehe lp-Raum )

${\displaystyle \left\|f_{*}^{\delta}\right\|_{L^{n}(\mathbf{S}^{n-1})}\leqslant C_{\epsilon}\delta ^{-\epsilon}\|f\|_{L^{n}(\mathbf{R}^{n})}.}$

Ergebnisse

Einige Ergebnisse zum Beweis der Kakeya-Vermutung sind die folgenden:

• Die Kakeya-Vermutung gilt für n = 1 (trivial) und n = 2 (Davies).
• In jedem n- dimensionalen Raum zeigte Wolff, dass die Dimension einer Kakeya-Menge mindestens ( n +2)/2 betragen muss .
• Im Jahr 2002 verbesserten Katz und Tao Wolffs Bindung auf , was für n > 4 besser ist .${\displaystyle (2-{\sqrt {2}})(n-4)+3}$
• Im Jahr 2000 bewiesen Katz , Łaba und Tao, dass die Minkowski-Dimension von Kakeya-Mengen in 3 Dimensionen strikt größer als 5/2 ist.
• Im Jahr 2000 verband Jean Bourgain das Kakeya-Problem mit der arithmetischen Kombinatorik , die harmonische Analyse und additive Zahlentheorie beinhaltet .
• 2017 verbesserten Katz und Zahl die untere Schranke der Hausdorff-Dimension von Besicovitch-Sätzen in 3 Dimensionen auf eine absolute Konstante .${\displaystyle 5/2+\epsilon}$${\displaystyle \epsilon >0}$

Anwendungen zur Analyse

Überraschenderweise hat sich gezeigt, dass diese Vermutungen mit einer Reihe von Fragen auf anderen Gebieten verbunden sind, insbesondere in der harmonischen Analyse . Zum Beispiel, im Jahr 1971, Charles Fefferman Lage war , die Besicovitch Satz Konstruktion zu verwenden , die größer ist als 1 in Dimensionen zu zeigen, abgeschnitten Fourierintegrale übernommen Kugeln am Ursprung mit Radien tendenziell infinity Notwendigkeit zentrierten konvergieren nicht in L ^p - Norm , wenn p ≠ 2 (dies steht im Gegensatz zu dem eindimensionalen Fall, in dem solche abgeschnittenen Integrale konvergieren).

Analoga und Verallgemeinerungen des Kakeya-Problems

Sets mit Kreisen und Kugeln

Analoga des Kakeya-Problems umfassen die Betrachtung von Mengen, die allgemeinere Formen als Linien enthalten, wie zum Beispiel Kreise.

• 1997 und 1999 bewies Wolff, dass Mengen, die eine Kugel mit jedem Radius enthalten, die volle Dimension haben müssen, d zur Kakeya-Maximalfunktion.

• Es wurde vermutet, dass es Mengen gibt, die um jeden Messpunkt Null eine Kugel enthalten. Die Ergebnisse von Elias Stein bewiesen, dass alle solche Mengen ein positives Maß haben müssen, wenn n 3 ist, und Marstrand bewies dasselbe für den Fall n=2 .

Sets mit k -dimensionalen Scheiben

Eine Verallgemeinerung der Kakeya-Vermutung besteht darin, Mengen zu betrachten, die anstelle von Liniensegmenten in jede Richtung, aber beispielsweise Teile von k- dimensionalen Unterräumen enthalten. Definiere eine ( n , k )-Besicovitch-Menge K als eine kompakte Menge in R ^{n ,} die eine Übersetzung jeder k- dimensionalen Einheitsscheibe enthält, die das Lebesgue-Maß Null hat. Das heißt, wenn B die Einheitskugel bezeichnet bei Null zentriert ist , für jeden k - dimensionalen Unterraum P existiert x ∈ R ⁿ , so dass ( P ∩ B ) + x ⊆ K . Daher ist eine ( n , 1)-Besicovitch-Menge die früher beschriebene Standard-Besicovitch-Menge.

Die ( n , k )-Besicovitch-Vermutung: Es gibt keine ( n , k )-Besicovitch-Mengen für k > 1.

1979 bewies Marstrand, dass es keine (3, 2)-Besicovitch-Sets gibt. Etwa zur gleichen Zeit bewies Falconer jedoch, dass es keine ( n , k )-Besicovitch-Mengen für 2 k > n gibt . Die bisher beste Schranke stammt von Bourgain, der bewies, dass es keine solchen Mengen gibt, wenn 2 ^{k −1} + k > n ist .

Kakeya-Mengen in Vektorräumen über endlichen Körpern

1999 stellte Wolff das Finite-Feld- Analogon zum Kakeya-Problem, in der Hoffnung, dass die Techniken zur Lösung dieser Vermutung auf den euklidischen Fall übertragen werden könnten.

Finite - Feld Kakeya Vermutung : Sei F eine endliche Feld, lassen Sie K ⊆ F ⁿ einen Kakeya Satz, dh für jeden Vektor y ∈ F ⁿ existiert x ∈ F ⁿ , so dass K eine Zeile enthält { x + ty  : t ∈ F }. Dann hat die Menge K die Größe mindestens c _n | F | ⁿ wobei c _n >0 eine Konstante ist, die nur von n abhängt .

Zeev Dvir hat diese Vermutung 2008 bewiesen und gezeigt, dass die Aussage für c _n = 1/ n ! gilt. In seinem Beweis beobachtete er, dass jedes Polynom in n Variablen vom Grad kleiner als | F | Verschwinden auf einem Kakeya-Set muss identisch Null sein. Andererseits sind die Polynome in n Variablen vom Grad kleiner als | F | Bilde einen Vektorraum der Dimension

${\displaystyle {|\mathbf {F} |+n-1 \choose n}\geq {\frac {|\mathbf {F} |^{n}}{n!}}.}$

Daher gibt es mindestens ein nicht-triviales Polynom vom Grad kleiner als | F | die auf einer gegebenen Menge mit weniger als dieser Anzahl von Punkten verschwindet. Die Kombination dieser beiden Beobachtungen zeigt, dass Kakeya-Mengen mindestens | F | ⁿ / n ! Punkte.

Es ist nicht klar, ob sich die Techniken auf den Beweis der ursprünglichen Kakeya-Vermutung erstrecken, aber dieser Beweis verleiht der ursprünglichen Vermutung Glaubwürdigkeit, indem er im Wesentlichen algebraische Gegenbeispiele unwahrscheinlich macht. Dvir hat einen Übersichtsartikel über die jüngsten Fortschritte beim Kakeya-Problem mit endlichen Feldern und seine Beziehung zu Zufallsextraktoren geschrieben .

Siehe auch

• Nikodym-Set

Anmerkungen

Verweise

• Besicovich, Abram (1963). „Das Kakeya-Problem“. Amerikanische mathematische Monatszeitschrift . 70 (7): 697–706. doi : 10.2307/2312249 . JSTOR  2312249 . MR  0.157.266 .
• Dvir, Zeev (2009). „Über die Größe von Kakeya setzt in endlichen Feldern“. Zeitschrift der American Mathematical Society . 22 (4): 1093–1097. arXiv : 0803.2336 . Bibcode : 2009JAMS...22.1093D . doi : 10.1090/S0894-0347-08-00607-3 . MR  2.525.780 . S2CID  3358826 .
• Falconer, Kenneth J. (1985). Die Geometrie von Fraktalmengen . Cambridge Tracts in Mathematik. 85 . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-25694-1. MR  0.867.284 .
• Kakeya, Soichi (1917). "Einige Probleme beim Maximum und Minimum in Bezug auf Ovale". Tohoku-Wissenschaftsberichte . 6 : 71–88.
• Katz, Netzfalke ; aba, Izabella ; Tao, Terence (2000). „Eine verbesserte Begrenzung der Minkowski-Dimension von Besicovitch setzt in “ ${\displaystyle \mathbf{R} ^{3}}$ (PDF) ein . Annalen der Mathematik . 152 (2): 383–446. doi : 10.2307/2661389 . JSTOR  2661389 . MR  1.804.528 . S2CID  17007027 .

• Wolff, Thomas (1999). "Neuere Arbeiten im Zusammenhang mit dem Kakeya-Problem". In Rossi, Hugo (Hrsg.). Perspektiven in der Mathematik: Eingeladene Vorträge anlässlich des 250-jährigen Bestehens der Princeton University . Providence, RI: Amerikanische Mathematische Gesellschaft. S. 129–162. ISBN 978-0-8218-0975-4. MR  1.660.476 .
• Wolff, Thomas (2003). aba, Izabella ; Shubin, Carol (Hrsg.). Vorlesungen über harmonische Analyse . Vortragsreihe der Universität. 29 . Mit einem Vorwort von Charles Fefferman und einem Vorwort von Izabella Łaba. Providence, RI: Amerikanische Mathematische Gesellschaft. doi : 10.1090/ulect/029 . ISBN 0-8218-3449-5. MR  2003254 .

Externe Links

• Kakeya an der University of British Columbia
• Besikovitch an der UCLA
• Kakeya-Nadelproblem bei Mathworld
• Dvirs Beweis der Kakeya-Vermutung mit endlichen Feldern in Terence Taos Blog
• Eine Einführung in die Besicovitch-Kakeya-Sets