Tötungsvektorfeld - Killing vector field

In der Mathematik ist ein Killing-Vektorfeld (oft auch Killing-Feld genannt ), benannt nach Wilhelm Killing , ein Vektorfeld auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (oder Pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeit ), das die Metrik beibehält . Killing Fields sind die winzigen Generatoren von Isometrien ; das heißt, durch Killing-Felder erzeugte Flüsse sind kontinuierliche Isometrien der Mannigfaltigkeit . Einfacher ausgedrückt, erzeugt die Strömung eine Symmetrie in dem Sinne, dass das Bewegen jedes Punkts eines Objekts um dieselbe Entfernung in Richtung des Killing-Vektors die Entfernungen auf dem Objekt nicht verzerrt.

Definition

Insbesondere ist ein Vektorfeld X ein Killing-Feld, wenn die Lie-Ableitung nach X der Metrik g verschwindet:

${\displaystyle {\mathcal{L}}_{X}g=0\,.}$

In Bezug auf die Levi-Civita-Verbindung ist dies

${\displaystyle g\left(\nabla_{Y}X,Z\right)+g\left(Y,\nabla_{Z}X\right)=0\,}$

für alle Vektoren Y und Z . In lokalen Koordinaten ergibt dies die Killing-Gleichung

${\displaystyle \nabla_{\mu}X_{\nu}+\nabla_{\nu}X_{\mu}=0\,.}$

Diese Bedingung wird in kovarianter Form ausgedrückt. Daher reicht es aus, es in einem bevorzugten Koordinatensystem festzulegen, damit es in allen Koordinatensystemen gilt.

Beispiele

Das Vektorfeld auf einem Kreis, das im Uhrzeigersinn zeigt und an jedem Punkt die gleiche Länge hat, ist ein Killing-Vektorfeld, da das Bewegen jedes Punktes auf dem Kreis entlang dieses Vektorfelds einfach den Kreis dreht.

Tötungsvektor in hyperbolischer Ebene

Ein Spielzeugbeispiel für ein Killing-Vektorfeld ist auf der oberen Halbebene mit der Poincaré-Metrik ausgestattet . Das Paar wird normalerweise als hyperbolische Ebene bezeichnet und hat ein Killing-Vektorfeld (unter Verwendung von Standardkoordinaten). Dies sollte intuitiv klar sein, da die kovariante Ableitung die Metrik entlang einer Integralkurve transportiert, die durch das Vektorfeld (dessen Bild parallel zur x-Achse ist) erzeugt wird. ${\displaystyle M=\mathbb{R}_{y>0}^{2}}$ ${\displaystyle g=y^{-2}\left(dx^{2}+dy^{2}\right)}$${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle \partial_{x}}$${\displaystyle \nabla_{\partial_{x}}g}$

Killing Fields auf einer 2-Sphäre

Die Killing-Felder auf der Zwei-Sphäre oder jeder Sphäre sollten in gewissem Sinne aus der gewöhnlichen Intuition "offensichtlich" sein: Sphären, die kugelsymmetrisch sind, sollten Killing-Felder besitzen, die durch infinitesimale Drehungen um jede Achse erzeugt werden. Bei entsprechender Abstraktion ist dies sogar unkompliziert. Explizit in den Koordinatenkarten ausgedrückt , haben die Killing-Felder jedoch eine nicht offensichtliche Struktur, die ihre Natur verschleiert. Dies wird unten artikuliert. Diese "nicht offensichtliche" Struktur ist generisch für Mannigfaltigkeiten, die keine Sphären sind, und daher bietet die 2-Sphäre ein gutes Spielzeugmodell, um die intuitive Interpretation von Killing Fields zu erforschen. ${\displaystyle S^{2}}$

Die konventionelle Metrik auf der Kugel ist

${\displaystyle g(\Omega)=d\theta^{2}+\sin^{2}(\theta)d\phi^{2}}$.

und offensichtlich sollte eine Drehung um den Pol eine Isometrie sein. Der infinitesimale Generator einer Rotation kann dann als Generator des Killing Field identifiziert werden. Das kann man sofort aufschreiben: es ist

${\displaystyle U=\partial_{\phi}}$

Beachten Sie, dass es auf die Einheitslänge normiert ist. Die Oberfläche der Kugel ist zweidimensional, und so gibt es offensichtlich einen weiteren Generator von Isometrien; es kann als genommen werden

${\displaystyle V=\partial_{\theta}.}$

Killing Fields haben die Eigenschaft, dass die Lie-Klammer von zwei Killing Fields immer noch ein Killing Field ist. Somit bilden die Killing-Felder auf einer Mannigfaltigkeit M eine Lie-Subalgebra von Vektorfeldern auf M . Von einigem Interesse ist die Dimension dieser Algebra (wie viele Generatoren hat sie?) und ihre Strukturkonstanten – gegeben einer Orthonormalbasis dieser Algebra, welche Zahlen erscheinen in${\displaystyle e_{1},\cdots ,e_{n}}$${\displaystyle {f_{ij}}^{k}}$${\displaystyle \left[e_{i},e_{j}\right]={f_{ij}}^{k}e_{k}?}$

Die direkte Berechnung von führt zu einer unaufschlussreichen Explosion von Sinus und Cosinus. Dies ist vielleicht nicht offensichtlich; Sicherlich, am Äquator hat man das. Wenn man sich jedoch vom Äquator wegbewegt, sind die beiden Vektorfelder und nicht mehr orthonormal, und so hat man im Allgemeinen für einen Punkt allgemeine Lage. Schlimmer noch, um die Dimension der Algebra zu erhalten, muss man entweder feststellen, dass die Algebra eine vollständige, linear unabhängige Basis bildet (die Algebra dreidimensional macht), oder dass es möglicherweise eine vierte, fünfte, ... (linear- unabhängig) Vektorfeld durch Berechnung erhalten und und so weiter. Es gibt keinen besonderen a priori Grund zu der Annahme, dass die Algebra zweidimensional oder dreidimensional ist; das muss irgendwie bewiesen werden. Das Kugelkoordinatensystem ist für solche Berechnungen nicht geeignet. ${\displaystyle W=[U,V]}$${\displaystyle \theta =\pi/2}$${\displaystyle \left[\partial_{\phi},\partial_{\theta}\right]=0.}$${\displaystyle \partial_{\phi}}$${\displaystyle \partial_{\theta}}$${\displaystyle \left[\partial_{\phi},\partial_{\theta}\right]\neq 0}$${\displaystyle (\theta,\phi)\in S^{2}}$${\displaystyle U,V,W}$${\displaystyle [U,W]}$${\displaystyle [U,[U,W]]}$

Die einfachste Lösung besteht darin, die Kugel in den euklidischen 3D-Raum einzubetten und dann in orthonormalen kartesischen Koordinaten zu arbeiten, bei denen Kommutatoren einfach sind. Das konventionelle 3-Raum-Koordinatensystem ist gegeben durch ${\displaystyle x,y,z}$

${\displaystyle x=\sin\theta\cos\phi\qquad y=\sin\theta\sin\phi\qquad z=\cos\theta}$

Der Generator wird als Drehung um die -Achse erkannt ${\displaystyle \partial_{\phi}}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle R=x\partial_{y}-y\partial_{x}=\sin^{2}\theta\,\partial_{\phi}}$

Ein zweiter Generator, der sich um die -Achse dreht, ist eindeutig ${\displaystyle x}$

${\displaystyle S=z\partial_{y}-y\partial_{z}}$

Pendelt man diese beiden, findet man prompt einen dritten Generator für Rotationen um die -Achse ${\displaystyle T=[R,S]}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle T=z\partial_{x}-x\partial_{z}}$

Dass dies eine vollständige Grundlage bildet, lässt sich leicht verifizieren, indem man feststellt, dass

${\displaystyle [R,S]=T\quad [S,T]=R\quad [T,R]=S}$

Man schließt daraus, dass die Lie-Algebra für die Killing-Felder auf der Zwei-Sphäre dreidimensional ist und dass die Menge eine vollständige Grundlage für die Algebra bietet. Dass diese genügen, sollte entweder aus der Konstruktion ersichtlich sein oder kann direkt nachträglich validiert werden . Als Vektorfelder sind sie nicht global orthonormal; sie sind weder orthogonal noch haben sie eine Einheitslänge für Punkte in allgemeiner Lage. Sie lassen sich durch das „ Hairy-Ball-Theorem “ nicht global normieren, indem man „das Haar auf einer Kugel nicht kämmen kann, ohne ein Büschel oder eine kahle Stelle zu hinterlassen“. ${\displaystyle R,S,T}$${\displaystyle {\mathcal{L}}_{R}g={\mathcal{L}}_{S}g={\mathcal{L}}_{T}g=0}$

Versuche, diese Vektorfelder weiter zu orthogonalisieren oder zu normalisieren, sind nicht erfolgreich, und es sind keine besonderen weiteren Vereinfachungen möglich, außer in einem Vielbein- Koordinatensystem zu arbeiten. In diesem speziellen Fall kann man beim Arbeiten im Koordinatensystem das Hodge-Dual (das Kreuzprodukt in drei Dimensionen) anwenden . Die resultierenden Vektoren liegen nicht im Tangentialraum , also "außerhalb der Mannigfaltigkeit". Sie sind überall normal zur Kugel; die Koordinaten sind im Vergleich zu den intrinsischen Koordinaten extrinsisch . Dies hat den Vorteil, dass jetzt im Einbettungsraum die Hodge-Duale global orthonormal sind ( dh an jedem Punkt auf der Kugel orthonormal sind). ${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle TS^{2}}$${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle\theta,\phi}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{3}}$${\displaystyle *R,*S,*T}$

Wenn man im intrinsischen Koordinatensystem arbeitet, ist es einfach genug, eines der Vektorfelder eine Einheitslänge zu machen. Nach allgemeiner Konvention in der Allgemeinen Relativitätstheorie, zB in Schwarzschild-Koordinaten , ist es der Generator von Drehungen um die -Achse. Normalisiert man dies und drückt diese in Kugelkoordinaten aus, erhält man ${\displaystyle\theta,\phi}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}R^{\prime}&={\frac {R}{\sin^{2}\theta}}=\partial _{\phi}\\[3pt]S^{ \prime}&={\frac{S}{\sin^{2}\theta}}=\sin\phi\,\partial_{\theta}+\cot\theta\,\cos\phi\,\ partielles _{\phi}\\[3pt]T^{\prime}&={\frac {T}{\sin^{2}\theta}}=\cos\phi\,\partial_{\theta} -\cot\theta\,\sin\phi\,\partial_{\phi}\end{ausgerichtet}}}$

und man kann leicht nachweisen, dass die Kommutatoren immer noch gelten:

${\displaystyle \left[R^{\prime},S^{\prime}\right]=T^{\prime}\quad \left[S^{\prime},T^{\prime}\right] =R^{\prime}\quad\left[T^{\prime},R^{\prime}\right]=S^{\prime}}$

Dies sind drei Generatoren der Algebra. Natürlich wird auch jede andere (nicht entartete) Linearkombination davon die Algebra erzeugen. Man beachte das etwas unintuitiv anmutende Zählen: Obwohl die Oberfläche der Kugel zweidimensional ist und man daher zwei verschiedene Isometrien erwartet, hat man tatsächlich mehr. Dieses etwas überraschende Ergebnis ist eine generische Eigenschaft symmetrischer Räume . Dies wird weiter unten als Cartan-Zerlegung beschrieben : An jedem Punkt der Mannigfaltigkeit spaltet sich die Algebra der Killing-Felder auf natürliche Weise in zwei Teile, von denen einer die Mannigfaltigkeit tangiert und einer verschwindet (bei der gewählten Punkt).

Tötungsfelder im Minkowski-Raum

Die Killing Fields des Minkowski-Raums sind die drei Rotationsgeneratoren (die kleine Gruppe ) und die drei Boostergeneratoren . Diese sind

• Vektorfelder, die drei Drehungen erzeugen, oft als J- Generatoren bezeichnet,

  ${\displaystyle -y\partial_{x}+x\partial_{y}~,\qquad -z\partial_{y}+y\partial_{z}~,\qquad -x\partial_{z }+z\partial_{x}~;}$

• Vektorfelder, die drei Boosts erzeugen, die K- Generatoren,

  ${\displaystyle x\partial_{t}+t\partial_{x}~,\qquad y\partial_{t}+t\partial_{y}~,\qquad z\partial_{t}+t \partial_{z}.}$

Zusammen bilden sie die Lorentz-Gruppe . Siehe diesen Artikel für eine ausführliche Diskussion.

Killing Fields in der Allgemeinen Relativitätstheorie

Eine typische Verwendung eines Killing-Feldes besteht darin, eine Symmetrie in der allgemeinen Relativitätstheorie auszudrücken (in der die durch Gravitationsfelder verzerrte Geometrie der Raumzeit als 4-dimensionale pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit betrachtet wird). In einer statischen Konfiguration, in der sich mit der Zeit nichts ändert, ist der Zeitvektor ein Killing-Vektor, und somit zeigt das Killing-Feld in die Richtung der zeitlichen Vorwärtsbewegung. Zum Beispiel hat die Schwarzschild-Metrik vier Killing-Felder: eine zeitähnliche und zwei Isometrien, die aus ihrer Kugelsymmetrie stammen; diese teilen sich in die drei oben für das Kugelkoordinatensystem gezeigten auf. Die Kerr-Metrik hat nur zwei Killing-Felder: das zeitähnliche Feld und ein achsensymmetrisches Feld (Kerr-Lösungen entsprechen rotierenden Schwarzen Löchern und sind nicht kugelsymmetrisch; sie sind nur axialsymmetrisch um die Rotationsachse.) Siehe Schwarzschild-Koordinaten # Zum Beispiel das Töten von Vektorfeldern .

Tötungsfeld einer konstanten Koordinate

Wenn die metrischen Koeffizienten in einer Koordinatenbasis unabhängig von einer der Koordinaten sind , dann ist ein Killing-Vektor, wobei das Kronecker-Delta ist . ${\displaystyle g_{\mu\nu}\,}$${\displaystyle dx^{a}\,}$${\displaystyle x^{\kappa}\,}$${\displaystyle K^{\mu}=\delta_{\kappa}^{\mu}\,}$${\displaystyle \delta_{\kappa}^{\mu}\,}$

Um dies zu beweisen, nehmen wir an . Dann und${\displaystyle g_{\mu\nu},_{0}=0\,}$${\displaystyle K^{\mu}=\delta_{0}^{\mu}\,}$${\displaystyle K_{\mu}=g_{\mu\nu}K^{\nu}=g_{\mu\nu}\delta_{0}^{\nu}=g_{\mu 0}\, }$

Schauen wir uns nun die Tötungsbedingung an

${\displaystyle K_{\mu;\nu}+K_{\nu;\mu}=K_{\mu,\nu}+K_{\nu,\mu}-2\Gamma_{\mu\nu}^ {\rho}K_{\rho}=g_{\mu 0,\nu}+g_{\nu 0,\mu}-g^{\rho\sigma}(g_{\sigma\mu,\nu}+ g_{\sigma\nu,\mu}-g_{\mu\nu,\sigma})g_{\rho 0}\,}$

und von . Die Tötungsbedingung wird zu ${\displaystyle g_{\rho 0}g^{\rho\sigma}=\delta_{0}^{\sigma}\,}$

${\displaystyle g_{\mu 0,\nu}+g_{\nu 0,\mu}-(g_{0\mu,\nu}+g_{0\nu,\mu}-g_{\mu\nu ,0})=0\,}$

das heißt , was wahr ist. ${\displaystyle g_{\mu\nu ,0}=0}$

• Die physikalische Bedeutung ist beispielsweise, dass, wenn keiner der metrischen Koeffizienten eine Funktion der Zeit ist, die Mannigfaltigkeit automatisch einen zeitähnlichen Killing-Vektor haben muss.
• Laienhaft ausgedrückt, wenn sich ein Objekt nicht mit der Zeit (wenn die Zeit vergeht) verändert oder "entwickelt", ändert die verstreichende Zeit die Maße des Objekts nicht. So formuliert, klingt das Ergebnis wie eine Tautologie, aber man muss verstehen, dass das Beispiel sehr konstruiert ist: Killing Fields gelten auch für viel komplexere und interessantere Fälle.

Eigenschaften

Ein Killing-Feld wird eindeutig durch einen Vektor an einem Punkt und seinen Gradienten (dh alle kovarianten Ableitungen des Felds an diesem Punkt) bestimmt.

Die Lie-Klammer von zwei Killing Fields ist immer noch ein Killing Field. Die Killing-Felder auf einer Mannigfaltigkeit M bilden somit eine Lie-Subalgebra von Vektorfeldern auf M . Dies ist der Lie - Algebra der Isometriegruppe des Verteilers , wenn M ist komplett . Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit einer transitiven Gruppe von Isometrien ist ein homogener Raum .

Für kompakte Verteiler

• Eine negative Ricci-Krümmung impliziert, dass es keine nicht trivialen (von Null verschiedenen) Killing Fields gibt.
• Eine nicht positive Ricci-Krümmung impliziert, dass jedes Killing-Feld parallel ist. dh die kovariante Ableitung entlang einem beliebigen Vektor-j-Feld ist identisch null.
• Wenn die Schnittkrümmung positiv und die Dimension von M gerade ist, muss ein Killing-Feld eine Null haben.

Die Divergenz jedes Killing-Vektorfeldes verschwindet.

Wenn ein Killing-Vektorfeld und ein harmonisches Vektorfeld ist , dann ist eine harmonische Funktion . ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle g(X,Y)}$

Wenn ein Killing-Vektorfeld und eine harmonische p-Form ist , dann${\displaystyle X}$${\displaystyle\omega}$${\displaystyle {\mathcal{L}}_{X}\omega =0\,.}$

Geodäten

Jeder Killing-Vektor entspricht einer Größe, die entlang der Geodäten erhalten bleibt . Diese Erhaltungsgröße ist das metrische Produkt zwischen dem Killing-Vektor und dem geodätischen Tangensvektor. Das heißt, entlang einer Geodäte mit einem affinen Parameter die Gleichung ${\displaystyle \lambda,}$

${\displaystyle {\frac {d}{d\lambda}}\left(K_{\mu}{\frac {dx^{\mu}}{d\lambda}}\right)=0}$

ist befriedigt. Dies hilft bei der analytischen Untersuchung von Bewegungen in einer Raumzeit mit Symmetrien.

Cartan-Zersetzung

Wie oben erwähnt, ist die Lie-Klammer von zwei Killing-Feldern immer noch ein Killing-Feld. Die Killing-Felder auf einer Mannigfaltigkeit bilden somit eine Lie-Subalgebra aller Vektorfelder auf der Auswahl eines Punktes kann die Algebra in zwei Teile zerlegt werden: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle M.}$${\displaystyle p\in M~,}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {h}}=\{X\in {\mathfrak {g}}:X(p)=0\}}$

und

${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\{X\in {\mathfrak {g}}:\nabla X(p)=0\}}$

wo ist die kovariante Ableitung . Diese beiden Teile sind orthogonal und teilen die Algebra, indem und${\displaystyle\nabla}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {m}}\oplus {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}\cap {\mathfrak {h}}=\varnothing ~.}$

Intuitiv definieren die Isometrien von lokal eine Untermannigfaltigkeit des Gesamtraums, und die Killing-Felder zeigen, wie man an dieser Untermannigfaltigkeit "entlang gleiten" kann. Sie überspannen den Tangentialraum dieser Untermannigfaltigkeit. Der Tangentialraum sollte die gleiche Dimension haben wie die dort effektiv wirkenden Isometrien . Das heißt, man erwartet doch im Allgemeinen, dass die Anzahl der Killing Fields größer ist als die Dimension dieses Tangentialraums. Wie kann das sein? Die Antwort ist, dass die "zusätzlichen" Killing-Felder überflüssig sind. Zusammengenommen liefern die Felder eine übervollständige Basis für den Tangentialraum an einem bestimmten ausgewählten Punkt; Linearkombinationen können an diesem Punkt verschwinden. Dies wurde am Beispiel der Killing Fields auf einer 2-Sphäre gesehen: Es gibt 3 Killing Fields; An jedem Punkt überspannen zwei den Tangentenraum an diesem Punkt, und der dritte ist eine Linearkombination der anderen beiden. Wenn Sie zwei beliebige auswählen, definieren die verbleibenden entarteten Linearkombinationen einen orthogonalen Raum${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle T_{p}N}$${\displaystyle T_{p}N\cong {\mathfrak{m}}~.}$${\displaystyle {\mathfrak{m}};}$${\displaystyle {\mathfrak{h}}.}$

Cartan-Involution

Die Cartan-Involution wird als Spiegelung oder Umkehrung der Richtung einer Geodäte definiert. Sein Differential dreht die Richtung der Tangenten in eine Geodäte um. Es ist ein linearer Operator der Norm eins; es hat zwei invariante Unterräume mit den Eigenwerten +1 und −1. Diese beiden Teilräume entsprechen und jeweils. ${\displaystyle {\mathfrak{p}}}$${\displaystyle {\mathfrak{m}},}$

Dies kann präzisiert werden. Zur Fixierung eines Punktes betrachten wir eine Geodäte, die durch , mit Die Involution ist definiert als ${\displaystyle p\in M}$${\displaystyle \gamma :\mathbb{R} \to M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \gamma (0)=p~.}$ ${\displaystyle \sigma_{p}}$

${\displaystyle \sigma_{p}(\gamma (\lambda))=\gamma (-\lambda)}$

Diese Karte ist insofern eine Involution, als sie, wenn sie auf Geodäten entlang der Killing Fields beschränkt ist, auch eindeutig eine Isometrie ist. Es ist eindeutig definiert. ${\displaystyle \sigma_{p}^{2}=1~.}$

Sei die Gruppe von Isometrien, die von den Killing-Feldern erzeugt werden. Die Funktion definiert durch ${\displaystyle G}$${\displaystyle s_{p}:G\to G}$

${\displaystyle s_{p}(g)=\sigma_{p}\circ g\circ \sigma_{p}=\sigma_{p}\circ g\circ \sigma_{p}^{-1 }}$

ist ein Homomorphismus von . Sein unendlich kleiner ist ${\displaystyle G}$${\displaystyle \theta_{p}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \theta_{p}(X)=\left.{\frac {d}{d\lambda }}s_{p}\left(e^{\lambda X}\right)\right|_{ \lambda = 0}}$

Die Cartan-Involution ist ein Lie-Algebra-Homomorphismus, insofern

${\displaystyle \theta_{p}[X,Y]=\left[\theta_{p}X,\theta_{p}Y\right]}$

für alle Der Unterraum hat unter der Cartan-Involution ungerade Parität , während er gerade Parität hat. Das heißt, die Cartan-Involution an dem Punkt bezeichnen, den man hat ${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}}~.}$${\displaystyle {\mathfrak{m}}}$${\displaystyle {\mathfrak{h}}}$${\displaystyle p\in M}$${\displaystyle \theta_{p}}$

${\displaystyle \left.\theta_{p}\right|_{\mathfrak{m}}=-Id}$

und

${\displaystyle \left.\theta_{p}\right|_{\mathfrak{h}}=+Id}$

wo ist die identitätskarte. Daraus folgt, dass der Unterraum eine Lie-Unteralgebra von ist, da es sich um gerade und ungerade Paritätsunterräume handelt, teilen sich die Lie-Klammern auf, so dass und ${\displaystyle-ID}$${\displaystyle {\mathfrak{h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle [{\mathfrak{h}},{\mathfrak{h}}]\subset {\mathfrak{h}}~.}$${\displaystyle [{\mathfrak{h}},{\mathfrak{m}}]\subset {\mathfrak{m}}}$${\displaystyle [{\mathfrak{m}},{\mathfrak{m}}]\subset {\mathfrak{h}}~.}$

Die obige Zerlegung gilt in allen Punkten für einen symmetrischen Raum ; Beweise finden sich in Jost. Sie halten auch in allgemeineren Einstellungen, aber nicht unbedingt an allen Punkten des Verteilers. ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle M}$

Für den Spezialfall eines symmetrischen Raums gilt explizit, dass die Killing-Felder den gesamten Tangentenraum eines symmetrischen Raums aufspannen. Äquivalent ist der Krümmungstensor auf lokal symmetrischen Räumen kovariant konstant, also sind diese lokal parallelisierbar; Dies ist der Satz von Cartan-Ambrose-Hicks . ${\displaystyle T_{p}M\cong {\mathfrak{m}};}$

Verallgemeinerungen

• Killing-Vektorfelder können zu konformen Killing-Vektorfeldern verallgemeinert werden, die durch für einige Skalare definiert sind. Die Ableitungen von Ein-Parameter-Familien von konformen Abbildungen sind konforme Killing-Felder.${\displaystyle {\mathcal{L}}_{X}g=\lambda g\,}$${\displaystyle \lambda.}$
• Töten Tensor Felder sind symmetrische Tensor Felder T , so dass die Spur freien Teil der Symmetrisierung von verschwindet. Beispiele für Mannigfaltigkeiten mit Killing-Tensoren sind das rotierende Schwarze Loch und die FRW-Kosmologie .${\displaystyle \nabla T\,}$
• Killing-Vektorfelder können auch auf jeder (möglicherweise nichtmetrischen ) Mannigfaltigkeit M definiert werden, wenn wir statt der Isometriegruppe eine auf sie wirkende Lie-Gruppe G nehmen . In diesem weiteren Sinne ist ein Killing-Vektorfeld das Vorschieben eines rechtsinvarianten Vektorfeldes auf G durch die Gruppenaktion. Wenn die Gruppenaktion wirksam ist, dann ist der Raum der Killing-Vektorfelder isomorph zur Lie-Algebra von  G .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Siehe auch

• Affines Vektorfeld
• Krümmungskollineation
• Homothetisches Vektorfeld
• Tötungsform
• Tötungshorizont
• Spinor töten
• Materiekollineation
• Raumzeit-Symmetrien

Verweise