Gesetz der Kotangenten - Law of cotangents

Ein Dreieck, das den "Einkreis" und die Aufteilung der Seiten zeigt. Die Winkelhalbierenden treffen sich im Incenter , dem Mittelpunkt des Inkreises .

Nach der obigen Argumentation sind alle sechs Teile wie gezeigt.

Trigonometrie
Gliederung Geschichte Verwendung Funktionen  ( invers ) Generalisierte Trigonometrie
Referenz
Identitäten Genaue Konstanten Tabellen Einheitskreis
Gesetze und Theoreme
Sinus Kosinus Tangenten Kotangens Satz des Pythagoras
Infinitesimalrechnung
Trigonometrische Substitution Integrale  ( inverse Funktionen ) Derivate
v t e

In der Trigonometrie ist das Gesetz der Kotangens eine Beziehung zwischen den Längen der Seiten eines Dreiecks und den Kotangens der Hälften der drei Winkel. Dies ist auch als Cot-Theorem bekannt .

So wie drei Größen, deren Gleichheit durch das Sinusgesetz ausgedrückt wird, gleich dem Durchmesser des umschriebenen Kreises des Dreiecks sind (oder seinem Kehrwert, je nachdem, wie das Gesetz ausgedrückt wird), so bezieht sich auch das Kotangentengesetz auf den Radius von der eingeschriebene Kreis eines Dreiecks (der Inradius ) zu seinen Seiten und Winkeln.

Aussage

Unter Verwendung der üblichen Notationen für ein Dreieck (siehe Abbildung oben rechts), wobei a , b , c die Längen der drei Seiten sind, A , B , C die Eckpunkte gegenüber diesen drei jeweiligen Seiten sind, α , β , γ sind die entsprechenden Winkel an diesen Ecken, s ist der Halbumfang, d. h. s = a + b + c/2, und r der Radius des einbeschriebenen Kreises ist, besagt das Kotangensgesetz , dass

${\displaystyle {\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha}{2}}\right)}{sa}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\beta }{2 }}\right)}{sb}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}{sc}}={\frac {1}{r}} \,}$

und weiter, dass der Innenradius gegeben ist durch

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {(sa)(sb)(sc)}{s}}}\,.}$

Beweis

In der oberen Abbildung unterteilen die Tangentialpunkte des Inkreises mit den Seiten des Dreiecks den Umfang in 6 Segmente in 3 Paaren. In jedem Paar sind die Segmente gleich lang. Zum Beispiel sind die 2 Segmente neben dem Scheitelpunkt A gleich. Wenn wir aus jedem Paar ein Segment auswählen, ist ihre Summe der Semiperimeter s . Ein Beispiel hierfür sind die in der Abbildung farbig dargestellten Segmente. Die beiden Segmente der roten Linie addieren sich zu a , daher muss das blaue Segment die Länge s − a haben . Natürlich müssen auch die anderen fünf Segmente die Längen s − a , s − b oder s − c haben , wie in der unteren Abbildung gezeigt.

Bei Betrachtung der Figur unter Verwendung der Definition der Kotangensfunktion haben wir

${\displaystyle \cot \left({\frac{\alpha}{2}}\right)={\frac{sa}{r}}\,}$

und ähnlich für die anderen beiden Winkel, was die erste Behauptung beweist.

Für die zweite – die Inradius-Formel – gehen wir von der allgemeinen Additionsformel aus :

${\displaystyle \cot(u+v+w)={\frac {\cot u+\cot v+\cot w-\cot u\cot v\cot w}{1-\cot u\cot v-\cot v \cot w-\cot w\cot u}}.}$

Anwendung auf das Kinderbett (α/2 + β/2 + γ/2) = Kinderbettπ/2= 0 , erhalten wir:

${\displaystyle \cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\frac {\beta}{2}}\right)\cot \left({\frac { \gamma}{2}}\right)=\cot \left({\frac{\alpha}{2}}\right)+\cot \left({\frac{\beta}{2}}\right) +\cot\left({\frac{\gamma}{2}}\right).}$

(Dies ist auch die dreifache Kotangens-Identität )

Wenn wir die im ersten Teil erhaltenen Werte einsetzen, erhalten wir:

${\displaystyle {\frac {(sa)}{r}}{\frac {(sb)}{r}}{\frac {(sc)}{r}}={\frac {sa}{r}} +{\frac{sb}{r}}+{\frac{sc}{r}}={\frac{3s-2s}{r}}={\frac{s}{r}}.}$

Multiplizieren mit r ³/sogibt den Wert von r ^{2 an} , was die zweite Behauptung beweist.

Einige Beweise mit dem Gesetz der Kotangens

Aus dem Kotangentengesetz lassen sich noch eine Reihe weiterer Ergebnisse ableiten.

• Reiher formel . Beachten Sie, dass die Fläche des Dreiecks ABC auch in 6 kleinere Dreiecke unterteilt ist, ebenfalls in 3 Paare, wobei die Dreiecke in jedem Paar die gleiche Fläche haben. Zum Beispiel haben die beiden Dreiecke in der Nähe des Scheitelpunkts A , die rechtwinklige Dreiecke der Breite s − a und der Höhe r sind , jeweils eine Fläche von1/2r ( s - a ) . Diese beiden Dreiecke haben also zusammen eine Fläche von r ( s − a ) , und die Fläche S des ganzen Dreiecks ist daher

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}S&=r(sa)+r(sb)+r(sc)=r{\bigl(}3s-(a+b+c){\bigr)}=r(3s -2s)=rs\\[8pt]\end{ausgerichtet}}}$

Das ergibt das Ergebnis

S = √ s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c )

nach Bedarf.

• Mollweides erste Formel . Aus der Additionsformel und dem Kotangentengesetz haben wir

${\displaystyle {\frac {\sin\left({\tfrac {\alpha}{2}}-{\tfrac {\beta}{2}}\right)}{\sin\left({\tfrac {\ alpha }{2}}+{\tfrac {\beta}{2}}\right)}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\beta}{2}}\right)-\cot \left({\tfrac {\alpha}{2}}\right)}{\cot \left({\tfrac {\beta}{2}}\right)+\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}}={\frac {ab}{2s-ab}}.}$

Das ergibt das Ergebnis

${\displaystyle {\dfrac {ab}{c}}={\dfrac {\sin \left({\tfrac {\alpha}{2}}-{\tfrac {\beta}{2}}\right)} {\cos\left({\tfrac{\gamma}{2}}\right)}}}$

nach Bedarf.

• Die zweite Formel von Mollweide . Aus der Additionsformel und dem Kotangentengesetz haben wir

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}&{\frac {\cos\left({\tfrac {\alpha}{2}}-{\tfrac {\beta}{2}}\right)}{\cos\ left({\tfrac {\alpha}{2}}+{\tfrac {\beta}{2}}\right)}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha}{2} }\right)\cot \left({\tfrac {\beta}{2}}\right)+1}{\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)\cot \left ({\tfrac {\beta}{2}}\right)-1}}\\[6pt]={}&{\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha}{2}}\right )+\cot \left({\tfrac {\beta}{2}}\right)+2\cot \left({\tfrac {\gamma}{2}}\right)}{\cot \left({ \tfrac {\alpha}{2}}\right)+\cot \left({\tfrac {\beta}{2}}\right)}}={\frac {4s-ab-2c}{2s-ab }}.\end{ausgerichtet}}}$

Hier ist ein zusätzlicher Schritt erforderlich, um ein Produkt gemäß der Summen/Produkt-Formel in eine Summe umzuwandeln.

Das ergibt das Ergebnis

${\displaystyle {\dfrac {b+a}{c}}={\dfrac {\cos\left({\tfrac {\alpha}{2}}-{\tfrac {\beta}{2}}\right )}{\sin\left({\tfrac{\gamma}{2}}\right)}}}$

nach Bedarf.

• Das Gesetz der Tangenten können auch von dieser (abgeleitet werden Silvester 2001 , S.. 99).

Siehe auch

• Sinusgesetz
• Kosinusgesetz
• Tangentengesetz
• Die Formel von Mollweide

Verweise