Tangentengesetz - Law of tangents

Abbildung 1 – Ein Dreieck. Der Winkel α , β und γ jeweils gegenüber den Seiten a , b und c .

Trigonometrie
Umriss Geschichte Verwendungszweck Funktionen  ( invers ) Generalisierte Trigonometrie
Referenz
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Trigonometrische Substitution Integrale  ( inverse Funktionen ) Derivate
v T e

In der Trigonometrie ist das Tangentengesetz eine Aussage über die Beziehung zwischen den Tangenten zweier Winkel eines Dreiecks und den Längen der gegenüberliegenden Seiten.

In Fig. 1 sind a , b und c die Längen der drei Seiten des Dreiecks, und α , β und γ sind die Winkel gegenüber diesen drei jeweiligen Seiten. Das Tangentengesetz besagt, dass

${\displaystyle {\frac {ab}{a+b}}={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta)}{\tan {\tfrac {1}{ 2}}(\alpha +\beta)}}.}$

Das Tangentengesetz, obwohl nicht so allgemein bekannt wie das Sinusgesetz oder das Kosinusgesetz , ist äquivalent zum Sinusgesetz und kann überall dort verwendet werden, wo zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel oder zwei Winkel und eine Seite , sind bekannt.

Nachweisen

Um das Tangentengesetz zu beweisen, kann man mit dem Sinusgesetz beginnen :

${\displaystyle {\frac{a}{\sin\alpha}}={\frac{b}{\sin\beta}}.}$

Lassen

${\displaystyle d={\frac{a}{\sin\alpha}}={\frac{b}{\sin\beta}}}$

so dass

${\displaystyle a=d\sin\alpha\quad {\text{und}}\quad b=d\sin\beta.}$

Es folgt dem

${\displaystyle {\frac {ab}{a+b}}={\frac {d\sin\alpha -d\sin\beta }{d\sin\alpha +d\sin\beta}}={\frac {\sin\alpha -\sin\beta}{\sin\alpha+\sin\beta}}.}$

Unter Verwendung der trigonometrischen Identität , der Faktorformel speziell für Sinus

${\displaystyle \sin\alpha\pm\sin\beta =2\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha \pm\beta)\,\cos {\tfrac {1}{2}}( \alpha \mp\beta),}$

wir bekommen

${\displaystyle {\frac {ab}{a+b}}={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta)\,\cos {\tfrac {1} {2}}(\alpha +\beta)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta)\,\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta)}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta)}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )}}{\Bigg /}{\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )}{\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\ Beta)}}={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta)}{\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta)} }.}$

Als Alternative zur Verwendung der Identität für die Summe oder Differenz zweier Sinus kann man die trigonometrische Identität anführen

${\displaystyle \tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha \pm\beta)={\frac {\sin\alpha\pm\sin\beta}{\cos\alpha+\cos\beta} }}$

(siehe Tangentenhalbwinkelformel ).

Anwendung

Das Tangentengesetz kann verwendet werden, um die fehlenden Seiten und Winkel eines Dreiecks zu berechnen, in dem zwei Seiten a und b und der eingeschlossene Winkel γ gegeben sind. Von

${\displaystyle \tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )={\frac {ab}{a+b}}\tan {\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta)={\frac{ab}{a+b}}\cot {\tfrac{1}{2}}\gamma}$

man kann α − β berechnen ; zusammen mit α + β = 180° − γ ergibt dies α und β ; die verbleibende Seite c kann dann nach dem Sinusgesetz berechnet werden . In der Zeit bevor elektronische Taschenrechner verfügbar waren, war diese Methode einer Anwendung des Kosinusgesetzes c = √ a ² + b ² − 2 ab cos γ vorzuziehen , da dieses letztere Gesetz eine zusätzliche Suche in einer Logarithmustabelle erforderte , um um die Quadratwurzel zu berechnen. In der Neuzeit kann das Tangentengesetz bessere numerische Eigenschaften haben als das Kosinusgesetz: Wenn γ klein ist und a und b fast gleich sind, dann führt eine Anwendung des Kosinusgesetzes zu einer Subtraktion von fast gleichen Werten, was bedeutet, dass ein Verlust von signifikanten Ziffern .

Kugelversion

Auf einer Kugel mit Einheitsradius sind die Seiten des Dreiecks Bögen von Großkreisen . Dementsprechend können ihre Längen in Radianten oder anderen Winkelmaßeinheiten ausgedrückt werden. Seien A , B , C die Winkel an den drei Eckpunkten des Dreiecks und seien a , b , c die jeweiligen Längen der gegenüberliegenden Seiten. Das sphärische Tangentengesetz sagt

${\displaystyle {\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(AB)}{\tan {\tfrac {1}{2}}(A+B)}}={\frac {\tan {\tfrac {1}{2}}(ab)}{\tan {\tfrac {1}{2}}(a+b)}}.}$

Geschichte

Das Gesetz der Tangenten für sphärische Dreiecken wurde im 13. Jahrhundert von beschrieben persischem Mathematiker Nasir al-Din al-Tusi (1201-1274), der auch in seinem fünfbändigen Werk , das Gesetz von Sines für ebene Dreiecken präsentierten Treatise auf dem Viereck .

Siehe auch

• Sinusgesetz
• Kosinusgesetz
• Gesetz der Kotangenten
• Die Formel von Mollweide
• Halbseitenformel
• Tangentiale Halbwinkelformel

Anmerkungen