Mechanische Ähnlichkeit - Mechanical similarity

In der klassischen Mechanik , einem Zweig, der sich in Physik und angewandter Mathematik überlappt , tritt mechanische Ähnlichkeit auf, wenn die potentielle Energie eine homogene Funktion der Positionen der Teilchen ist, mit dem Ergebnis, dass die Trajektorien der Teilchen im System geometrisch ähnliche Pfade sind, die sich in unterscheiden Größe aber Form behalten.

Stellen Sie sich ein System mit einer beliebigen Anzahl von Partikeln vor und nehmen Sie an, dass die Wechselwirkungsenergie zwischen einem beliebigen Partikelpaar die Form hat

${\ displaystyle U (r) \ propto r ^ {k} \ ,,}$

Dabei ist r der Abstand zwischen den beiden Partikeln. In einem solchen Fall sind die Lösungen für die Bewegungsgleichungen eine Reihe geometrisch ähnlicher Pfade, und die Bewegungszeiten t an entsprechenden Punkten auf den Pfaden stehen in Beziehung zur linearen Größe l des Pfades durch

${\ displaystyle t \ propto l ^ {1-k / 2}.}$

Beispiele

• Die Periode kleiner Schwingungen ( k = 2) ist unabhängig von ihrer Amplitude.
• Die Zeit des freien Falls unter der Schwerkraft ( k = 1) ist proportional zur Quadratwurzel der Anfangshöhe.
• Das Quadrat der Umdrehungszeit der Planeten ( k = −1) ist proportional zum Würfel der Orbitalgröße.

Siehe auch

• Virialer Satz

Verweise

• Landau LD und Lifshitz EM (1976) Mechanics , 3rd. Hrsg., Pergamon Press. ISBN   0-08-021022-8 (Hardcover) und ISBN   0-08-029141-4 (Softcover).

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