Selbstnummer - Self number

In der Zahlentheorie , eine Selbst Zahl , kolumbianische Nummer oder Devlali Nummer in einer bestimmten Zahlenbasis ist eine natürliche Zahl , die als die Summe alle anderen natürlichen Zahl können nicht geschrieben und die einzelnen Ziffern . 20 ist eine Selbstzahl (in Basis 10), da keine solche Kombination gefunden werden kann (alle ergeben ein Ergebnis von weniger als 20; alle anderen ergeben ein Ergebnis von mehr als 20). 21 ist nicht, weil es mit n = 15 als 15 + 1 + 5 geschrieben werden kann . Diese Zahlen wurden erstmals 1949 vom indischen Mathematiker D. R. Kaprekar beschrieben . ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n <15}$${\ displaystyle n}$

Definition und Eigenschaften

Sei eine natürliche Zahl. Wir definieren die - selbst Funktion für die Basis , die folgenden werden: ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle b> 1}$ ${\ displaystyle F_ {b}: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N}}$

${\ displaystyle F_ {b} (n) = n + \ sum _ {i = 0} ^ {k-1} d_ {i}.}$

wo ist die Anzahl der Ziffern in der Zahl in der Basis , und ${\ displaystyle k = \ lfloor \ log _ {b} {n} \ rfloor +1}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle d_ {i} = {\ frac {n {\ bmod {b ^ {i + 1}}} - n {\ bmod {b}} ^ {i}} {b ^ {i}}}$

ist der Wert jeder Ziffer der Zahl. Eine natürliche Zahl ist - selbst Nummer , wenn das Urbild der für die ist leere Menge . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle F_ {b}}$

Im Allgemeinen sind für gerade Basen alle ungeraden Zahlen unter der Basiszahl Eigenzahlen, da jede Zahl unter einer solchen ungeraden Zahl auch eine 1-stellige Zahl sein müsste, die beim Hinzufügen zu ihrer Ziffer zu einer geraden Zahl führen würde. Bei ungeraden Basen sind alle ungeraden Zahlen Selbstzahlen.

Die Menge der Selbstzahlen in einer gegebenen Basis ist unendlich und hat eine positive asymptotische Dichte : Wenn sie ungerade ist, beträgt diese Dichte 1/2. ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle b}$

Wiederkehrende Formel

Die folgende Wiederholungsrelation generiert einige Selbstzahlen der Basis 10 :

${\ displaystyle C_ {k} = 8 \ cdot 10 ^ {k-1} + C_ {k-1} +8}$

(mit C ₁ = 9)

Und für Binärzahlen :

${\ displaystyle C_ {k} = 2 ^ {j} + C_ {k-1} +1 \,}$

(wobei j für die Anzahl der Ziffern steht) Wir können eine Wiederholungsrelation verallgemeinern, um Selbstnummern in jeder Basis b zu erzeugen :

${\ displaystyle C_ {k} = (b-2) b ^ {k-1} + C_ {k-1} + (b-2) \,}$

wobei C ₁  =  b  - 1 für gerade Basen und C ₁  =  b  - 2 für ungerade Basen.

Die Existenz dieser Wiederholungsrelationen zeigt, dass es für jede Basis unendlich viele Selbstzahlen gibt.

Selbsttest

Reduktionstests

Luke Pebody hat (Okt. 2006) gezeigt, dass eine Verknüpfung zwischen der Selbsteigenschaft einer großen Zahl n und einem Teil dieser Zahl niedriger Ordnung hergestellt werden kann, angepasst um Ziffernsummen:

Effektiver Test

Kaprekar hat gezeigt, dass:

n ist selbst wenn${\ displaystyle \ mathrm {SOD} (| n- \ mathrm {DR} ^ {*} (n) -9 \ cdot i |) \ neq [\ mathrm {DR} ^ {*} (n) +9 \ cdot i] \ quad \ forall i \ in 0 \ ldots d (n)}$

Wo:

${\ displaystyle \ mathrm {DR} ^ {*} (n) = {\ begin {case} {\ frac {\ mathrm {DR} (n)} {2}}, & {\ text {if}} \ mathrm {DR} (n) {\ text {ist gerade}} \\ {\ frac {\ mathrm {DR} (n) +9} {2}}, & {\ text {if}} \ mathrm {DR} ( n) {\ text {ist ungerade}} \ end {case}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathrm {DR} (n) & {} = {\ begin {case} 9, & {\ text {if}} \ mathrm {SOD} (n) \ mod 9 = 0 \\\ mathrm {SOD} (n) \ mod 9, & {\ text {sonst}} \ end {Fälle}} \\ & {} = 1 + [(n-1) \ mod 9] \ end {ausgerichtet }}}$

${\ displaystyle \ mathrm {SOD} (n)}$ist die Summe aller Ziffern in n .

${\ displaystyle d (n)}$ist die Anzahl der Stellen in n .

Selbstnummern in bestimmten Basen ${\ displaystyle b}$

Für Basis 2 Selbstnummern finden OEIS :  A010061 . (geschrieben in Basis 10)

Die ersten paar Basis-10-Selbstnummern sind:

1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 20 , 31 , 42 , 53 , 64 , 75 , 86 , 97 , 108 , 110 , 121 , 132 , 143 , 154 , 165 , 176 , 187 , 198 , 209 , 211 , 222 , 233 , 244 , 255 , 266 , 277 , 288, 299, 310, 312, 323, 334, 345, 356, 367, 378, 389, 400 , 411, 413, 424, 435, 446, 457, 468, 479, 490, ... (Sequenz A003052 im OEIS )

In Basis 12 sind die Selbstzahlen: (unter Verwendung von invertierten zwei und drei für zehn bzw. elf)

1, 3, 5, 7, 9, 20, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97, ᘔ 8, Ɛ9, 102, 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198, 1 ᘔ 9, 1Ɛᘔ, 20Ɛ, 211, 222, 233, 244, 255, 266, 277, 288, 299, 2 ᘔᘔ, 2ƐƐ, 310, 312, 323, 334, 345, 356, 367, 378, 389, 39 ᘔ, 3, 400, 411, 413, 424, 435, 446, 457, 468, 479, 48, 49, 4, 0, 501, 512, 514, 525, 536, 547, 558, 569, 57, 58, 5, 0, 5, 1, ...

Selbstprimes

Eine Selbstzahl ist eine Selbstzahl, die eine Primzahl ist .

Die ersten Selbstprimzahlen in Basis 10 sind

3, 5, 7, 31, 53, 97, 211, 233, 277, 367, 389, 457, 479, 547, 569, 613, 659, 727, 839, 883, 929, 1021, 1087, 1109, 1223, 1289, 1447, 1559, 1627, 1693, 1783, 1873, ... (Sequenz A006378 in der OEIS )

Die ersten paar Selbstprimzahlen in Basis 12 sind: (unter Verwendung von invertierten zwei und drei für zehn bzw. elf)

3, 5, 7, Ɛ, 31, 75, 255, 277, 2ƐƐ, 3 ᘔƐ, 435, 457, 58Ɛ, 5Ɛ1, ...

Im Oktober 2006 demonstrierte Luke Pebody, dass die größte bekannte Mersenne-Primzahl in Basis 10, bei der es sich gleichzeitig um eine Selbstzahl handelt, 2 ^24036583 −1 ist. Dies ist dann die größte bekannte Selbstprimierung in Basis 10 ab 2006.

Erweiterung auf negative ganze Zahlen

Selbstzahlen können durch Verwendung einer vorzeichenbehafteten Darstellung zur Darstellung jeder Ganzzahl auf die negativen Ganzzahlen erweitert werden .

Auszug aus der Basistabelle, in der 2007 selbst ist

Die folgende Tabelle wurde 2007 berechnet.

Base	Zertifikat	Summe der Ziffern
40	${\ displaystyle 1959 = [1,8,39] _ {40}}$	48
41	- -	- -
42	${\ displaystyle 1967 = [1,4,35] _ {42}}$	40
43	- -	- -
44	${\ displaystyle 1971 = [1,0,35] _ {44}}$	36
44	${\ displaystyle 1928 = [43,36] _ {44}}$	79
45	- -	- -
46	${\ displaystyle 1926 = [41,40] _ {46}}$	81
47	- -	- -
48	- -	- -
49	- -	- -
50	${\ displaystyle 1959 = [39,9] _ {50}}$	48
51	- -	- -
52	${\ displaystyle 1947 = [37,23] _ {52}}$	60
53	- -	- -
54	${\ displaystyle 1931 = [35,41] _ {54}}$	76
55	- -	- -
56	${\ displaystyle 1966 = [35,6] _ {56}}$	41
57	- -	- -
58	${\ displaystyle 1944 = [33,30] _ {58}}$	63
59	- -	- -
60	${\ displaystyle 1918 = [31,58] _ {60}}$	89

Verweise

• Kaprekar, DR Die Mathematik neuer Selbstzahlen Devaiali (1963): 19 - 20.
• RB Patel (1991). "Einige Tests für k- Selbstnummern". Mathematik. Student . 56 : 206–210.
• B. Recaman (1974). "Problem E2408". Amer. Mathematik. Monatlich . 81 (4): 407. doi : 10.2307 / 2319017 .
• Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Handbuch der Zahlentheorie II . Dordrecht: Kluwer Academic. S. 32–36. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl  1079.11001 .
• Weisstein, Eric W. "Selbstnummer" . MathWorld .