Semisimple Lie Algebra - Semisimple Lie algebra

Lügengruppen
Klassische Gruppen
Einfache Lügengruppen Klassik A n B n C n D n Außergewöhnlich G 2 F 4 E 6 E 7 E 8
Andere Lügengruppen Kreis Lorentz Poincaré Konforme Gruppe Diffeomorphismus Schleife Euklidisch
Lügenalgebren
Semisimple Lie Algebra
Darstellungstheorie
Lügengruppen in der Physik
Wissenschaftler Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm töten Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glossar Tabelle der Lie-Gruppen
v t e

In der Mathematik , eine Lie - Algebra ist halbeinfach , wenn es sich um eine direkte Summe von einfachen Liealgebren (nichtabelsche Liealgebren ohne Nicht-Null richtigen Ideale ).

Sofern nicht anders angegeben, ist eine Lie-Algebra im gesamten Artikel eine endlich dimensionale Lie-Algebra über einem Feld der Charakteristik 0. Für eine solche Lie-Algebra sind die folgenden Bedingungen äquivalent, wenn sie nicht Null ist: ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

• ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ist halb einfach;
• die Tötungsform κ (x, y) = tr (ad ( x ) ad ( y )) ist nicht entartet ;
• ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ hat keine abelschen Ideale ungleich Null;
• ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ hat keine lösbaren Ideale ungleich Null ;
• das Radikal (maximal lösbares Ideal) von ist Null. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Bedeutung

Die Bedeutung der Semisimplizität ergibt sich zum einen aus der Levi-Zerlegung , die besagt, dass jede endliche dimensionale Lie-Algebra das semidirekte Produkt eines lösbaren Ideals (seines Radikals) und einer semisimple Algebra ist. Insbesondere gibt es keine Lie-Algebra ungleich Null, die sowohl lösbar als auch halb einfach ist.

Semisimple Lie-Algebren haben eine sehr elegante Klassifizierung, im krassen Gegensatz zu lösbaren Lie-Algebren . Semisimple Lie-Algebren über einem algebraisch geschlossenen Feld der charakteristischen Null werden vollständig durch ihr Wurzelsystem klassifiziert , das wiederum durch Dynkin-Diagramme klassifiziert wird . Semisimple-Algebren über nicht-algebraisch geschlossenen Feldern können als solche über dem algebraischen Abschluss verstanden werden, obwohl die Klassifizierung etwas komplizierter ist; siehe reale Form für den Fall von realen halb-einfachen Lie-Algebren, die von Élie Cartan klassifiziert wurden .

Ferner ist die Darstellungstheorie von halb-einfachen Lie-Algebren viel sauberer als die für allgemeine Lie-Algebren. Zum Beispiel stimmt die Jordan-Zerlegung in einer halb-einfachen Lie-Algebra mit der Jordan-Zerlegung in ihrer Darstellung überein; Dies ist bei Lie-Algebren im Allgemeinen nicht der Fall.

Wenn es halb einfach ist, dann . Insbesondere ist jede lineare semisimple Lie-Algebra eine Subalgebra der speziellen linearen Lie-Algebra . Die Untersuchung der Struktur von ist ein wichtiger Bestandteil der Darstellungstheorie für semisimple Lie-Algebren. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}}}$

Geschichte

Die halb einfachen Lie-Algebren über den komplexen Zahlen wurden zuerst von Wilhelm Killing (1888–90) klassifiziert , obwohl sein Beweis nicht streng genug war. Sein Beweis wurde von Élie Cartan (1894) in seiner Doktorarbeit rigoros gemacht . These, die auch semisimple echte Lie-Algebren klassifizierte. Dies wurde später verfeinert, und die vorliegende Klassifizierung nach Dynkin-Diagrammen wurde 1947 von dem damals 22-jährigen Eugene Dynkin vorgenommen . Einige geringfügige Änderungen wurden vorgenommen (insbesondere von JP Serre), aber der Beweis ist im Wesentlichen unverändert und kann sein gefunden in jeder Standardreferenz, wie ( Humphreys 1972 ).

Grundeigenschaften

• Jedes Ideal, jeder Quotient und jedes Produkt von halb-einfachen Lie-Algebren ist wieder halb einfach.
• Das Zentrum einer halb-einfachen Lie-Algebra ist trivial (da das Zentrum ein abelsches Ideal ist). Mit anderen Worten ist die nebenstehende Darstellung injektiv. Darüber hinaus wird das Bild sein , aus den Ableitungen auf . Daher ist ein Isomorphismus. (Dies ist ein Sonderfall von Whiteheads Lemma .) ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {ad}}$${\ displaystyle \ operatorname {Der} ({\ mathfrak {g}})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ operatorname {ad}: {\ mathfrak {g}} {\ overset {\ sim} {\ to}} \ operatorname {Der} ({\ mathfrak {g}})}$
• Da die adjungierte Darstellung injektiv ist, ist eine semisimple Lie-Algebra eine lineare Lie-Algebra unter der adjungierten Darstellung. Dies kann zu einer gewissen Mehrdeutigkeit führen, da jede Lie-Algebra in Bezug auf einen anderen Vektorraum ( Ados Theorem ) bereits linear ist , jedoch nicht unbedingt über die adjungierte Darstellung. In der Praxis tritt eine solche Mehrdeutigkeit jedoch selten auf.
• Wenn es sich um eine semisimple Lie-Algebra handelt, dann (weil semisimple und abelian ist). ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} / [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]}$
• Eine endlichdimensionale Lie-Algebra über einem Feld k der Charakteristik Null ist genau dann semisimple, wenn die Basiserweiterung für jede Felderweiterung semisimple ist . So ist beispielsweise eine endlichdimensionale reale Lie-Algebra genau dann semisimple, wenn ihre Komplexierung semisimple ist. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ otimes _ {k} F}$${\ displaystyle F \ supset k}$

Jordanische Zersetzung

Jeder Endomorphismus x eines endlichdimensionalen Vektorraums über einem Feld der charakteristischen Null kann eindeutig in ein Semisimple (dh diagonalisierbar über den algebraischen Verschluss) und einen nicht potenten Teil zerlegt werden

${\ displaystyle x = s + n \}$

so dass s und n miteinander pendeln. Darüber hinaus ist jedes von s und n ein Polynom in x . Dies ist die Jordan-Zerlegung von x .

Das Obige gilt für die adjungierte Darstellung einer semisimple Lie-Algebra . Ein Element x von wird als semisimple (bzw. nilpotent) bezeichnet, wenn es sich um einen semisimple (bzw. nilpotent) Operator handelt. Wenn , dann besagt die abstrakte Jordan-Zerlegung , dass x eindeutig geschrieben werden kann als: ${\ displaystyle \ operatorname {ad}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ operatorname {ad} (x)}$${\ displaystyle x \ in {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle x = s + n}$

wo ist semisimple, ist nilpotent und . Wenn außerdem mit x pendelt , pendelt es auch mit beiden . ${\ displaystyle s}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle [s, n] = 0}$${\ displaystyle y \ in {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle s, n}$

Die abstrakte Jordan-Zerlegung faktorisiert durch jede Darstellung in dem Sinne, dass jede Darstellung gegeben ist ρ, ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle \ rho (x) = \ rho (s) + \ rho (n) \,}$

ist die Jordan-Zerlegung von ρ ( x ) in der Endomorphismus-Algebra des Repräsentationsraums. (Dies wird als Folge des vollständigen Reduzierbarkeitssatzes von Weyl bewiesen ; siehe Weyls Satz zur vollständigen Reduzierbarkeit # Anwendung: Erhaltung der Jordan-Zersetzung .)

Struktur

Sei eine (endlichdimensionale) semisimple Lie-Algebra über einem algebraisch geschlossenen Feld der Charakteristik Null. Die Struktur von kann durch eine adjungierte Wirkung einer bestimmten bestimmten Subalgebra darauf beschrieben werden, einer Cartan-Subalgebra . Per Definition ist ein Cartansche Subalgebra (auch genannt ein maximaler toral Subalgebra ) die eine maximale Subalgebra , so dass für jedes , ist diagonalizable . Wie sich herausstellt, ist abelian und alle so die Betreiber in sind gleichzeitig diagonalisierbar . Für jede lineare Funktion von sei ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle h \ in {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle \ operatorname {ad} (h)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle \ operatorname {ad} ({\ mathfrak {h}})}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {\ alpha} = \ {x \ in {\ mathfrak {g}} | [h, x] = \ alpha (h) x \, {\ text {für alle} } h \ in {\ mathfrak {h}} \}}$ .

(Beachten Sie, dass dies der Zentralisierer von ist .) Dann ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$

(Der am schwierigsten zu zeigende Punkt ist . Die Standardbeweise verwenden alle einige Fakten in der Darstellungstheorie von ; z. B. verwendet Serre die Tatsache, dass ein Modul mit einem primitiven Element von negativem Gewicht unendlichdimensional ist und sich widerspricht .) ${\ displaystyle \ dim {\ mathfrak {g}} _ {\ alpha} = 1}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2}}$${\ displaystyle \ dim {\ mathfrak {g}} <\ infty}$

Lassen Sie mit den Kommutierungsbeziehungen ; dh die entsprechen der Standardbasis von . ${\ displaystyle h _ {\ alpha} \ in {\ mathfrak {h}}, e _ {\ alpha} \ in {\ mathfrak {g}} _ {\ alpha}, f _ {\ alpha} \ in {\ mathfrak {g }} _ {- \ alpha}}$${\ displaystyle [e _ {\ alpha}, f _ {\ alpha}] = h _ {\ alpha}, [h _ {\ alpha}, e _ {\ alpha}] = 2e _ {\ alpha}, [h _ {\ alpha}, f _ {\ alpha}] = - 2f _ {\ alpha}}$${\ displaystyle h _ {\ alpha}, e _ {\ alpha}, f _ {\ alpha}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2}}$

Die linearen Funktionale in heißen die Wurzeln von relativ zu . Die Wurzelspanne (da wenn , dann ist der Nulloperator, dh in der Mitte, die Null ist). Darüber hinaus leitet man aus der Darstellungstheorie von die folgenden Symmetrie- und Integraleigenschaften von ab : für jeden , ${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} ^ {*}}$${\ displaystyle \ alpha (h) = 0, \ alpha \ in \ Phi}$${\ displaystyle \ operatorname {ad} (h)}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2}}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in \ Phi}$

Es ist zu beachten, dass die Eigenschaften (1) und (2) die Festpunktmenge sind , was bedeutet, dass dies die Reflexion in Bezug auf die Hyperebene ist , die entspricht . Das Obige sagt dann, dass dies ein Wurzelsystem ist . ${\ displaystyle s _ {\ alpha}}$${\ displaystyle s _ {\ alpha} (\ alpha) = - \ alpha}$${\ displaystyle \ {\ gamma \ in {\ mathfrak {h}} ^ {*} | \ gamma (h _ {\ alpha}) = 0 \}}$${\ displaystyle s _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ Phi}$

Es folgt aus der allgemeinen Theorie eines Wurzelsystems , das eine Grundlage enthält , von derart , daß jede Wurzel eine lineare Kombination ist mit ganzzahligen Koeffizienten mit gleichem Vorzeichen; Die Wurzeln werden einfache Wurzeln genannt . Lassen Sie usw. Dann erzeugen die Elemente ( Chevalley-Generatoren genannt ) als Lie-Algebra. Darüber hinaus erfüllen sie die Beziehungen ( Serre-Beziehungen genannt ): mit , ${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ dots, \ alpha _ {l}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} ^ {*}}$${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ dots, \ alpha _ {l}}$${\ displaystyle \ alpha _ {i}}$${\ displaystyle e_ {i} = e _ {\ alpha _ {i}}}$${\ displaystyle 3l}$${\ displaystyle e_ {i}, f_ {i}, h_ {i}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle a_ {ij} = \ alpha _ {j} (h_ {i})}$

${\ displaystyle [h_ {i}, h_ {j}] = 0,}$

${\ displaystyle [e_ {i}, f_ {i}] = h_ {i}, [e_ {i}, f_ {j}] = 0, i \ neq j,}$

${\ displaystyle [h_ {i}, e_ {j}] = a_ {ij} e_ {j}, [h_ {i}, f_ {j}] = - a_ {ij} f_ {j},}$

${\ displaystyle \ operatorname {ad} (e_ {i}) ^ {- a_ {ij} +1} (e_ {j}) = \ operatorname {ad} (f_ {i}) ^ {- a_ {ij} + 1} (f_ {j}) = 0, i \ neq j}$ .

Das Gegenteil davon ist auch wahr: Das heißt, die von den Generatoren erzeugte Lie-Algebra und die Beziehungen wie oben sind eine (endlich dimensionale) semisimple Lie-Algebra, die die Wurzelraumzerlegung wie oben aufweist (vorausgesetzt, es handelt sich um eine Cartan-Matrix ). Dies ist ein Satz von Serre . Insbesondere sind zwei semisimple Lie-Algebren isomorph, wenn sie dasselbe Wurzelsystem haben. ${\ displaystyle [a_ {ij}] _ {1 \ leq i, j \ leq l}}$

Die axiomatische Natur eines Wurzelsystems und der Satz von Serre implizieren, dass man alle möglichen Wurzelsysteme aufzählen kann; daher "alle möglichen" semisimple Lie-Algebren (endlichdimensional über ein algebraisch geschlossenes Feld der charakteristischen Null).

Die Weyl-Gruppe ist die Gruppe der linearen Transformationen, die von den 's erzeugt werden . Die Weyl-Gruppe ist eine wichtige Symmetrie des Problems; Beispielsweise sind die Gewichte einer endlichen dimensionalen Darstellung von unter der Weyl-Gruppe unveränderlich. ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} ^ {*} \ simeq {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle s _ {\ alpha}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Beispiel für eine Wurzelraumzerlegung in sl _n (C)

Für und die Cartan-Subalgebra diagonaler Matrizen definieren Sie durch ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {sl}} _ {n} (\ mathbb {C})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle \ lambda _ {i} \ in {\ mathfrak {h}} ^ {*}}$

${\ displaystyle \ lambda _ {i} (d (a_ {1}, \ ldots, a_ {n})) = a_ {i}}$ ,

wobei bezeichnet die Diagonalmatrix mit auf der Diagonale. Dann ist die Zerlegung gegeben durch ${\ displaystyle d (a_ {1}, \ ldots, a_ {n})}$${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {h}} \ oplus \ left (\ bigoplus _ {i \ neq j} {\ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {i} - \ lambda _ {j}} \ right)}$

wo

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {i} - \ lambda _ {j}} = {\ text {Span}} _ {\ mathbb {C}} (e_ {ij})}$

für den Vektor in der Norm (Matrix) Basis Bedeutung stellt das Basisvektor in der -ten Zeile und -ten Spalt. Dieser Zerlegung von ist ein Wurzelsystem zugeordnet: ${\ displaystyle e_ {ij}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n} (\ mathbb {C})}$${\ displaystyle e_ {ij}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle \ Phi = \ {\ lambda _ {i} - \ lambda _ {j}: i \ neq j \}}$

sl ₂ (C)

Zum Beispiel ist bei der Zerlegung ${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2} (\ mathbb {C})}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2} = {\ mathfrak {h}} \ oplus {\ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {1} - \ lambda _ {2}} \ oplus { \ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {2} - \ lambda _ {1}}}$

und das zugehörige Wurzelsystem ist

${\ displaystyle \ Phi = \ {\ lambda _ {1} - \ lambda _ {2}, \ lambda _ {2} - \ lambda _ {1} \}}$

sl ₃ (C)

In der Zersetzung ist ${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {3} (\ mathbb {C})}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {3} = {\ mathfrak {h}} \ oplus {\ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {1} - \ lambda _ {2}} \ oplus { \ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {1} - \ lambda _ {3}} \ oplus {\ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {2} - \ lambda _ {3}} \ oplus { \ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {2} - \ lambda _ {1}} \ oplus {\ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {3} - \ lambda _ {1}} \ oplus { \ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {3} - \ lambda _ {2}}}$

und das zugehörige Wurzelsystem ist gegeben durch

${\ displaystyle \ Phi = \ {\ pm (\ lambda _ {1} - \ lambda _ {2}), \ pm (\ lambda _ {1} - \ lambda _ {3}), \ pm (\ lambda _ {2} - \ lambda _ {3}) \}}$

Beispiele

Wie in #Structure erwähnt , werden halb- einfache Lie-Algebren über (oder allgemeiner ein algebraisch geschlossenes Feld der charakteristischen Null) durch das Wurzelsystem klassifiziert, das ihren Cartan-Subalgebren zugeordnet ist, und die Wurzelsysteme wiederum werden durch ihre Dynkin-Diagramme klassifiziert. Beispiele für halbeinfache Lie-Algebren, die klassischen Lie-Algebren , deren Notation aus ihren Dynkin-Diagrammen stammt , sind: ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

• ${\ displaystyle A_ {n}:}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n + 1}}$ , die spezielle lineare Lie-Algebra .
• ${\ displaystyle B_ {n}:}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {2n + 1}}$ , die ungeraddimensionale spezielle orthogonale Lie-Algebra .
• ${\ displaystyle C_ {n}:}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {sp}} _ {2n}}$ , die symplektische Lie-Algebra .
• ${\ displaystyle D_ {n}:}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {2n}}$ , die gerade dimensionale spezielle orthogonale Lie-Algebra ( ). ${\ displaystyle n> 1}$

Die Einschränkung in der Familie ist erforderlich, da sie eindimensional und kommutativ ist und daher nicht einfach ist. ${\ displaystyle n> 1}$${\ displaystyle D_ {n}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {2}}$

Diese Lie-Algebren sind so nummeriert, dass n der Rang ist . Fast alle diese halb-einfachen Lie-Algebren sind eigentlich einfach und die Mitglieder dieser Familien sind fast alle verschieden, mit Ausnahme einiger Kollisionen in kleinem Rang. Zum Beispiel und . Diese vier Familien sind zusammen mit fünf Ausnahmen ( E ₆ , E ₇ , E ₈ , F ₄ und G ₂ ) tatsächlich die einzigen einfachen Lie-Algebren über die komplexen Zahlen. ${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {4} \ cong {\ mathfrak {so}} _ {3} \ oplus {\ mathfrak {so}} _ {3}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sp}} _ {2} \ cong {\ mathfrak {so}} _ {5}}$

Einstufung

Jede halbeinfache Liealgebra über einen algebraisch abgeschlossenen Bereich der Kennlinie 0 ist , eine direkte Summe von einfachen Liealgebren (per Definition), und die endlich-dimensionale einfachen Liealgebren fallen in vier Familien - A _n , B _n , C _n und D _n - mit fünf Ausnahmen E ₆ , E ₇ , E ₈ , F ₄ und G ₂ . Einfache Lie-Algebren werden durch die rechts gezeigten verbundenen Dynkin-Diagramme klassifiziert , während semisimple Lie-Algebren nicht unbedingt verbundenen Dynkin-Diagrammen entsprechen, wobei jede Komponente des Diagramms einem Summanden der Zerlegung der semisimple Lie-Algebra in einfache Lie-Algebren entspricht .

Die Klassifizierung erfolgt unter Berücksichtigung einer Cartan-Subalgebra (siehe unten) und der angrenzenden Wirkung der Lie-Algebra auf diese Subalgebra. Das Wurzelsystem der Aktion bestimmt dann beide die ursprüngliche Lie-Algebra und muss eine sehr eingeschränkte Form haben, die durch die Dynkin-Diagramme klassifiziert werden kann. Weitere Informationen finden Sie im folgenden Abschnitt, in dem Cartan-Subalgebren und Wurzelsysteme beschrieben werden.

Die Klassifikation wird allgemein als eines der elegantesten Ergebnisse in der Mathematik angesehen - eine kurze Liste von Axiomen liefert über einen relativ kurzen Beweis eine vollständige, aber nicht triviale Klassifikation mit überraschender Struktur. Dies sollte mit der Klassifizierung komplizierter einfacher Gruppen verglichen werden , die wesentlich komplizierter ist.

Die Aufzählung der vier Familien ist nicht redundant und besteht nur aus einfachen Algebren, wenn für A _n , für B _n , für C _n und für D _n . Wenn man anfängt, niedriger zu nummerieren, ist die Aufzählung redundant und man hat außergewöhnliche Isomorphismen zwischen einfachen Lie-Algebren, die sich in Isomorphismen von Dynkin-Diagrammen widerspiegeln . Das _En kann auch nach unten verlängert werden, aber unterhalb von E ₆ sind sie isomorph zu anderen, nicht außergewöhnlichen Algebren. ${\ displaystyle n \ geq 1}$${\ displaystyle n \ geq 2}$${\ displaystyle n \ geq 3}$${\ displaystyle n \ geq 4}$

Über ein nicht-algebraisch geschlossenes Feld ist die Klassifizierung komplizierter - man klassifiziert einfache Lie-Algebren über den algebraischen Abschluss, dann klassifiziert man für jedes dieser Felder einfache Lie-Algebren über das ursprüngliche Feld, das diese Form hat (über den Abschluss). Um beispielsweise einfache reale Lie-Algebren zu klassifizieren, klassifiziert man reale Lie-Algebren mit einer gegebenen Komplexifizierung, die als reale Formen der komplexen Lie-Algebra bekannt sind. Dies kann durch Satake-Diagramme erfolgen , bei denen es sich um Dynkin-Diagramme mit zusätzlichen Daten ("Dekorationen") handelt.

Darstellungstheorie semisimple Lie-Algebren

Sei eine (endlichdimensionale) semisimple Lie-Algebra über einem algebraisch geschlossenen Feld der Charakteristik Null. Dann wird , wie in #structure , wo das Wurzelsystem. Wählen Sie die einfachen Wurzeln in ; Eine Wurzel von heißt dann positiv und wird mit bezeichnet, wenn es sich um eine lineare Kombination der einfachen Wurzeln mit nicht negativen ganzzahligen Koeffizienten handelt. Let , das ist eine maximal lösbare Subalgebra der Borel-Subalgebra . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ textstyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {h}} \ oplus \ bigoplus _ {\ alpha \ in \ Phi} {\ mathfrak {g}} _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ alpha> 0}$${\ textstyle {\ mathfrak {b}} = {\ mathfrak {h}} \ oplus \ bigoplus _ {\ alpha> 0} {\ mathfrak {g}} _ {\ alpha}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Sei V ein (möglicherweise unendlich dimensionales) einfaches Modul. Wenn V zufällig einen Gewichtsvektor zulässt , ist es bis zur Skalierung eindeutig und wird als der Vektor mit dem höchsten Gewicht von V bezeichnet . Es ist auch ein Gewichtungsvektor und das Gewicht von , eine lineare Funktion von , wird das höchste Gewicht von V genannt . Die grundlegenden, aber nicht trivialen Tatsachen sind dann (1) für jede lineare Funktion , es gibt ein einfaches Modul mit dem höchsten Gewicht und (2) zwei einfache Module mit dem gleichen höchsten Gewicht sind äquivalent. Kurz gesagt, es gibt eine Bijektion zwischen und der Menge der Äquivalenzklassen von einfachen Modulen, die einen Borel-Gewichtsvektor zulassen. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {b}}}$${\ displaystyle v_ {0}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle v_ {0}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle \ mu \ in {\ mathfrak {h}} ^ {*}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle V ^ {\ mu}}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} ^ {*}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Für Anwendungen interessiert man sich oft für ein endlichdimensionales einfaches Modul (eine endlichdimensionale irreduzible Darstellung). Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn es sich um die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe handelt (oder um deren Komplexierung), da über die Lie-Korrespondenz eine Lie-Algebra-Darstellung in eine Lie-Gruppendarstellung integriert werden kann, wenn die Hindernisse überwunden sind. Das nächste Kriterium spricht dann diesen Bedarf an: Mit der positiven Weyl-Kammer meinen wir den konvexen Kegel, bei dem es sich um einen eindeutigen Vektor handelt, so dass . Das Kriterium lautet dann: ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle C \ subset {\ mathfrak {h}} ^ {*}}$${\ displaystyle C = \ {\ mu \ in {\ mathfrak {h}} ^ {*} | \ mu (h _ {\ alpha}) \ geq 0, \ alpha \ in \ Phi> 0 \}}$${\ displaystyle h _ {\ alpha} \ in [{\ mathfrak {g}} _ {\ alpha}, {\ mathfrak {g}} _ {- \ alpha}]}$${\ displaystyle \ alpha (h _ {\ alpha}) = 2}$

• ${\ displaystyle \ dim V ^ {\ mu} <\ infty}$ genau dann, wenn für jede positive Wurzel (1) eine ganze Zahl ist und (2) in liegt . ${\ displaystyle \ alpha> 0}$${\ displaystyle \ mu (h _ {\ alpha})}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle C}$

Eine lineare Funktion, die die obige äquivalente Bedingung erfüllt, wird als dominantes Integralgewicht bezeichnet. Zusammenfassend besteht also eine Bijektion zwischen den dominanten Integralgewichten und den Äquivalenzklassen von endlichdimensionalen einfachen Modulen, das Ergebnis, das als Theorem des höchsten Gewichts bekannt ist . Der Charakter eines endlichdimensionalen einfachen Moduls wird abwechselnd nach der Weyl-Zeichenformel berechnet . ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Der Satz aufgrund Weyl sagt , dass, über ein Feld der Charakteristik Null, jeder finite-dimensionalen Modul einer halbeinfachen Liealgebra ist vollständig reduzierbar ; dh es ist eine direkte Summe von einfachen Modulen. Daher gelten die obigen Ergebnisse dann für endlich dimensionale Darstellungen einer semisimple Lie-Algebra. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Echte semisimple Lie-Algebra

Für eine semisimple Lie-Algebra über einem Feld mit dem Merkmal Null, das jedoch nicht algebraisch geschlossen ist, gibt es keine allgemeine Strukturtheorie wie die über einem algebraisch geschlossenen Feld mit dem Merkmal Null. Aber über das Feld der reellen Zahlen gibt es immer noch die Strukturergebnisse.

Sei eine endlichdimensionale reale Semisimple-Lie-Algebra und deren Komplexierung (die wiederum Semisimple ist). Die reale Lie-Algebra wird eine reale Form von genannt . Eine reale Form wird als kompakte Form bezeichnet, wenn die darauf befindliche Tötungsform negativ bestimmt ist. es ist notwendigerweise die Lie-Algebra einer kompakten Lie-Gruppe (daher der Name). ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {\ mathbb {C}} = {\ mathfrak {g}} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {\ mathbb {C}}}$

Kompakter Koffer

Angenommen, es handelt sich um eine kompakte Form und einen maximalen abelschen Unterraum. Man kann zeigen (zum Beispiel aus der Tatsache, dass es sich um die Lie-Algebra einer kompakten Lie-Gruppe handelt), die aus schräg-hermitischen Matrizen besteht, die mit imaginären Eigenwerten diagonalisierbar sind . Daher handelt es sich um eine Cartan-Subalgebra von und dort ergibt sich die Wurzelraumzerlegung (vgl. #Structure ) ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} \ subset {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ operatorname {ad} ({\ mathfrak {h}})}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathbb {C}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {\ mathbb {C}}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {\ mathbb {C}} = {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathbb {C}} \ oplus \ bigoplus _ {\ alpha \ in \ Phi} {\ mathfrak {g}} _ {\ alpha}}$

wo jeder real bewertet wird ; somit kann mit einer reellen linearen Funktion auf dem reellen Vektorraum identifiziert werden . ${\ displaystyle \ alpha \ in \ Phi}$${\ displaystyle i {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle i {\ mathfrak {h}}}$

Nehmen wir zum Beispiel den Unterraum aller Diagonalmatrizen und nehmen Sie ihn . Hinweis . Sei die lineare Funktion auf gegeben durch für . Dann für jeden , ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {su}} (n)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} \ subset {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {\ mathbb {C}} = {\ mathfrak {sl}} _ {n} \ mathbb {C}}$${\ displaystyle e_ {i}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathbb {C}}}$${\ displaystyle e_ {i} (H) = h_ {i}}$${\ displaystyle H = \ operatorname {diag} (h_ {1}, \ dots, h_ {n})}$${\ displaystyle H \ in {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathbb {C}}}$

${\ displaystyle [H, E_ {ij}] = (e_ {i} (H) -e_ {j} (H)) E_ {ij}}$

Wo ist die Matrix, die 1 an der -ten Stelle und Null an anderer Stelle hat. Daher hat jede Wurzel die Form und die Wurzelraumzerlegung ist die Zerlegung von Matrizen: ${\ displaystyle E_ {ij}}$${\ displaystyle (i, j)}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha = e_ {i} -e_ {j}, i \ neq j}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {\ mathbb {C}} = {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathbb {C}} \ oplus \ bigoplus _ {i \ neq j} \ mathbb {C} E_ {ij}.}$

Nicht kompakter Fall

Angenommen, es handelt sich nicht unbedingt um eine kompakte Form (dh die Unterschrift der Tötungsform ist nicht nur negativ). Nehmen wir außerdem an, es hat eine Cartan-Involution und sei die Eigenraumzerlegung von , wobei die Eigenräume für 1 bzw. -1 sind. Zum Beispiel, wenn und das Negative transponieren, dann . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {k}} \ oplus {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle {\ mathfrak {k}}, {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {sl}} _ {n} \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle {\ mathfrak {k}} = {\ mathfrak {so}} (n)}$

Sei ein maximaler abelscher Unterraum. Nun besteht aus symmetrischen Matrizen (mit Bezug auf ein geeignetes Skalarprodukt) und damit die Betreiber in gleichzeitig diagonalizable sind, mit realen Eigenwerten. Durch Wiederholen der Argumente für das algebraisch geschlossene Basisfeld erhält man die Zerlegung (die als eingeschränkte Wurzelraumzerlegung bezeichnet wird ): ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} \ subset {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle \ operatorname {ad} ({\ mathfrak {p}})}$${\ displaystyle \ operatorname {ad} ({\ mathfrak {a}})}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {g}} _ {0} \ oplus \ bigoplus _ {\ alpha \ in \ Phi} {\ mathfrak {g}} _ {\ alpha}}$

wo

• Die Elemente in werden die eingeschränkten Wurzeln genannt . ${\ displaystyle \ Phi}$
• ${\ displaystyle \ theta ({\ mathfrak {g}} _ {\ alpha}) = {\ mathfrak {g}} _ {- \ alpha}}$ für jede lineare Funktion ; insbesondere , ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle - \ Phi \ subset \ Phi}$
• ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0} = {\ mathfrak {a}} \ oplus Z _ {\ mathfrak {k}} ({\ mathfrak {a}})}$ .

Darüber hinaus handelt es sich um ein Wurzelsystem, das jedoch nicht unbedingt reduziert ist (dh es können beide Wurzeln vorkommen). ${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ alpha, 2 \ alpha}$

Der Fall von ${\ displaystyle \ mathrm {sl} (n, \ mathbb {C})}$

Wenn , dann kann angenommen werden, dass es sich um die diagonale Subalgebra von handelt , die aus diagonalen Matrizen besteht, deren diagonale Einträge sich zu Null summieren. Da hat Dimension , sehen wir, dass Rang hat . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ mathrm {sl} (n, \ mathbb {C})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle n-1}$${\ displaystyle \ mathrm {sl} (n; \ mathbb {C})}$${\ displaystyle n-1}$

Die Wurzelvektoren können in diesem Fall als die Matrizen mit genommen werden , wobei die Matrix mit einer 1 an der Stelle und Nullen an anderer Stelle ist. Wenn es sich um eine Diagonalmatrix mit diagonalen Einträgen handelt , haben wir ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle E_ {i, j}}$${\ displaystyle i \ neq j}$${\ displaystyle E_ {i, j}}$${\ displaystyle (i, j)}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ ldots, \ lambda _ {n}}$

${\ displaystyle [H, E_ {i, j}] = (\ lambda _ {i} - \ lambda _ {j}) E_ {i, j}}$ .

Somit sind die Wurzeln für die linearen Funktionalen, die durch gegeben sind ${\ displaystyle \ mathrm {sl} (n, \ mathbb {C})}$${\ displaystyle \ alpha _ {i, j}}$

${\ displaystyle \ alpha _ {i, j} (H) = \ lambda _ {i} - \ lambda _ {j}}$ .

Nach der Identifizierung mit seinem Dual werden die Wurzeln zu Vektoren im Raum der Tupel, die sich zu Null summieren. Dies ist das Wurzelsystem, das bei der herkömmlichen Kennzeichnung bekannt ist. ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle \ alpha _ {i, j}: = e_ {i} -e_ {j}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle A_ {n-1}}$

Die der Wurzel zugeordnete Reflexion wirkt durch Transponieren der und diagonalen Einträge. Die Weyl-Gruppe ist dann nur die Permutationsgruppe für Elemente, die durch Permutieren der diagonalen Einträge von Matrizen in wirkt . ${\ displaystyle \ alpha _ {i, j}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$

Verallgemeinerungen

Semisimple Lie-Algebren lassen bestimmte Verallgemeinerungen zu. Erstens gelten viele Aussagen, die für halbeinfache Lie-Algebren gelten, allgemeiner für reduktive Lie-Algebren . Abstrakt ist eine reduktive Lie-Algebra eine, deren adjungierte Darstellung vollständig reduzierbar ist , während konkret eine reduktive Lie-Algebra eine direkte Summe aus einer halb-einfachen Lie-Algebra und einer abelschen Lie-Algebra ist ; zum Beispiel ist halb einfach und ist reduktiv. Viele Eigenschaften von semisimple Lie-Algebren hängen nur von der Reduzierbarkeit ab. ${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n}}$

Viele Eigenschaften komplexer semisimple / reduktiver Lie-Algebren gelten nicht nur für semisimple / reduktive Lie-Algebren über algebraisch geschlossene Felder, sondern allgemeiner für geteilte semisimple / reduktive Lie-Algebren über andere Felder: Semisimple / reduktive Lie-Algebren über algebraisch geschlossene Felder werden immer geteilt In anderen Bereichen ist dies jedoch nicht immer der Fall. Geteilte Lie-Algebren haben im Wesentlichen die gleiche Darstellungstheorie wie einfache Lie-Algebren über algebraisch geschlossene Felder, beispielsweise spielt die spaltende Cartan-Subalgebra dieselbe Rolle wie die Cartan-Subalgebra über algebraisch geschlossene Felder. Dies ist beispielsweise der in ( Bourbaki 2005 ) verfolgte Ansatz , der Darstellungen von gespaltenen semisimple / reduktiven Lie-Algebren klassifiziert.

Halbeinfache und reduktive Gruppen

Eine verbundene Lie-Gruppe wird als Semisimple bezeichnet, wenn ihre Lie-Algebra eine Semisimple-Lie-Algebra ist, dh eine direkte Summe einfacher Lie-Algebren. Es wird reduktiv genannt, wenn seine Lie-Algebra eine direkte Summe einfacher und trivialer (eindimensionaler) Lie-Algebren ist. Reduktive Gruppen treten natürlich als Symmetrien einer Reihe mathematischer Objekte in Algebra, Geometrie und Physik auf. Zum Beispiel ist die Gruppe von Symmetrien eines n- dimensionalen reellen Vektorraums (äquivalent die Gruppe von invertierbaren Matrizen) reduktiv. ${\ displaystyle GL_ {n} (\ mathbb {R})}$

Siehe auch

• Lügenalgebra
• Wurzelsystem
• Lie Algebra Darstellung
• Kompakte Gruppe
• Einfache Lügengruppe
• Borel-Subalgebra
• Jacobson-Morozov-Theorem

Verweise