Signiertes Maß - Signed measure

In der Mathematik ist das Maß mit Vorzeichen eine Verallgemeinerung des Konzepts des Maß, indem es negative Werte annehmen darf. In der Maßtheorie wird ein vorzeichenbehaftetes Maß manchmal als Gebühr bezeichnet .

Definition

Es gibt zwei leicht unterschiedliche Konzepte für ein vorzeichenbehaftetes Maß, je nachdem, ob es unendliche Werte annehmen darf oder nicht. Vorzeichenbehaftete Maße dürfen normalerweise nur endliche reelle Werte annehmen , während einige Lehrbücher ihnen unendliche Werte erlauben. Um Verwirrung zu vermeiden, werden diese beiden Fälle in diesem Artikel als "endgültige unterzeichnete Maßnahmen" und "erweiterte unterzeichnete Maßnahmen" bezeichnet.

Gegeben einen messbaren Raum ( X , Σ) (d. h. eine Menge X mit einer σ-Algebra Σ darauf), ist ein erweitertes vorzeichenbehaftetes Maß eine Funktion

${\displaystyle\mu:\Sigma\to\mathbb{R}\cup\{\infty ,-\infty\}}$

so dass und ist σ-additiv – das heißt, es erfüllt die Gleichheit ${\displaystyle \mu (\emptyset )=0}$${\displaystyle\mu}$

${\displaystyle \mu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty}\mu(A_{n}) }$

für jede Sequenz , von disjunkten Mengen in Σ. Die rechte Reihe muss absolut konvergieren, wenn der Wert der linken Seite endlich ist. Eine Folge davon ist, dass ein erweitertes Maß mit Vorzeichen +∞ als Wert annehmen kann oder −∞ als Wert annehmen kann, aber beides ist nicht verfügbar. Der Ausdruck ∞ − ∞ ist undefiniert und muss vermieden werden. ${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{2},\ldots,A_{n},\ldots}$

Ein endliches Maß mit Vorzeichen (auch bekannt als reelles Maß ) wird auf die gleiche Weise definiert, außer dass es nur reelle Werte annehmen darf. Das heißt, es kann nicht +∞ oder −∞ annehmen.

Endliche vorzeichenbehaftete Takte bilden einen reellen Vektorraum , während ausgedehnte vorzeichenbehaftete Takte dies nicht tun, da sie nicht unter Addition geschlossen werden. Auf der anderen Seite handelt es sich bei Maßnahmen um erweiterte vorzeichenbehaftete Maßnahmen, jedoch nicht im Allgemeinen um endliche vorzeichenbehaftete Maßnahmen.

Beispiele

Betrachten Sie ein nicht negatives Maß auf dem Raum ( X , Σ) und eine messbare Funktion f : X → R mit ${\displaystyle \nu}$

${\displaystyle \int _{X}\!|f(x)|\,d\nu (x)<\infty .}$

Dann ist ein endliches vorzeichenbehaftetes Maß gegeben durch

${\displaystyle \mu(A)=\int_{A}\!f(x)\,d\nu(x)}$

für alle A in Σ.

Dieses vorzeichenbehaftete Maß nimmt nur endliche Werte an. Um +∞ als Wert annehmen zu können, muss man die Annahme, dass f absolut integrierbar ist, durch die entspanntere Bedingung ersetzen

${\displaystyle \int_{X}\!f^{-}(x)\,d\nu (x)<\infty ,}$

wobei f ⁻ ( x ) = max(− f ( x ), 0) der negative Teil von f ist .

Eigenschaften

Was folgt, sind zwei Ergebnisse, die implizieren, dass ein erweitertes vorzeichenbehaftetes Maß die Differenz zweier nicht negativer Maße ist und ein endliches vorzeichenbehaftetes Maß die Differenz zweier endlicher nicht negativer Maße.

Der Zerlegungssatz von Hahn besagt, dass bei einem vorzeichenbehafteten Maß μ zwei messbare Mengen P und N existieren, so dass:

1. P ∪ N = X und P ∩ N = ∅;
2. μ ( E ) ≥ 0 für jeden E in Σ derart , daß E ⊆ P - mit anderen Worten, P a positiver Satz ;
3. μ ( E ) ≤ 0 für jedes E in Σ mit E ⊆ N — dh N ist eine negative Menge.

Darüber hinaus ist diese einzigartige Zersetzung bis Hinzufügen zu / Subtrahier- μ - Nullmengen von P und N .

Betrachten Sie dann zwei nicht negative Maße μ ⁺ und μ ⁻ definiert durch

${\displaystyle \mu^{+}(E)=\mu(P\cap E)}$

und

${\displaystyle \mu^{-}(E)=-\mu(N\cap E)}$

für alle messbaren Mengen E , also E in .

Man kann überprüfen, dass sowohl μ ⁺ als auch μ ⁻ nicht-negative Maße sind, wobei eines nur endliche Werte annimmt und als positiver bzw. negativer Teil von μ bezeichnet wird. Es gilt μ = μ ⁺ − μ ⁻ . Das Maß | μ | = μ ⁺ + μ ⁻ heißt Variation von μ , und ihr maximal möglicher Wert || μ || = | μ |( X ), heißt Gesamtvariation von  μ .

Diese Folge des Hahn-Zerlegungssatzes wird Jordan-Zerlegung genannt . Die Maße μ ⁺ , μ ⁻ und | μ | sind unabhängig von der Wahl von P und N im Zerlegungssatz von Hahn.

Verwendungszweck

Eine Maßnahme ist durch die gegebene Fläche Funktion auf Regionen der kartesischen Ebene . Diese Maßnahme wird in bestimmten Fällen gebührenpflichtig. Wenn beispielsweise der natürliche Logarithmus durch die Fläche unter der Kurve y = 1/ x für x in den positiven reellen Zahlen definiert ist , wird der Bereich mit 0 < x < 1 als negativ angesehen.

Ein durch eine stetige Funktion y = f ( x ), die x -Achse und die Linien x = a und x = b definiertes Gebiet kann durch Riemann-Integration ausgewertet werden . In diesem Fall ist die Bewertung eine Ladung mit dem Vorzeichen der Ladung, die dem Vorzeichen von y entspricht .

Bei der Definition gerichteter hyperbolischer Winkel in Bezug auf die Fläche eines hyperbolischen Sektors teilt die Linie y = x den Quadranten I in positive und negative Bereiche für ein vorzeichenbehaftetes Maß.

Der Raum der unterzeichneten Maßnahmen

Die Summe zweier endlicher vorzeichenbehafteter Maße ist ein endliches vorzeichenbehaftetes Maß, ebenso wie das Produkt eines endlichen vorzeichenbehafteten Maßes mit einer reellen Zahl – d. h. sie sind unter Linearkombinationen abgeschlossen . Daraus folgt, dass die Menge endlicher vorzeichenbehafteter Maße auf einem messbaren Raum ( X , ) ein reeller Vektorraum ist ; dies steht im Gegensatz zu positiven Maßen, die nur unter konischen Kombinationen abgeschlossen sind und somit einen konvexen Kegel, aber keinen Vektorraum bilden. Weiterhin kann die gesamte Variation definiert eine Norm in Bezug auf die der Raum endlicher signierte Maßnahmen wird eine Banachraumes . Dieser Raum hat noch mehr Struktur, dass es sich um ein gezeigt werden kann , um sein Dedekindsche kompletten Banach Gitter und so den tut Radon-Nikodym kann ein Sonderfall der gezeigt wird , wird Freudenthal Spektralsatz .

Wenn X ein kompakter separierbarer Raum ist, dann ist der Raum der endlichen vorzeichenbehafteten Baire-Maße das Duale des reellen Banach-Raums aller stetigen reellwertigen Funktionen auf X nach dem Riesz-Markov-Kakutani-Darstellungssatz .

Siehe auch

• Komplexe Maßnahme
• Spektrale Messung
• Vektormaß
• Riesz–Markov–Kakutani-Darstellungssatz
• Gesamtvariation

Anmerkungen

Verweise

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• Cohn, Donald L. (1997) [1980], Maßtheorie , Boston: Birkhäuser Verlag , ISBN 3-7643-3003-1, Zbl  0436.28001
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• Dunford, Nelson ; Schwartz, Jacob T. (1971), Lineare Operatoren. Teil I: Allgemeine Theorie. Teil II: Spektraltheorie. Selbstadjungierte Operatoren im Hilbertraum. Teil III: Spektraloperatoren. , Pure and Applied Mathematics, 8 , New York und London: Interscience Publishers , S. XIX+1925–2592, ISBN 0-471-60846-7, Zbl  0243.47001
• Zaanen, Adriaan C. (1996), Einführung in die Operatortheorie in Riesz-Räumen , Springer Publishing , ISBN 3-540-61989-5

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