Split-Quaternion - Split-quaternion

Split-Quaternionen-Multiplikation

×	1	ich	J	k
1	1	ich	J	k
ich	ich	-1	k	−j
J	J	−k	1	−i
k	k	J	ich	1

In der abstrakten Algebra bilden die Split-Quaternionen oder Coquaternionen eine algebraische Struktur, die 1849 von James Cockle unter dem letztgenannten Namen eingeführt wurde. Sie bilden eine assoziative Algebra der Dimension vier über den reellen Zahlen .

Nach Einführung koordinatenfreier Definitionen von Ringen und Algebren im 20. Jahrhundert wurde bewiesen, dass die Algebra der Split-Quaternionen isomorph zum Ring der 2×2 reellen Matrizen ist . Das Studium von Split-Quaternionen kann also auf das Studium reeller Matrizen reduziert werden, und dies mag erklären, warum in der mathematischen Literatur des 20.

Definition

Die Split-Quaternionen sind die Linearkombinationen (mit reellen Koeffizienten) von vier Basiselementen 1, i, j, k , die die folgenden Produktregeln erfüllen:

ich ² = -1 ,

j ² = 1 ,

k ² = 1 ,

ij = k = −ji .

Durch Assoziativität implizieren diese Beziehungen

jk = −i = −kj ,

ki = j = −ik ,

und auch ijk = 1 .

Die Split-Quaternionen bilden also einen reellen Vektorraum der Dimension vier mit {1, i, j, k} als Basis . Sie bilden auch einen nichtkommutativen Ring , indem sie die obigen Produktregeln durch Distributivität auf alle gespaltenen Quaternionen erweitern.

Betrachten wir die quadratischen Matrizen

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {1}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\qquad &{\boldsymbol {i}}={\begin{pmatrix }0&1\\-1&0\end{pmatrix}},\\{\boldsymbol {j}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\qquad &{\boldsymbol {k}} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.\end{ausgerichtet}}}$

Sie erfüllen dieselbe Multiplikationstabelle wie die entsprechenden Split-Quaternionen. Da diese Matrizen eine Basis der zwei mal zwei Matrizen bilden, induziert die Funktion , die 1, i, j, k auf (jeweils) abbildet , einen algebraischen Isomorphismus von den geteilten Quaternionen auf die zwei durch zwei reelle Matrizen. ${\displaystyle {\boldsymbol {1}},{\boldsymbol {i}},{\boldsymbol {j}},{\boldsymbol {k}}}$

Die obigen Multiplikationsregeln implizieren, dass die acht Elemente 1, i, j, k, −1, −i, −j, −k unter dieser Multiplikation eine Gruppe bilden , die isomorph zur Diedergruppe D ₄ , der Symmetriegruppe von a quadratisch . Wenn man ein Quadrat betrachtet, dessen Scheitelpunkte die Punkte sind, deren Koordinaten 0 oder 1 sind , ist die Matrix die Drehung im Uhrzeigersinn um eine Vierteldrehung, die Symmetrie um die erste Diagonale und die Symmetrie um die x- Achse. ${\displaystyle {\boldsymbol {i}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {j}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$

Eigenschaften

Wie die von Hamilton 1843 eingeführten Quaternionen bilden sie eine vierdimensionale reelle assoziative Algebra . Aber wie die Matrizen und anders als die Quaternionen enthalten die Split-Quaternionen nichttriviale Nullteiler , nilpotente Elemente und idempotente . (Beispielsweise, 1/2(1 + j) ist ein idempotenter Nullteiler, und i − j ist nilpotent.) Als Algebra über den reellen Zahlen ist die Algebra der Split-Quaternionen isomorph zur Algebra der 2×2 reellen Matrizen durch den oben definierten Isomorphismus .

Dieser Isomorphismus ermöglicht es, jedes Split-Quaternion mit einer 2×2-Matrix zu identifizieren. Jede Eigenschaft von Split-Quaternionen entspricht also einer ähnlichen Eigenschaft von Matrizen, die oft anders benannt wird.

Die Konjugierte einer Split-Quaternion q = w + x i + y j + z k ist q ^∗ = w − x i − y j − z k . In Bezug auf Matrizen ist die Konjugierte die Kofaktormatrix, die durch Austauschen der diagonalen Einträge und Vorzeichenwechsel der beiden anderen Einträge erhalten wird.

Das Produkt eines gespaltenen Quaternions mit seinem Konjugat ist die isotrope quadratische Form :

${\displaystyle N(q)=qq^{*}=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2},}$

die als Norm des Split-Quaternions oder als Determinante der zugehörigen Matrix bezeichnet wird.

Der Realteil einer Split-Quaternion q = w + x i + y j + z k ist w = ( q ^∗ + q )/2 . Sie entspricht der Spur der zugehörigen Matrix.

Die Norm eines Produkts zweier Split-Quaternionen ist das Produkt ihrer Normen. Äquivalent ist die Determinante eines Produkts von Matrizen das Produkt ihrer Determinanten.

Das bedeutet, dass Split-Quaternionen und 2×2-Matrizen eine Kompositionsalgebra bilden . Da es Split-Quaternionen ungleich null gibt, die eine Null-Norm haben, bilden Split-Quaternionen eine „Split-Composition-Algebra“ – daher ihr Name.

Eine Split-Quaternion mit einer Norm ungleich Null hat eine multiplikative Inverse , nämlich q ^∗ / N ( q ) . In Bezug auf die Matrix ist dies die Cramer-Regel , die behauptet, dass eine Matrix invertierbar ist, wenn und nur ihre Determinante ungleich Null ist, und in diesem Fall ist die Inverse der Matrix der Quotient der Kofaktormatrix durch die Determinante.

Der Isomorphismus zwischen Split-Quaternionen und 2×2-Matrizen zeigt, dass die multiplikative Gruppe von Split-Quaternionen mit einer Norm ungleich Null isomorph ist mit und die Gruppe von Split-Quaternionen der Norm 1 isomorph mit${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb{R}),}$${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R}).}$

Darstellung als komplexe Matrizen

Es gibt eine Darstellung der Split-Quaternionen als unitale assoziative Subalgebra der 2×2- Matrizen mit komplexen Einträgen. Diese Darstellung kann durch den Algebra-Homomorphismus definiert werden, der eine Split-Quaternion w + x i + y j + z k auf die Matrix abbildet

${\displaystyle {\begin{pmatrix}w+xi&y+zi\\y-zi&w-xi\end{pmatrix}}.}$

Dabei ist i ( kursiv ) die imaginäre Einheit , die nicht mit der Grundquaternion i ( aufrecht romanisch ) verwechselt werden darf .

Das Bild dieses Homomorphismus ist der Matrixring , den die Matrizen der Form

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}},}$

wobei der hochgestellte Index eine komplexe Konjugierte bezeichnet . ${\displaystyle ^{*}}$

Dieser Homomorphismus bildet jeweils die Split-Quaternionen i, j, k auf die Matrizen ab

${\displaystyle {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}0&i \\-i&0\end{pmatrix}}.}$

Der Beweis, dass diese Darstellung ein Algebra-Homomorphismus ist, ist einfach, erfordert jedoch einige langweilige Berechnungen, die vermieden werden können, indem man vom Ausdruck von Split-Quaternionen als 2×2- reelle Matrizen ausgeht und die Matrixähnlichkeit verwendet . Sei S die Matrix

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}1&i\\i&1\end{pmatrix}}.}$

Angewendet auf die Darstellung von Split-Quaternionen als 2×2 reelle Matrizen ist der obige Algebra-Homomorphismus die Matrixähnlichkeit.

${\displaystyle M\mapsto S^{-1}MS.}$

Daraus folgt fast sofort, dass für ein gespaltenes Quaternion, das als komplexe Matrix dargestellt wird, das Konjugat die Matrix der Cofaktoren und die Norm die Determinante ist.

Mit der Darstellung gespaltener Quaternionen als komplexe Matrizen. die Matrizen der Quaternionen der Norm 1 sind genau die Elemente der speziellen unitären Gruppe SU(1,1) . Dies wird in der hyperbolischen Geometrie verwendet, um hyperbolische Bewegungen des Poincaré-Scheibenmodells zu beschreiben .

Generierung aus Split-Komplex-Zahlen

Kevin McCrimmon hat gezeigt, wie alle Kompositionsalgebren nach der von LE Dickson und Adrian Albert für die Divisionsalgebren C , H und O verkündeten Weise konstruiert werden können . Tatsächlich präsentiert er die Multiplikationsregel

${\displaystyle (a,b)(c,d)\ =\ (ac+d^{*}b,\da+bc^{*})}$

bei der Herstellung des Doppelprodukts in den Real-Split-Fällen zu verwenden. Nach wie vor das verdoppelte Konjugat, so dass ${\displaystyle (a,b)^{*}=(a^{*},-b),}$

${\displaystyle N(a,b)\ =\ (a,b)(a,b)^{*}\ =\ (aa^{*}-bb^{*},0).}$

Wenn ein und b sind Split-komplexe Zahlen und Split-quaternion${\displaystyle q=(a,b)=((w+zj),(y+xj)),}$

dann ${\displaystyle N(q)=aa^{*}-bb^{*}=w^{2}-z^{2}-(y^{2}-x^{2})=w^{2 }+x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

Schichtung

In diesem Abschnitt werden die von einer einzelnen Split-Quaternion erzeugten Subalgebren untersucht und klassifiziert.

Sei p = w + x i + y j + z k eine Split-Quaternion. Sein Realteil ist w = 1/2( p + p ^* ) . Sei q = p – w =1/2( p – p ^* ) sei sein nichtrealer Teil . Man hat q ^* = - q , und somit folgt , dass eine reelle Zahl ist, wenn und nur p ist entweder eine reelle Zahl ( q = 0 und p = w ) oder eine rein nicht - reelle Split Quaternion ( w = 0 und p = q ) . ${\displaystyle p^{2}=w^{2}+2wq-N(q).}$${\displaystyle p^{2}}$

Die Struktur der von p erzeugten Subalgebra folgt einfach. Hat man ${\displaystyle \mathbb {R} [p]}$

${\displaystyle \mathbb{R} [p]=\mathbb{R} [q]=\{a+bq\mid a,b\in\mathbb{R}\},}$

und das ist eine kommutative Algebra . Seine Dimension ist zwei, außer wenn p reell ist (in diesem Fall ist die Subalgebra einfach ). ${\displaystyle \mathbb{R}}$

Die nichtreellen Elemente, deren Quadrat reell ist, haben die Form aq mit${\displaystyle \mathbb {R} [p]}$${\displaystyle a\in\mathbb{R}.}$

Drei Fälle sind zu berücksichtigen, die in den nächsten Unterabschnitten näher beschrieben werden.

Nilpotenter Fall

Mit dem obigen Schreibweise, wenn (das heißt, wenn q ist nilpotenten ), dann werden N ( q ) = 0 , das heißt, Das bedeutet , dass es existiert w und t in derart , daß 0 ≤ t <2 π und ${\displaystyle q^{2}=0,}$${\displaystyle x^{2}-y^{2}-z^{2}=0.}$${\displaystyle \mathbb{R}}$

${\displaystyle p=w+a\mathrm {i} +a\cos(t)\mathrm {j} +a\sin(t)\mathrm {k} .}$

Dies ist eine Parametrisierung aller Split-Quaternionen, deren nichtrealer Teil nilpotent ist.

Dies ist auch eine Parametrisierung dieser Unteralgebren durch die Punkte eines Kreises: Die geteilten Quaternionen der Form bilden einen Kreis ; eine von einem nilpotenten Element erzeugte Subalgebra enthält genau einen Punkt des Kreises; und der Kreis enthält keinen anderen Punkt. ${\displaystyle \mathrm{i} +\cos(t)\mathrm{j} +\sin(t)\mathrm{k}}$

Die von einem nilpotenten Element erzeugte Algebra ist isomorph zum Raum der dualen Zahlen . ${\displaystyle\mathbb{R}[X]/\langle X^{2}\rangle}$

Zerlegbare Hülle

Dies ist der Fall, wenn N ( q ) > 0 ist . Für Vermieter hat man ${\textstyle n={\sqrt {N(q)}},}$

${\displaystyle q^{2}=-q^{*}q=N(q)=n^{2}=x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

Es folgt dem 1/n q gehört zur Hyperboloids aus zwei Blättern von GleichungDaher gibt reelle Zahlen n , t , u , so daß 0 ≤ t <2 π und ${\displaystyle x^{2}-y^{2}-z^{2}=1.}$

${\displaystyle p=w+n\cosh(u)\mathrm {i} +n\sinh(u)\cos(t)\mathrm {j} +n\sinh(u)\sin(t)\mathrm { k} .}$

Dies ist eine Parametrisierung aller Split-Quaternionen, deren nichtrealer Teil eine positive Norm hat.

Dies ist auch eine Parametrisierung der entsprechenden Unteralgebren durch die Paare von gegenüberliegenden Punkten eines Hyperboloids aus zwei Blättern: Die geteilten Quaternionen der Form bilden ein Hyperboloid aus zwei Blättern; eine Subalgebra, die durch eine Split-Quaternion mit einem nicht-realen Teil positiver Norm erzeugt wird, enthält genau zwei gegenüberliegende Punkte auf diesem Hyperboloid, einen auf jedem Blatt; und das Hyperboloid enthält keinen anderen Punkt. ${\displaystyle \cosh(u)\mathrm {i} +\sinh(u)\cos(t)\mathrm {j} +\sinh(u)\sin(t)\mathrm {k}}$

Die Algebra, die von einer Split-Quaternion mit einem nicht-reellen Teil positiver Norm erzeugt wird, ist isomorph zum Raum der Split-Komplex-Zahlen . Es ist auch isomorph (als Algebra) zu durch die Abbildung definiert durch ${\displaystyle\mathbb{R}[X]/\langle X^{2}-1\rangle}$${\displaystyle \mathbb{R} ^{2}}$${\textstyle (1,0)\mapsto {\frac {1+X}{2}},\quad (0,1)\mapsto {\frac {1-X}{2}}.}$

Unzersetzbares Gehäuse

Dies ist der Fall, wenn N ( q ) < 0 ist . Für Vermieter hat man ${\textstyle n={\sqrt {-N(q)}},}$

${\displaystyle q^{2}=-q^{*}q=N(q)=-n^{2}=x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

Es folgt dem 1/n q gehört zur Hyperboloides der GleichungDaher gibt reelle Zahlen n , t , u , so daß 0 ≤ t <2 π und ${\displaystyle y^{2}+z^{2}-x^{2}=1.}$

${\displaystyle p=w+n\sinh(u)\mathrm {i} +n\cosh(u)\cos(t)\mathrm {j} +n\cosh(u)\sin(t)\mathrm { k} .}$

Dies ist eine Parametrisierung aller Split-Quaternionen, deren nichtrealer Teil eine negative Norm hat.

Dies ist auch eine Parametrisierung der entsprechenden Unteralgebren durch die Paare von gegenüberliegenden Punkten eines Hyperboloids eines Blattes: die geteilten Quaternionen der Form bilden ein Hyperboloid eines Blattes; eine Subalgebra, die durch eine Split-Quaternion mit einem nicht-reellen Teil negativer Norm erzeugt wird, enthält genau zwei gegenüberliegende Punkte auf diesem Hyperboloid; und das Hyperboloid enthält keinen anderen Punkt. ${\displaystyle \sinh(u)\mathrm {i} +\cosh(u)\cos(t)\mathrm {j} +\cosh(u)\sin(t)\mathrm {k}}$

Die Algebra, die von einer Split-Quaternion mit einem nicht-reellen Teil negativer Norm erzeugt wird, ist isomorph zu und zum Körper der komplexen Zahlen. ${\displaystyle\mathbb{R}[X]/\langle X^{2}+1\rangle}$${\displaystyle\mathbb{C}}$

Schichtung nach Norm

Wie oben gesehen, bilden die rein nichtrealen Split-Quaternionen der Norm -1, 1 und 0 jeweils ein Hyperboloid aus einem Blatt, ein Hyporboloid aus zwei Blättern und einen Kreiskegel im Raum der nicht-reellen Quaternionen.

Diese Flächen sind paarweise asymptot und schneiden sich nicht. Ihre Ergänzung besteht aus sechs verbundenen Regionen:

• die beiden Regionen auf der konkaven Seite des Hyperboloids zweier Schichten, wobei ${\displaystyle N(q)>1}$
• die beiden Regionen zwischen dem Hyperboloid zweier Blätter und dem Kegel, wobei ${\displaystyle 0<N(q)<1}$
• der Bereich zwischen dem Kegel und dem Hyperboloid einer Schicht, wo ${\displaystyle -1<N(q)<0}$
• der Bereich außerhalb des Hyperboloids eines Blattes, wobei ${\displaystyle N(q)<-1}$

Diese Schichtung lässt sich verfeinern, indem man Split-Quaternionen einer festen Norm betrachtet: Für jede reelle Zahl n ≠ 0 bilden die rein nichtrealen Split-Quaternionen der Norm n ein Hyperboloid. Alle diese Hyperboloide sind asymptotisch zu dem obigen Kegel, und keine dieser Oberflächen schneidet eine andere. Da die Menge der rein nichtrealen Split-Quaternionen die disjunkte Vereinigung dieser Flächen ist, ergibt dies die gewünschte Schichtung.

Historische Notizen

Die Coquaternionen wurden ursprünglich (unter diesem Namen) 1849 von James Cockle im London-Edinburgh-Dublin Philosophical Magazine eingeführt . Die einführenden Artikel von Cockle wurden 1904 in der Bibliographie der Quaternion Society in Erinnerung gerufen . Alexander Macfarlane nannte die Struktur von Split-Quaternion-Vektoren ein exsphärisches System, als er 1900 auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Paris sprach .

Die Einheitskugel wurde 1910 von Hans Beck betrachtet. Zum Beispiel erscheint die Diedergruppe auf Seite 419. Die Split-Quaternion-Struktur wurde auch in den Annals of Mathematics kurz erwähnt .

Synonyme

• Paraquaternionen (Ivanov und Zamkovoy 2005, Mohaupt 2006) Mannigfaltigkeiten mit paraquaternionischen Strukturen werden in der Differentialgeometrie und Stringtheorie untersucht . In der para-quaternionischen Literatur wird k durch −k ersetzt.
• Exsphärisches System (Macfarlane 1900)
• Split-Quaternionen (Rosenfeld 1988)
• Antiquaternionen (Rosenfeld 1988)
• Pseudoquaternionen (Yaglom 1968 Rosenfeld 1988)

Siehe auch

• Pauli-Matrizen
• Split-Biquaternionen
• Split-Octonionen
• Hyperkomplexe Zahlen
• Duale Quaternionen

Anmerkungen

Weiterlesen

• Brody, Dorje C. und Eva-Maria Graefe . "Über komplexe Mechanik und Coquaternionen." Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 44.7 (2011): 072001. doi : 10.1088/1751-8113/44/7/072001
• Ivanov, Stefan; Zamkovoy, Simeon (2005), "Parahermitian and paraquaternionic mannigfaltig", Differential Geometry and its Applications 23 , S. 205–234, arXiv : math.DG/0310415 , MR 2158044 .
• Mohaupt, Thomas (2006), "Neuentwicklungen in der Sondergeometrie", arXiv : hep-th/0602171 .
• Özdemir, M. (2009) "Die Wurzeln einer gespaltenen Quaternion", Applied Mathematics Letters 22: 258–63. [1]
• Özdemir, M. & AA Ergin (2006) „Rotations with timelike quaternions in Minkowski 3-space“, Journal of Geometry and Physics 56: 322–36. [2]
• Pogoruy, Anatoliy & Ramon M. Rodrigues-Dagnino (2008) Einige algebraische und analytische Eigenschaften der Coquaternion-Algebra , Fortschritte in der angewandten Clifford-Algebras .