Polytop - Polytope

Ein Polyeder ist ein dreidimensionales Polytop

Ein Polygon ist ein 2-dimensionales Polytop. Einige Polygone verschiedener Art: offen (ohne Begrenzung), nur umgrenzender Kreis (ohne Berücksichtigung ihres Inneren), geschlossen (einschließlich ihrer Begrenzung und ihres Inneren) und sich selbst schneidend mit unterschiedlichen Dichten verschiedener Regionen.

In der elementaren Geometrie ist ein Polytop ein geometrisches Objekt mit "flachen" Seiten. Es ist eine Verallgemeinerung in beliebig vielen Dimensionen des dreidimensionalen Polyeders . Polytope können in einer beliebigen allgemeinen Anzahl von Dimensionen n als n- dimensionales Polytop oder n- Polytop existieren . "Flache Seiten" bedeutet in diesem Zusammenhang, dass die Seiten eines ( k +1)-Polytops aus k- Polytopen bestehen, die ( k- 1)-Polytope gemeinsam haben können. Ein zweidimensionales Polygon ist beispielsweise ein 2-Polytop und ein dreidimensionales Polyeder ist ein 3-Polytop.

Einige Theorien verallgemeinern weiter die Idee, solche Objekte wie unbeschränkte Apeirotope und Tessellationen , Zerlegungen oder Kacheln von gekrümmten Mannigfaltigkeiten einschließlich sphärischer Polyeder und mengentheoretische abstrakte Polytope einzubeziehen .

Polytope in mehr als drei Dimensionen wurden erstmals von Ludwig Schläfli entdeckt . Der deutsche Begriff Polytop wurde von dem Mathematiker Reinhold Hoppe geprägt und wurde den englischen Mathematikern als Polytop von Alicia Boole Stott eingeführt .

Definitionsansätze

Der Begriff Polytop ist heutzutage ein weit gefasster Begriff, der eine breite Klasse von Objekten abdeckt, und in der mathematischen Literatur tauchen verschiedene Definitionen auf. Viele dieser Definitionen sind nicht äquivalent zueinander, was dazu führt, dass unterschiedliche überlappende Sätze von Objekten als Polytope bezeichnet werden . Sie repräsentieren unterschiedliche Ansätze zur Verallgemeinerung der konvexen Polytope , um andere Objekte mit ähnlichen Eigenschaften einzubeziehen.

Der ursprüngliche Ansatz, den Ludwig Schläfli , Thorold Gosset und andere weitgehend verfolgen , beginnt mit der analogen Erweiterung der Idee eines Polygons und Polyeders in zwei bzw. drei Dimensionen in vier oder mehr Dimensionen.

Versuche, die Euler-Charakteristik von Polyedern auf höherdimensionale Polytope zu verallgemeinern, führten zur Entwicklung der Topologie und zur Behandlung eines Zerlegungs- oder CW-Komplexes als Analogon zu einem Polytop. Bei diesem Ansatz kann ein Polytop als Tesselierung oder Zerlegung einer gegebenen Mannigfaltigkeit betrachtet werden . Ein Beispiel für diesen Ansatz definiert ein Polytop als eine Menge von Punkten, die eine einfache Zerlegung zulässt . In dieser Definition ist ein Polytop die Vereinigung endlich vieler Simplizes mit der zusätzlichen Eigenschaft, dass für zwei beliebige Simplizes, die einen nicht leeren Schnittpunkt haben, der Schnittpunkt ein Scheitelpunkt, eine Kante oder eine höherdimensionale Fläche der beiden ist. Diese Definition lässt jedoch keine Sternpolytope mit inneren Strukturen zu und ist daher auf bestimmte Bereiche der Mathematik beschränkt.

Die Entdeckung von Sternpolyedern und anderen ungewöhnlichen Konstruktionen führte zu der Idee eines Polyeders als Begrenzungsfläche, der sein Inneres ignorierte. In diesem Licht konvexen Polyeder in p ist -Raum entsprechen Pflasterungen des ( p - 1) -sphere , während andere tilings andere sein elliptisch , flach oder Toroid ( p -1) -Flächen - siehe elliptisch tiling und torusförmigen Polyeder . Ein Polyeder ist als eine Oberfläche , die verstandenen Flächen sind Polygone , eine 4-Polytop als Hyper deren Facetten ( Zellen ) ist Polyeder, und so weiter.

Die Idee, ein höheres Polytop aus denen mit niedrigerer Dimension zu konstruieren, wird manchmal auch nach unten in der Dimension erweitert, wobei eine ( Kante ) als 1-Polytop gesehen wird, das von einem Punktpaar begrenzt wird, und ein Punkt oder Scheitelpunkt als 0-Polytop. Dieser Ansatz wird beispielsweise in der Theorie der abstrakten Polytope verwendet .

In bestimmten Gebieten der Mathematik werden die Begriffe "Polytop" und "Polyeder" in einem anderen Sinne verwendet: Ein Polyeder ist das generische Objekt in jeder Dimension ( in diesem Artikel als Polytop bezeichnet ) und polytop bedeutet ein begrenztes Polyeder. Diese Terminologie ist typischerweise auf Polytope und Polyeder beschränkt, die konvex sind . Mit dieser Terminologie ist ein konvexes Polyeder der Schnittpunkt einer endlichen Anzahl von Halbräumen und wird durch seine Seiten definiert, während ein konvexes Polytop die konvexe Hülle einer endlichen Anzahl von Punkten ist und durch seine Ecken definiert wird.

Polytope in niedrigeren Dimensionszahlen haben Standardnamen:

Elemente

Ein Polytop besteht aus Elementen unterschiedlicher Dimensionalität wie Eckpunkten, Kanten, Flächen, Zellen usw. Die Terminologie für diese ist bei verschiedenen Autoren nicht vollständig konsistent. Einige Autoren verwenden beispielsweise face , um auf ein ( n  − 1)-dimensionales Element zu verweisen, während andere face verwenden , um speziell ein 2-Face zu bezeichnen. Autoren können j -face oder j -facet verwenden, um ein Element von j- Dimensionen anzugeben . Einige verwenden Kanten auf einen Kamm zu beziehen, während HSM Coxeter verwendet Zelle ein (zu bezeichnen n  - 1) -dimensionalen Element.

Die in diesem Artikel verwendeten Begriffe sind in der folgenden Tabelle aufgeführt:

Dimension des Elements	Term (in einem n -Polytop)
-1	Nichtigkeit (notwendig in der abstrakten Theorie)
0	Scheitel
1	Kante
2	Gesicht
3	Zelle
${\displaystyle\vdots}$	${\displaystyle\vdots}$
J	j -face – Element vom Rang j = −1, 0, 1, 2, 3, ..., n
${\displaystyle\vdots}$	${\displaystyle\vdots}$
n − 3	Peak – ( n − 3)-Fläche
n − 2	Grat oder Unterfacette – ( n − 2)-Fläche
n − 1	Facette – ( n − 1)-Fläche
n	Das Polytop selbst

Ein n- dimensionales Polytop wird durch eine Anzahl von ( n  − 1)-dimensionalen Facetten begrenzt . Diese Facetten sind selbst Polytope, deren Facetten ( n  − 2)-dimensionale Kanten des ursprünglichen Polytops sind. Jeder Grat entsteht als Schnittpunkt zweier Facetten (aber der Schnittpunkt zweier Facetten muss kein Grat sein). Kämme sind wiederum Polytope, deren Facetten zu ( n  − 3)-dimensionalen Grenzen des ursprünglichen Polytops führen, und so weiter. Diese begrenzenden Subpolytope können als Flächen bezeichnet werden , oder insbesondere als j- dimensionale Flächen oder j- Flächen. Eine 0-dimensionale Fläche wird als Scheitelpunkt bezeichnet und besteht aus einem einzelnen Punkt. Eine eindimensionale Fläche wird als Kante bezeichnet und besteht aus einem Liniensegment. Ein zweidimensionales Gesicht besteht aus einem Polygon , und ein dreidimensionales Gesicht, manchmal auch Zelle genannt , besteht aus einem Polyeder .

Wichtige Klassen von Polytopen

Konvexe Polytope

Ein Polytop kann konvex sein . Die konvexen Polytope sind die einfachste Art von Polytopen und bilden die Grundlage für verschiedene Verallgemeinerungen des Konzepts der Polytope. Ein konvexes Polytop wird manchmal als Schnittmenge einer Menge von Halbräumen definiert . Diese Definition erlaubt, dass ein Polytop weder beschränkt noch endlich ist. Polytope werden auf diese Weise zB in der linearen Programmierung definiert . Ein Polytop ist beschränkt, wenn es eine Kugel mit endlichem Radius gibt, die es enthält. Ein Polytop heißt spitz, wenn es mindestens einen Knoten enthält. Jedes beschränkte nichtleere Polytop ist spitz. Ein Beispiel für ein nicht spitzes Polytop ist die Menge . Ein Polytop ist endlich, wenn es durch eine endliche Anzahl von Objekten definiert ist, zB als Schnittpunkt einer endlichen Anzahl von Halbebenen. Es ist ein ganzzahliges Polytop, wenn alle seine Eckpunkte ganzzahlige Koordinaten haben. ${\displaystyle \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x\geq 0\}}$

Eine bestimmte Klasse von konvexen Polytopen sind reflexive Polytope. Ein ganzzahliges -Polytop ist reflexiv, wenn für eine ganzzahlige Matrix , , wobei einen Vektor aus allen Einsen bezeichnet und die Ungleichung komponentenweise ist. Aus dieser Definition folgt, dass genau dann reflexiv ist, wenn für alle . Mit anderen Worten, a -dilate of unterscheidet sich in Bezug auf ganzzahlige Gitterpunkte von a -dilate of nur um an der Grenze gewonnene Gitterpunkte. Äquivalent ist reflexiv genau dann, wenn sein duales Polytop ein integrales Polytop ist. ${\displaystyle d}$${\displaystyle {\mathcal{P}}}$ ${\displaystyle\mathbf{A}}$${\displaystyle {\mathcal{P}}=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^{d}:\mathbf{Ax}\leq\mathbf{1}\}}$${\displaystyle \mathbf {1} }$${\displaystyle {\mathcal{P}}}$${\displaystyle (t+1){\mathcal {P}}^{\circ}\cap \mathbb {Z} ^{d}=t{\mathcal {P}}\cap \mathbb {Z} ^{d }}$${\displaystyle t\in\mathbb{Z} _{\geq 0}}$${\displaystyle (t+1)}$${\displaystyle {\mathcal{P}}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle {\mathcal{P}}}$${\displaystyle {\mathcal{P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal{P}}^{*}}$

Regelmäßige Polytope

Reguläre Polytope haben den höchsten Symmetriegrad aller Polytope. Die Symmetriegruppe eines regulären Polytops wirkt transitiv auf seine Flaggen ; daher ist auch das duale Polytop eines regulären Polytops regulär.

Es gibt drei Hauptklassen von regulären Polytopen, die in einer beliebigen Anzahl von Dimensionen vorkommen:

• Simplizes , einschließlich des gleichseitigen Dreiecks und des regelmäßigen Tetraeders .
• Hyperwürfel oder Maßpolytope, einschließlich des Quadrats und des Würfels .
• Orthoplexe oder Kreuzpolytope, einschließlich des quadratischen und regelmäßigen Oktaeders .

Die Dimensionen zwei, drei und vier umfassen regelmäßige Figuren mit fünfzähliger Symmetrie, von denen einige nichtkonvexe Sterne sind, und in zwei Dimensionen gibt es unendlich viele regelmäßige Vielecke mit n- zähliger Symmetrie, sowohl konvex als auch (für n ≥ 5) Sterne. Aber in höheren Dimensionen gibt es keine anderen regelmäßigen Polytope.

In drei Dimensionen umfassen die konvexen platonischen Körper das fünfzählige symmetrische Dodekaeder und das Ikosaeder , und es gibt auch vier Stern- Kepler-Poinsot-Polyeder mit fünfzähliger Symmetrie, was die Gesamtzahl auf neun reguläre Polyeder erhöht.

In vier Dimensionen enthalten die regulären 4-Polytope einen zusätzlichen konvexen Körper mit vierzähliger Symmetrie und zwei mit fünfzähliger Symmetrie. Es gibt zehn Stern- Schläfli-Hess 4-Polytope , alle mit fünfzähliger Symmetrie, was insgesamt sechzehn regelmäßige 4-Polytope ergibt.

Sternpolytope

Ein nicht-konvexes Polytop kann sich selbst schneiden; zu dieser Klasse von Polytopen gehören die Sternpolytope . Einige regelmäßige Polytope sind Sterne.

Eigenschaften

Euler-Charakteristik

Da ein (gefüllt) konvexen Polytops P in Dimensionen zusammenziehbar zu einem Punkt, der Euler - Charakteristik wird von seiner Grenze ∂P durch die alternierende Summe angegeben: ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle\chi}$

${\displaystyle \chi =n_{0}-n_{1}+n_{2}-\cdots \pm n_{d-1}=1+(-1)^{d-1}}$, wobei die Anzahl der -dimensionalen Flächen ist.${\displaystyle n_{j}}$${\displaystyle j}$

Dies verallgemeinert die Eulersche Formel für Polyeder .

Innenwinkel

Der Satz von Gram-Euler verallgemeinert in ähnlicher Weise die alternierende Summe der Innenwinkel für konvexe Polyeder auf höherdimensionale Polytope: ${\textstyle \sum\varphi}$

${\displaystyle \sum\varphi =(-1)^{d-1}}$

Verallgemeinerungen eines Polytops

Unendliche Polytope

Nicht alle Mannigfaltigkeiten sind endlich. Wenn ein Polytop als Kacheln oder Zerlegen einer Mannigfaltigkeit verstanden wird, kann diese Idee auf unendliche Mannigfaltigkeiten ausgedehnt werden. ebene Kacheln , raumfüllende ( Waben ) und hyperbolische Kacheln sind in diesem Sinne Polytope und werden manchmal als Apeirotope bezeichnet, weil sie unendlich viele Zellen haben.

Unter diesen gibt es regelmäßige Formen, einschließlich der regelmäßigen schrägen Polyeder und der unendlichen Reihe von Kacheln, die durch das regelmäßige Apeirogon , quadratische Kacheln, kubische Waben und so weiter repräsentiert werden .

Abstrakte Polytope

Die Theorie der abstrakten Polytope versucht, Polytope unter Berücksichtigung ihrer rein kombinatorischen Eigenschaften aus dem sie umgebenden Raum herauszulösen. Dies ermöglicht es, die Definition des Begriffs auf Objekte auszudehnen, für die es schwierig ist, einen intuitiven zugrunde liegenden Raum zu definieren, wie z. B. die 11-Zelle .

Ein abstraktes Polytop ist eine teilweise geordnete Menge von Elementen oder Gliedern, die bestimmten Regeln gehorcht. Es handelt sich um eine rein algebraische Struktur, und die Theorie wurde entwickelt, um einige der Probleme zu vermeiden, die es schwierig machen, die verschiedenen geometrischen Klassen innerhalb eines konsistenten mathematischen Rahmens in Einklang zu bringen. Ein geometrisches Polytop ist eine Realisation des zugehörigen abstrakten Polytops in einem realen Raum.

Komplexe Polytope

Polytopanaloge Strukturen existieren in komplexen Hilberträumen, in denen n reelle Dimensionen von n imaginären Dimensionen begleitet werden. Regelmäßige komplexe Polytope werden besser als Konfigurationen behandelt . ${\displaystyle \mathbb{C} ^{n}}$

Dualität

Jedes n -polytope hat eine Doppelstruktur, erhalten durch seine Eckpunkte für Facetten Vertauschen, Kanten für Rippen, und so weiter im Allgemeinen Vertauschen seine ( j  - 1) -dimensionalen Elemente für ( n  -  j ) -dimensionalen Elemente (für j  = 1 bis n  − 1), unter Beibehaltung der Konnektivität oder Inzidenz zwischen Elementen.

Für ein abstraktes Polytop kehrt dies einfach die Reihenfolge der Menge um. Diese Umkehrung ist in den Schläfli-Symbolen für reguläre Polytope zu sehen, wobei das Symbol für das duale Polytop einfach die Umkehrung des Originals ist. {4, 3, 3} ist beispielsweise dual zu {3, 3, 4}.

Im Fall eines geometrischen Polytops sind einige geometrische Regeln für die Dualisierung erforderlich, siehe zum Beispiel die für duale Polyeder beschriebenen Regeln . Abhängig von den Umständen kann die duale Figur ein anderes geometrisches Polytop sein oder nicht.

Wenn das Dual umgekehrt wird, wird das ursprüngliche Polytop wiederhergestellt. Polytope existieren also in dualen Paaren.

Selbstduale Polytope

Der 5-Zellen (4-Simplex) ist selbstdual mit 5 Ecken und 5 tetraedrischen Zellen.

Wenn ein Polytop die gleiche Anzahl von Scheitelpunkten wie Facetten, Kanten wie Rippen usw. und die gleichen Konnektivitäten hat, ist die duale Figur dem Original ähnlich und das Polytop ist selbstdual.

Einige gängige selbst-duale Polytope sind:

• Jeder reguläre n - simplex , in einem beliebigen Anzahl von Dimensionen, mit Schläfli-Symbol {3 ⁿ }. Dazu gehören das gleichseitige Dreieck {3}, regelmäßige Tetraeder {3,3} und 5-Zellen {3,3,3}.
• Jede hyperkubische Wabe , in beliebig vielen Dimensionen. Dazu gehören das Apeirogon {∞}, die quadratische Kachelung {4,4} und die kubische Wabe {4,3,4}.
• Zahlreiche kompakte, parakompakte und nicht kompakte hyperbolische Kacheln, wie die ikosaedrische Wabe {3,5,3} und fünfeckige Kacheln der Ordnung 5 {5,5}.
• In 2 Dimensionen, alle regelmäßigen Vielecke (reguläre 2-Polytope)
• In 3 Dimensionen die kanonischen polygonalen Pyramiden und länglichen Pyramiden und das tetraedrisch verkleinerte Dodekaeder .
• In 4 Dimensionen die 24-Zellen , mit Schlafli-Symbol {3,4,3}. Auch die großen 120-Zellen {5,5/2,5} und die großen stellierten 120-Zellen {5/2,5,5/2}.

Geschichte

Polygone und Polyeder sind seit der Antike bekannt.

Ein erster Hinweis auf höhere Dimensionen kam 1827, als August Ferdinand Möbius entdeckte, dass sich zwei spiegelbildliche Festkörper überlagern lassen, indem man einen von ihnen um eine vierte mathematische Dimension dreht. In den 1850er Jahren hatte auch eine Handvoll anderer Mathematiker wie Arthur Cayley und Hermann Grassmann höhere Dimensionen in Betracht gezogen.

Ludwig Schläfli war der erste, der in diesen höheren Räumen Analoga von Polygonen und Polyedern betrachtete. Er beschrieb die sechs konvexen regelmäßigen 4-Polytope im Jahr 1852, aber seine Arbeit wurde erst 1901, sechs Jahre nach seinem Tod, veröffentlicht. Schon 1854, Bernhard Riemann ‚s Habilitationsschrift hatte fest die Geometrie der höheren Dimensionen etabliert und damit das Konzept der n - dimensionaler polytopes wurde als akzeptabel gemacht. Schläflis Polytope wurden in den folgenden Jahrzehnten noch zu seinen Lebzeiten mehrfach wiederentdeckt.

1882 prägte Reinhold Hoppe in deutscher Sprache das Wort Polytop, um sich auf dieses allgemeinere Konzept von Polygonen und Polyedern zu beziehen. Zu gegebener Zeit führte Alicia Boole Stott , Tochter des Logikers George Boole , das anglisierte Polytop in die englische Sprache ein.

Im Jahr 1895 entdeckte Thorold Gosset nicht nur Schläflis regelmäßige Polytope wieder, sondern untersuchte auch die Ideen von semiregulären Polytopen und raumfüllenden Tessellationen in höheren Dimensionen. Polytope wurden auch in nichteuklidischen Räumen wie dem hyperbolischen Raum untersucht.

Ein wichtiger Meilenstein wurde 1948 mit dem Buch Regular Polytopes von HSM Coxeter erreicht , das die bisherige Arbeit zusammenfasste und eigene Erkenntnisse hinzufügte.

Inzwischen hatte der französische Mathematiker Henri Poincaré die topologische Idee eines Polytops als stückweise Zerlegung (zB CW-Komplex ) einer Mannigfaltigkeit entwickelt . Branko Grünbaum veröffentlichte 1967 seine einflussreiche Arbeit über Convex Polytopes .

1952 verallgemeinerte Geoffrey Colin Shephard die Idee als komplexe Polytope im komplexen Raum, wobei jeder realen Dimension eine imaginäre zugeordnet ist. Coxeter entwickelte die Theorie weiter.

Die konzeptionellen Probleme, die durch komplexe Polytope, Nichtkonvexität, Dualität und andere Phänomene aufgeworfen werden, führten Grünbaum und andere zu einem allgemeineren Studium abstrakter kombinatorischer Eigenschaften in Bezug auf Scheitelpunkte, Kanten, Flächen usw. Eine verwandte Idee waren Inzidenzkomplexe, die das Auftreten oder die Verbindung der verschiedenen Elemente miteinander untersuchten. Diese Entwicklungen führten schließlich zur Theorie abstrakter Polytope als teilweise geordnete Mengen oder Posets solcher Elemente. 2002 veröffentlichten Peter McMullen und Egon Schulte ihr Buch Abstract Regular Polytopes .

Die Aufzählung der gleichförmigen Polytope , konvex und nichtkonvex, in vier oder mehr Dimensionen bleibt ein herausragendes Problem.

In der Neuzeit haben Polytope und verwandte Konzepte viele wichtige Anwendungen in so unterschiedlichen Bereichen wie Computergrafik , Optimierung , Suchmaschinen , Kosmologie , Quantenmechanik und zahlreichen anderen Bereichen gefunden. 2013 wurde das Amplituhedron als vereinfachendes Konstrukt in bestimmten Berechnungen der theoretischen Physik entdeckt.

Anwendungen

Im Bereich der Optimierung , lineare Programmierung Studien , die die Maxima und Minima von linearen Funktionen; diese Maxima und Minima treten am Rand eines n- dimensionalen Polytops auf. In der linearen Programmierung treten Polytope bei der Verwendung von generalisierten baryzentrischen Koordinaten und losen Variablen auf .

In der Twistor-Theorie , einem Zweig der theoretischen Physik , wird ein Polytop namens Amplituhedron verwendet, um die Streuamplituden von subatomaren Teilchen zu berechnen, wenn sie kollidieren. Das Konstrukt ist rein theoretisch ohne bekannte physikalische Manifestation, soll aber bestimmte Berechnungen stark vereinfachen.

Siehe auch

Verweise

Anmerkungen

Quellen

Externe Links

• Weisstein, Eric W. "Polytope" . MathWorld .
• "Math will rock your world" – Anwendung von Polytopen auf eine Datenbank von Artikeln zur Unterstützung benutzerdefinierter Newsfeeds über das Internet – ( Business Week Online )
• Reguläre und halbreguläre konvexe Polytope ein kurzer historischer Überblick: