Algebraische Funktion - Algebraic function

In der Mathematik ist eine algebraische Funktion eine Funktion , die als Wurzel einer Polynomgleichung definiert werden kann . Ziemlich oft sind algebraische Funktionen algebraische Ausdrücke, die eine endliche Anzahl von Termen verwenden und nur die algebraischen Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Potenzierung nach einem Bruch beinhalten. Beispiele für solche Funktionen sind:

• ${\displaystyle f(x)=1/x}$
• ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$
• ${\displaystyle f(x)={\frac {\sqrt {1+x^{3}}}{x^{3/7}-{\sqrt {7}}x^{1/3}}}}$

Einige algebraische Funktionen können jedoch nicht durch solche endlichen Ausdrücke ausgedrückt werden (dies ist der Satz von Abel-Ruffini ). Dies ist zum Beispiel für das Bring-Radikal der Fall, das implizit definiert ist durch

${\displaystyle f(x)^{5}+f(x)+x=0}$.

Genauer gesagt ist eine algebraische Funktion vom Grad n in einer Variablen x eine Funktion , die in ihrem Bereich stetig ist und eine Polynomgleichung erfüllt${\displaystyle y=f(x),}$

${\displaystyle a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0}$

wobei die Koeffizienten a _i ( x ) sind Polynomfunktionen von x , mit ganzzahligen Koeffizienten. Es kann gezeigt werden, dass die gleiche Klasse von Funktionen erhalten wird, wenn algebraische Zahlen für die Koeffizienten der a _i ( x ) akzeptiert werden . Wenn in den Koeffizienten transzendente Zahlen vorkommen, ist die Funktion im Allgemeinen nicht algebraisch, sondern über dem von diesen Koeffizienten erzeugten Körper algebraisch .

Der Wert einer algebraischen Funktion bei einer rationalen Zahl und allgemeiner bei einer algebraischen Zahl ist immer eine algebraische Zahl. Manchmal werden Koeffizienten betrachtet , die über einem Ring R polynomiell sind, und man spricht dann von "algebraischen Funktionen über R ". ${\displaystyle a_{i}(x)}$

Eine Funktion, die nicht algebraisch ist, heißt transzendente Funktion , wie dies beispielsweise der Fall ist . Eine Zusammensetzung transzendenter Funktionen kann eine algebraische Funktion ergeben: . ${\displaystyle \exp x,\tan x,\ln x,\Gamma (x)}$${\displaystyle f(x)=\cos\arcsin x={\sqrt {1-x^{2}}}}$

Da eine Polynomgleichung vom Grad n bis zu n Wurzeln hat (und genau n Wurzeln über einem algebraisch abgeschlossenen Körper , wie den komplexen Zahlen ), definiert eine Polynomgleichung nicht implizit eine einzelne Funktion, sondern bis zu n Funktionen, manchmal auch genannt Zweige . Betrachten Sie zum Beispiel die Gleichung des Einheitskreises : Diese bestimmt y , jedoch nur bis zu einem Gesamtzeichen; dementsprechend hat es zwei Zweige: ${\displaystyle y^{2}+x^{2}=1.\,}$${\displaystyle y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}.\,}$

Eine algebraische Funktion in m Variablen ist ähnlich definiert als eine Funktion, die eine Polynomgleichung in m  + 1 Variablen löst : ${\displaystyle y=f(x_{1},\dots,x_{m})}$

${\displaystyle p(y,x_{1},x_{2},\dots,x_{m})=0.}$

Normalerweise wird angenommen, dass p ein irreduzibles Polynom ist . Die Existenz einer algebraischen Funktion wird dann durch den impliziten Funktionssatz garantiert .

Formal ist eine algebraische Funktion in m Variablen über dem Körper K ein Element der algebraischen Abgeschlossenheit des Körpers der rationalen Funktionen K ( x ₁ , ...,  x _m ).

Algebraische Funktionen in einer Variablen

Vorstellung und Überblick

Die informelle Definition einer algebraischen Funktion liefert eine Reihe von Hinweisen auf ihre Eigenschaften. Für ein intuitives Verständnis kann es hilfreich sein, algebraische Funktionen als Funktionen zu betrachten, die durch die üblichen algebraischen Operationen gebildet werden können : Addition , Multiplikation , Division und n- te Wurzel ziehen . Dies ist etwas zu stark vereinfacht; Aufgrund des fundamentalen Satzes der Galois-Theorie müssen algebraische Funktionen nicht durch Radikale ausdrückbar sein.

Beachten Sie zunächst, dass jede Polynomfunktion eine algebraische Funktion ist, da sie einfach die Lösung y der Gleichung ${\displaystyle y=p(x)}$

${\displaystyle yp(x)=0.\,}$

Allgemeiner gesagt ist jede rationale Funktion algebraisch, da sie die Lösung von ist ${\displaystyle y={\frac {p(x)}{q(x)}}}$

${\displaystyle q(x)yp(x)=0.}$

Darüber hinaus ist die n- te Wurzel eines Polynoms eine algebraische Funktion, die die Gleichung löst ${\textstyle y={\sqrt[{n}]{p(x)}}}$

${\displaystyle y^{n}-p(x)=0.}$

Überraschenderweise ist die Umkehrfunktion einer algebraischen Funktion eine algebraische Funktion. Für die Annahme, dass y eine Lösung von ist

${\displaystyle a_{n}(x)y^{n}+\cdots +a_{0}(x)=0,}$

für jeden Wert von x ist x auch eine Lösung dieser Gleichung für jeden Wert von y . In der Tat, die Rollen von x und y zu vertauschen und Begriffe zu sammeln,

${\displaystyle b_{m}(y)x^{m}+b_{m-1}(y)x^{m-1}+\cdots +b_{0}(y)=0.}$

Schreiben von x als Funktion von y ergibt die Umkehrfunktion, auch eine algebraische Funktion.

Allerdings hat nicht jede Funktion eine Inverse. Zum Beispiel besteht y  =  x ² den horizontalen Linientest nicht : er ist nicht eins zu eins . Die Umkehrung ist die algebraische "Funktion" . Eine andere Möglichkeit, dies zu verstehen, besteht darin, dass die Menge der Zweige der Polynomgleichung, die unsere algebraische Funktion definiert, der Graph einer algebraischen Kurve ist . ${\displaystyle x=\pm {\sqrt {y}}}$

Die Rolle komplexer Zahlen

Aus algebraischer Sicht kommen komplexe Zahlen ganz selbstverständlich in das Studium algebraischer Funktionen ein. Zunächst einmal sind die komplexen Zahlen nach dem Fundamentalsatz der Algebra ein algebraisch abgeschlossener Körper . Daher hat jede Polynomrelation p ( y ,  x ) = 0 garantiert mindestens eine Lösung (und im Allgemeinen eine Anzahl von Lösungen, die den Grad von p in y nicht überschreitet ) für y an jedem Punkt x , vorausgesetzt wir erlauben y anzunehmen komplexe als auch reale Werte. Somit können Probleme im Zusammenhang mit dem Bereich einer algebraischen Funktion sicher minimiert werden.

Ein Graph von drei Zweigen der algebraischen Funktion y , wobei y ³  −  xy  + 1 = 0, über dem Bereich 3/2 ^2/3 < x < 50.

Selbst wenn man sich letztendlich für reelle algebraische Funktionen interessiert, gibt es möglicherweise keine Möglichkeit, die Funktion durch Addition, Multiplikation, Division und Ziehen von n-ten Wurzeln auszudrücken, ohne auf komplexe Zahlen zurückzugreifen (siehe casus irreducibilis ). Betrachten Sie zum Beispiel die algebraische Funktion, die durch die Gleichung bestimmt wird

${\displaystyle y^{3}-xy+1=0.\,}$

Mit der kubischen Formel erhalten wir

${\displaystyle y=-{\frac {2x}{\sqrt[{3}]{-108+12{\sqrt {81-12x^{3}}}}}}}+{\frac {\sqrt[{ 3}]{-108+12{\sqrt {81-12x^{3}}}}}{6}}.}$

Denn die Quadratwurzel ist reell und die Kubikwurzel ist somit wohldefiniert und liefert die eindeutige reelle Wurzel. Andererseits ist die Quadratwurzel nicht reell, und man muss für die Quadratwurzel eine der nichtreellen Quadratwurzeln wählen. Daher muss die Kubikwurzel aus drei nicht-reellen Zahlen gewählt werden. Wenn in den beiden Ausdrücken der Formel die gleichen Auswahlmöglichkeiten getroffen werden, ergeben die drei Auswahlmöglichkeiten für die Kubikwurzel die drei im nebenstehenden Bild gezeigten Zweige. ${\displaystyle x\leq {\frac {3}{\sqrt[{3}]{4}}},}$${\displaystyle x>{\frac {3}{\sqrt[{3}]{4}}},}$

Es kann gezeigt werden, dass es keine Möglichkeit gibt, diese Funktion nur mit reellen Zahlen durch n-te Wurzeln auszudrücken , obwohl die resultierende Funktion auf dem Gebiet des gezeigten Graphen reellwertig ist.

Auf einer bedeutsameren theoretischen Ebene ermöglicht die Verwendung komplexer Zahlen die Verwendung der leistungsfähigen Techniken der komplexen Analyse , um algebraische Funktionen zu diskutieren. Insbesondere kann das Argumentprinzip verwendet werden, um zu zeigen, dass jede algebraische Funktion zumindest im mehrwertigen Sinne eine analytische Funktion ist.

Formal sei p ( x ,  y ) ein komplexes Polynom in den komplexen Variablen x und y . Nehmen wir an, dass x ₀  ∈  C so ist , dass das Polynom p ( x ₀ ,  y ) von Y hat n verschiedenen Nullstellen. Wir werden zeigen, dass die algebraische Funktion in einer Umgebung von x ₀ analytisch ist . Wählen Sie ein System von n nicht überlappenden Scheiben Δ _i mit jeder dieser Nullen. Dann nach dem Argumentprinzip

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial \Delta _{i}}{\frac {p_{y}(x_{0},y)}{p(x_ {0},y)}}\,dy=1.}$

Nach Stetigkeit gilt dies auch für alle x in einer Umgebung von x ₀ . Insbesondere hat p ( x ,  y ) nur eine Wurzel in Δ _i , gegeben durch den Restsatz :

${\displaystyle f_{i}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial\Delta_{i}}y{\frac {p_{y}(x,y )}{p(x,y)}}\,dy}$

was eine analytische Funktion ist.

Monodromie

Beachten Sie, dass der obige Analytizitätsbeweis einen Ausdruck für ein System von n verschiedenen Funktionselementen f _i ( x ) abgeleitet hat, vorausgesetzt, dass x kein kritischer Punkt von p ( x ,  y ) ist. Ein kritischer Punkt ist ein Punkt, an dem die Anzahl der verschiedenen Nullstellen kleiner als der Grad von p ist , und dies tritt nur dort auf, wo der Term mit dem höchsten Grad von p verschwindet und wo die Diskriminante verschwindet. Daher gibt es nur endlich viele solche Punkte c ₁ , ...,  c _m .

Eine genaue Analyse der Eigenschaften der Funktionselemente f _i in der Nähe der kritischen Punkte kann verwendet werden, um zu zeigen, dass die Monodromieüberdeckung über die kritischen Punkte (und möglicherweise den Punkt im Unendlichen ) verzweigt ist . Somit hat die holomorphe Erweiterung von f _i im schlimmsten Fall algebraische Pole und gewöhnliche algebraische Verzweigungen über den kritischen Punkten.

Beachten Sie, dass wir abseits der kritischen Punkte

${\displaystyle p(x,y)=a_{n}(x)(y-f_{1}(x))(y-f_{2}(x))\cdots (y-f_{n}(x ))}$

da die f _i per Definition die verschiedenen Nullstellen von p sind . Die Monodromgruppe wirkt durch Vertauschen der Faktoren und bildet somit die Monodromiedarstellung der Galois-Gruppe von p . (Die Monodromiewirkung auf den universellen Überdeckungsraum ist in der Theorie der Riemannschen Flächen ein verwandter, aber anderer Begriff.)

Geschichte

Die Ideen zu algebraischen Funktionen gehen mindestens auf René Descartes zurück . Die erste Diskussion algebraischer Funktionen scheint in Edward Warings 1794 An Essay on the Principles of Human Knowledge zu erfolgen, in dem er schreibt:

sei eine Größe, die die Ordinate bezeichnet, eine algebraische Funktion der Abszisse x , durch die üblichen Methoden der Division und Extraktion von Wurzeln, reduziere sie in eine unendliche Reihe, die entsprechend den Dimensionen von x auf- oder absteigt , und bestimme dann das Integral von jedem der resultierenden Terme.

Siehe auch

• Algebraischer Ausdruck
• Analytische Funktion
• Komplexe Funktion
• Elementare Funktion
• Funktion (Mathematik)
• Verallgemeinerte Funktion
• Liste der Sonderfunktionen und Namensgeber
• Liste der Funktionstypen
• Polynom
• Rationale Funktion
• Spezialfunktionen
• Transzendentale Funktion

Verweise

• Ahlfors, Lars (1979). Komplexe Analyse . McGraw-Hügel.
• van der Waerden, BL (1931). Moderne Algebra, Band II . Springer.

Externe Links

• Definition von "Algebraische Funktion" in der Encyclopedia of Math
• Weisstein, Eric W. "Algebraische Funktion" . MathWorld .
• Algebraische Funktion bei PlanetMath .
• Definition der "algebraischen Funktion" Archiviert am 26.10.2020 an der Wayback Machine in David J. Darlings Internet Encyclopedia of Science